Regresion Exponencial PDF

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Descripcion de la regresion exponencial ...

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE

INGENIERÍA EN BIOTECNOLOGÍA

ESTADÍSTICA I

“REGRESIÓN EXPONENCIAL”

¿QUÉ ES UNA REGRESIÓN? Es una técnica que permite cuantificar la relación entre dos variables.

Dicho modelo ayuda a predecir el comportamiento de una variable.

La relación es observada cuando se grafica un diagrama de puntos dispersos.

REGRESIÓN EXPONENCIAL • • • • •

Es un proceso de encontrar la ecuación de la función exponencial. Una línea de tendencia exponencial es una línea curva. Es útil para los valores de los datos que aumentan o disminuyen en intervalos mayores. La idea es convertir una curva exponencial a una recta por medio de logaritmos. La potencia predictiva relativa de un modelo exponencial esta denotada por 0≤ 𝑅 2 ≤1, mientras mas cercano a 1 mas preciso será el modelo.

𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑒 𝑏𝑥; donde a ≠0 TRANSFORMACIÓN A UNA ECUACIÓN LINEAL Los datos deben tener un patrón de crecimiento exponencial. Se tiene: 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑒 𝑏𝑥 x= variable independiente y= variable dependiente a= pendiente diferente de 0 b= punto donde cortan la recta y el eje vertical e=número de Euler

PROCEDIMIENTO: 1. Se toma logaritmos a ambos lados: l𝑛(𝑦)= ln(a𝑒 𝑏𝑥 ) 2. Propiedades de los logaritmos: l𝑛(𝑦)= ln(𝑎) + 𝑏𝑥 l𝑛(𝑦) = l𝑛(𝑎) + 𝑏𝑥 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑚=𝑏 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝑏 = l𝑛(𝑎) FÓRMULAS REQUERIDAS:

𝑆𝑋𝑌ʹ 𝑏= 2 𝑆 𝑋

 − 𝑏𝑋 𝑎ʹ = 𝑌ʹ EJEMPLO

Con los siguientes datos realizar el ajuste por una función exponencial. Como la función buscada es 𝒚 = 𝒂𝒆𝒃𝒙, tomando logaritmos tenemos que log 𝑦 = log 𝑎 + 𝑏𝑥. Llamamos a la nueva variable 𝒚′ = 𝐥𝐨𝐠 𝒚 y también hacemos 𝒂′ = 𝐥𝐨𝐠 𝒂. Tenemos entonces que calcular la recta de regresión 𝒚′ = 𝒂′ + 𝒃𝒙 para las nuevas variables y’ y x.

𝒙𝒊

SUMA

𝑥 =

81

= 8.1 10

4,7696

𝒚𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒚′𝒊 = 𝐥𝒏 𝒚𝒊

𝒙𝒊 𝒚′𝒊

-6

2

9.693

36

-4.158

-3

2.8

1.03

9

-3.09

0

3.9

1.361

0

0

3

4.2

1.435

9

4.305

6

5.8

1.758

6

10.548

9

6.2

1.825

81

16.425

12

7.5

2.015

144

24.18

15

8.2

2.104

225

31.56

20

9.3

2.23

400

44.6

25

10.9

2.389

625

59.725

81

60.8

16.84

1535

184.095

 = 16,84 = 1,684 𝑦′ 10

𝑆𝑋𝑋 = 𝑏=

𝑆𝑋𝑌′ =

184.1 10

− (8.1 ∗ 1.684) =

1565 − (8.12 ) = 90,89 10

𝑆𝑋𝑌′ 4.7696 = 0,0525 = 90.89 𝑆𝑋𝑋

𝑎′ = 𝑦′ − 𝑏𝑥 = 1.684 − (0.0525 ∗ 8.1) = 1.259 El valor que buscamos para la función exponencial es a, no a’; pero 𝑎 = 𝑒 𝑎′ = 𝑒 1.259 = 3.522 Luego la función exponencial que mejor se ajusta a las observaciones es: 𝑦 = 3.522𝑒 0,0525𝑥

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL •

Desarrollado por Karl Pearson (1857-1936).

•

Correlación entre dos variables →cuando una de ellas esta relacionada con la otra de alguna manera.

•

Se utiliza para concluir si existe relación entre dos variables.

•

Representación: R

•

Es un valor entre -1 y 1, que mide la "bondad de ajuste" de la recta de regresión.

•

Cuando se acerca a -1 o a 1 significa un ajuste mejor

•

Cuando se acerca a 0 significa un ajuste malo.

•

Si es 1 o -1 significa un ajuste exacto.

•

R=-1 pendiente negativa y R=1 pendiente positiva

Cálculo de R •

Solo como un dato general el cálculo de R se realiza entre valores cuantitativos apareados x y y de una muestra, utilizando la ecuación de la recta linealizada (y=y´). 𝑅2 =

∑(𝑥 − 𝑥 )(𝑦´ − 𝑦´) √∑(𝑥 − 𝑥 )2 √∑(𝑦´ −  𝑦´)2

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN Se representa la proporción de variación dada por la regresión. (exponencial), se interpreta los valores de R al cuadrado como: •

𝑅 2 =0 ; la regresión no explica nada de y a partir de x.

•

𝑅 2 =1 ; la regresión representa un ajuste perfecto y depende de x.

•

𝑅 2 ≈ 0 ; baja capacidad explicativa de la recta.

•

𝑅 2 ≈ 1 ; alta capacidad explicativa de la recta.

Para calcular este coeficiente se utiliza la siguiente fórmula: 𝑅2 = 1 −

𝐶𝐸𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐶𝐸𝑌

Donde CE es el cuadrado del error; y se define como: 𝐶𝐸𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 = [𝑦1 − (𝑚𝑥1 + 𝑏)]2 + [𝑦2 − (𝑚𝑥2 + 𝑏)]2 + ⋯ + [𝑦𝑛 − (𝑚𝑥𝑛 + 𝑏)]2

𝐶𝐸𝑌 = (𝑦1 − 𝑦)2 + (𝑦2 − 𝑦)2 + ⋯ + (𝑦𝑛 − 𝑦 )2 Se toma en cuenta que: •

Si 𝐸𝐶𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 es un valor bajo la recta de regresión es óptima, por lo tanto 𝑅 2 se acerca más a 1

•

Si 𝐸𝐶𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 es un valor alto la recta de regresión no es óptima, por lo tanto 𝑅 2 se acerca más a 0

Ejemplo de aplicación: Calcular 𝑅 2 , en el ejercicio planteado anteriormente. 𝑿𝒊

𝒀𝒊

𝒀´𝒊 = 𝒍n(𝒀𝒊 )

𝒎𝒙𝟏 + 𝒃´

-6

2

0,693

0,944

-3

2,8

1,03

1,1015

0

3,9

1,361

1,259

3

4,2

1,435

1,4165

6

5,8

1,758

1,574

9

6,2

1,825

1,7315

12

7,5

2,015

1,889

15

8,2

2,104

2,0465

20

9,3

2,23

2,309

25

10,9

2,389

2,5715

DATOS: 𝑌´ = 𝑙𝑛(𝑌𝑖 ) 𝑏´ = 𝑙𝑛(𝑏) = 1,259 𝑚 = 0,0525 𝑌´ = 𝑏´ + 𝑚𝑥 𝑌´ = 1,259 + 0,0525𝑥 𝑌 = 1,684 “RECORDAR QUE PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN EN ESTE TIPO DE REGRESIÓN, SE DEBE TRABAJAR CON Y´” •

Para calcular los valores de 𝑚𝑥 + 𝑏´ se reemplaza cada valor de x en la fórmula

𝑌´ = 1,259 + 0,0525𝒙 •

Se calcula 𝐶𝐸𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 :

𝐶𝐸𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 = [𝑦´1 − (𝑚𝑥1 + 𝑏)]2 + [𝑦´2 − (𝑚𝑥2 + 𝑏)]2 + ⋯ + [𝑦´𝑛 − (𝑚𝑥𝑛 + 𝑏)]2 𝐶𝐸𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 = [0,693 − 0,944]2 + [1,03 − 1,1015]2 + [1,361 − 1,259]2 + ⋯ + [2,389 − 2,5715]2 𝑪𝑬𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 = 0,18019

 )2 + (𝑦´2 − 𝑦´  )2 + ⋯ + (𝑦´𝑛 − 𝑦´  )2 𝐶𝐸𝑌 = (𝑦´1 − 𝑦´ 𝐶𝐸𝑌 = (0,693 − 1,684)2 + (1,03 − 1,684)2 + (1,361 − 1,684)2 + ⋯ + (2,389 − 1,684)2 𝑪𝑬𝒀 = 2,6826 Obtenidos

estos

valores

solo

se

debe

𝑹𝟐 = 𝟏 −

𝑪𝑬𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝑪𝑬𝒀

𝑅2 = 1 −

0,18019 2,6826

reemplazar

en

la

fórmula:

𝑹𝟐 =0,9328 ➔ Puesto a que 𝑅 2 ≈ 1 ;se concluye que la regresión aplicada tiene un alta capacidad explicativa de la recta.

BIBLIOGRAFÍA •

http://economipedia.com/definiciones/r-cuadrado-coeficiente-determinacion.html

•

} http://metodos.upct.es/Asignaturas/Diplomatura/Introduccion_estadistica/2008_2009/m aterial_didactico/apuntes/TEMA4REGRESIONYCORRELACION.pdf

•

https://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-eingenieria/matematicas/respuestas/cbdfyxhewisiq/regresion-exponencial-y-coeficientesde-correlacion

•

https://explorable.com/es/la-correlacion-estadistica

•

http://es.khanacademy.org/video?v=rTm... R-Squared or Coefficient of Determination...