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Tema 2: Funciones reales de variable real 2 Octubre 2019

Ejercicios: Dominios y funciones elementales

1. Indica razonadamente el dominio de las funciones siguientes: (a) f (x) =

x+1 x2 − 3x + 2

(d) i(x) = 2 −

p

9 − x2

1 (b) g(x) = √ 2x − 3 (e) j(x) =

2−x |x − 2|

(c) h(x) = 2 − |x| (f ) k(x) =

|x − 3| x−3

Soluci´ on: x+1 (a) La funci´ on f (x) = x2 −3 es un cociente de polinomios. El denominador de este cociente no puede x+2 anularse. Si estudiamos los valores de x que anulan el denominador, obtenemos: √ √ 3+ 9−8 3− 9−8 x2 − 3x + 2 = 0 ⇐⇒ x = = 1. = 2, x = 2 2

Por tanto, el dominio es D = {x ∈ R : x 6= 1, 2}.

1 (b) Como en el apartado anterior, el denominador de la funci´ on g(x) = √2x−3 tiene que ser diferente de √ cero. Por tanto, por una parte tenemos que 2x − 3 6= 0. Por otra parte, tambi´en debe ocurrir 2x − 3 ≥ 0. Si consideramos ambas restricciones obtenemos que debe satisfacerse la condici´ on 2x − 3 > 0. Resolviendo la inecuaci´ on anterior se sigue x > 23 . Conclu´ımos as´ı que el dominio de la funci´on g es

D = {x ∈ R : x >

3 }. 2

(c) El dominio de la funci´ on f (x) = |x| son todos los n´ umeros reales. Por tanto, el dominio de h(x) = 2 − |x| es D = R. √ (d) El radicando de la ra´ız cuadrada que aparece en la funci´ on i(x) = 2 − 9 − x2 debe ser mayor o igual a cero, 9 − x2 ≥ 0. Factorizando el polinomio se sigue 9 − x2 = −(x − 3)(x + 3) ≥ 0. Finalmente, estudiando el signo de (x + 3) y (x − 3) obtenemos que el dominio de la funci´on es D = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 3}. 2−x (e) El denominador de la funci´ on j(x) = |x−2| debe ser distinto de cero. Si estudiamos los valores de x que anulan el denominador, se obtiene

|x − 2| = 0 ⇐⇒ x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 2. Por tanto, el dominio de la funci´ on j(x) es D = {x ∈ R : x = 6 2}. (f ) El dominio de la funci´ on valor absoluto son todos los reales, por tanto, para calcular el dominio de k(x) = |x−3| ser´ a suficiente con calcular los valores x tales que no anulan el denominador de la x−3 funci´ on: x − 3 6= 0 ⇐⇒ x 6= 3. Por tanto, el dominio de k(x) viene dado por

D = {x ∈ R : x = 6 3}. 1

2. Encuentra la ecuaci´ on de la funci´ on lineal que satisface la condici´ on siguiente y dibuja su gr´ afica: (a) Pasa por el punto con coordenadas (2, 1) y tiene pendiente 5. Soluci´ on: Una funci´ on lineal tiene la forma f (x) = mx + n, donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. Por el enunciado, tenemos que m = 5, por tanto f (x) = 5x + n. Dado que pasa por el punto (2, 1) tenemos que f (2) = 1, por tanto: f (2) = 5 · 2 + n = 1 ⇐⇒ n = 1 − 10 = −9. Conclu´ımos que la funci´on lineal viene dada en este caso por f (x) = 5x − 9. Para obtener la gr´ afica de la funci´on, dado que se trata de una funci´ on lineal (recta), nos basta con conocer dos puntos de f (x). Por el enunciado tenemos que pasa por el punto (2, 1). Para obtener otro punto sustituimos cualquier otro valor de x en la funci´ on. Por ejemplo, si consideramos x = 0, entonces f (0) = −9, por lo que la recta tambi´en debe pasar por el punto (0, −9). As´ı, la gr´afica de la funci´ on es: 10

5 (2,1) −1

1

2

3

4

−5 (0,-9) −10 (b) Pasa por los puntos (12, 3) y (−3, 20). Soluci´ on: Una funci´ on lineal tiene la forma f (x) = mx + n, donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. Dado que pasa por los puntos (12, 3) y (−3, 20) tenemos que f (12) = 3 y f (−3) = 20. Primero calculamos m, −17 3 − 20 f (12) − f (−3) = = m= 15 15 12 − (−3) Por tanto, tenemos 17 f (x) = − x + n. 15 Ahora tomamos uno de los puntos, por ejemplo f (12) = 3 y sustituimos en f para calcular n: f (12) = −

17 83 68 = · 12 + n = 3 ⇐⇒ n = 3 + 5 5 15 2

Obteniendo as´ı que la funci´on viene dada por f (x) = −

83 17 x+ . 15 5

Para dibujar la gr´ afica, dado que se trata de una funci´ on lineal (recta), nos basta con conocer dos puntos de f (x). Por el enunciado tenemos que pasa por los puntos (12, 3) y (−3, 20), por tanto, la gr´ afica de la funci´ on es: 30

(-3,20)

20

10 (12,3) −10

−5

5

10

15

20

3. Determ´ınese el v´ ertice de las siguientes funciones cuadr´ aticas. Adem´ as, indica para qu´ e valores de x ∈ R la funci´ on es positiva y dibuja su gr´ afica: (a) y = 2x2 − 3,

(b) y = 2 − x − 2x2 ,

(c) y = x2 + 2x + 2

Soluci´ on: Dada una funci´ on cuadr´atica de la forma f (x) = ax2 + bx + c, el v´ ertice es el punto V = (vx , f (vx )) donde b . Por tanto, vx = − 2a 0 = 0. Para calcular f (vx ) sustitu´ımos (a) En este caso a = 2, b = 0 y c = −3, por tanto: vx = − 2·2 vx = 0 en la funci´ on: f (vx ) = f (0) = 2 · 02 − 3 = −3

Entonces, el v´ ertice de la funci´ on es el punto V = (0, −3). Dado que el coeficiente cuadr´ atico de la funci´ on es a = 2 > 0, sabemos que el punto (0, −3) es un m´ınimo de la funci´on. Para encontrar los valores del dominio para los cuales la funci´ on es positiva, 2 calculamos los puntos de corte. Resolviendo la ecuaci´ o n 2x − 3 = 0 se obtienen las soluciones q

x =±

3 . 2

Por tanto, dado que el v´ertice es el punto m´ınimo de la funci´ on, que se encuentra en q q 3 3 , 0) y (+ ımos que la funci´on f (x) = 2x2 − 3 es (0, −3), y los puntos de corte en (− 2 2 , 0), conclu´ q q positiva en el intervalo (−∞, − 32 ) ∪ (+ 32 , +∞).

La gr´ afica de la funci´ on es:

3

30

20

10

−4

−2 (0,-3)

2

4

−1 = − 14 . Para calcular f (vx ) sustitu´ımos (b) En este caso a = −2, b = −1 y c = 2, por tanto: vx = − 2·(−2) 1 vx = − 4 en la funci´ on:

f (vx ) = f

  2  1 1 17 1 1 −1 16 + 2 − 1 1 1 = =2+ − = −2 − =2− − =2+ −2 8 4 4 8 16 4 4 4 8

Entonces, el v´ ertice de la funci´ on es el punto V =

  1 17 . − , 4 8

  Dado que el coeficiente cuadr´ atico de la funci´ on es a = −2 < 0, sabemos que el punto − 41 , 17 es un 8 m´ aximo de la funci´ on. Para encontrar los valores del dominio para los cuales la funci´ on es positiva, calculamos los puntos de corte. Resolviendo la ecuaci´ on −2x2 − x + 2 = 0 se obtienen las soluciones x = −1.28 y x aximo de la funci´ on, que se  = 0.78.  Por tanto, dado que el v´ertice es el punto m´ encuentra en − 41 , 17 , y los puntos de corte en (−1.28, 0) y (0.78, 0), conclu´ımos que la funci´on 8 f (x) = −2x2 − x + 2 es positiva en el intervalo (−1.28, 0.78). La gr´ afica de la funci´ on es: 5  1 17  −4 , 8 −4

−2

2

4

−5 −10 −15 −20 2 = −1. Para calcular f (vx ) sustitu´ımos (c) En este caso a = 1, b = 2 y c = 2, por tanto: vx = − 2·1 vx = −1 en la funci´ on: f (vx ) = f (−1) = (−1)2 + 2 · (−1) + 2 = 1

4

Entonces, el v´ ertice de la funci´ on es el punto V = (−1, 1). Dado que el coeficiente cuadr´ atico de la funci´ on es a = 1 > 0, sabemos que el punto (−1, 1) es un m´ınimo de la funci´on. Por tanto, conclu´ımos que la funci´ on no tiene puntos de corte con el eje x y que es positiva para todo x ∈ R. La gr´ afica de la funci´ on es: 20

15

10

5 (−1, 1) −8

−6

−4

−2

2

4

4. Obt´ enganse las soluciones posibles de la ecuaci´ on siguiente: 5e−3x = 16

Soluci´ on: Pasamos el 5 dividiendo al miembro derecho de la igualdad, e−3x =

16 5

Aplicamos la funci´ on ln(x) a ambos miembros de la igualdad,     16 ln e−3x = ln 5 Por las propiedades de los logaritmos tenemos, (−3x) ln (e) = ln



16 5



Dado que ln(e) = 1, nos queda −3x = ln Por tanto, 1 x = − ln 3



5

16 5



16 5



= −0.388.



6

8...