Drittes Übungsblatt im Kurs Analysis einer Variablen PDF

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Drittes Übungsblatt im Kurs Analysis einer Variablen...

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Prof. Dr. Rupert Frank Charlotte Dietze Leonard Wetzel

Analysis einer Variablen Übungsblatt 3

WS 2021/22 5. November 2021

Definition. Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig (in Formeln: |A| = |B |), wenn es eine bijektive Abbildung f : A → B gibt. Aufgabe 1 (2+2+3+3 Punkte). Zeigen Sie jeweils, dass folgende Mengen gleichmächtig sind: (i) R und (−1, 1), (ii) (−1, 1) und (a, b) für beliebige a, b ∈ R mit a < b, (iii) (−1, 1) und [−1, 1], (iv) R und [0, ∞). Aufgabe 2 (10 Punkte). Eine Menge M heißt endlich, falls es n ∈ N und eine bijektive Abbildung f : M → {1, . . . , n} gibt.

Zeigen Sie: Die Zahl n ist eindeutig bestimmt, das heißt falls es n, m ∈ N und bijektive Abbildungen f : M → {1, . . . , n} und g : M → {1, . . . , m} gibt, so folgt n = m. Dies rechtfertigt die Definition #M := n für die Anzahl der Elemente einer Menge.

Aufgabe 3 (2 + 4 + 4 Punkte). Zeigen Sie: (i) Für jedes n ∈ N ist Nn gleichmächtig zu N.

Hinweis: Sie dürfen die aus Lineare Algebra, Übungsblatt 3, Aufgabe 1b) bekannte Tatsache verwenden, dass N2 gleichmächtig zu N ist.

(ii) Die Menge X aller endlichen Teilmengen von N ist abzählbar. Hinweis: Für k ∈ N0 sei N≤k die Menge aller Teilmengen von N mit höchstens k S Elementen und bemerke, dass X = k∈N0 N≤k . (iii) Die Potenzmenge P(N) (Menge aller Teilmengen von N) ist überabzählbar. Hinweis: Für f : N → P(N) betrachte die Menge M := {x ∈ N : x ∈ / f (x)}.

Bitte wenden! 1

Aufgabe 4 (3 + 7 Punkte). Gegeben sei die Menge α := 0∗ ∪ {q ∈ Q : q 2 < 2}, wobei r ∗ := {q ∈ Q : q < r} für r ∈ Q. Zeigen Sie: (i) α ist ein Dedekindscher Schnitt, (ii) α · α = 2∗ . Bemerkung: Man kann α also als Darstellung von

√

2 als Dedekindscher Schnitt auffassen.

Bitte geben Sie Ihre Lösungen bis Freitag, den 12. November um 16:00 Uhr über Uni2work ab. Vergessen Sie bitte nicht, die Namen aller Gruppenmitglieder bei der Abgabe über Uni2work und auf Ihrer Lösung anzugeben.

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