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Licence 2 SVT
Mr Echeverria...

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16/11

Du cinquième postulat d’Euclide aux géométries non-euclidiennes

La crise de l’espace Introduction :    

Euclide proposa dans ses Eléments une présentation axiomatique du savoir mathématique de son temps. C’est une œuvre colossale  paradigme de la pensée hypothético-déductive, fascine les intellectuels d’autres domaines  transférer ce schème dans leur discipline. 5e postulat  attention mathématiciens  le démontrer à partir d’autres. Cet obstacle  géométries non-euclidiennes.

Les Eléments d’Euclide :     

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338 av.J-C , Athènes vaincue par troupes du roi Philippe de Macédoine  Grèce. Son fils (Alexandre le Grand) lui succède 2 ans plus tard et entre en Egypte en 331  Alexandrie = lieu culture extraordinaire. Euclide (Euclide d’Alexandrie)  fonde l’école mathématique de l’université d’Alexandrie. Nous savons peu de choses sur sa vie, nombreux ouvrages. Eléments = 13 livres, traitent géométrie, arithmétique, théorie des proportions d’Eudoxe (nombres réels)  465 propositions déduites de 5 postulats initiaux. 1er livre : 3 sortes de ‘’choses’’ sont posées en préambule (définitions, postulats, règles communes). Définitions = 23, postulats (axiome) = 5, règles communes = règles d’inférences  raisonner à partir postulats + définitions, générales + communes + non spécifiques au domaine (géométrie). Définition 1 = 1 point est ce qui n’a pas de partie. Définition 2 = une ligne est une longueur sans largeur. Définition 4 = la ligne droite est une ligne qui est également placée entre ses points. Définition 15 = un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne telle que toutes les droites tombant sur elle à partir d’un point parmi ceux à l’intérieurs à la figure sont égales entre elles. Définition 23 = les parallèles sont des droites, qui, étant situées dans un même plan et étant prolongées indéfiniment de part et d’autre, ne se rencontrent ni d’un côté ni de l’autre. 1er postulat = tracer une ligne droite d’un point quelconque à un point quelconque. 2e postulat = prolonger une droite indéfiniment. 3e postulat = décrire un cercle d’un point quelconque et avec une distance quelconque. 4e postulat = que tous les angles droits sont égaux entre eux (congruents). 5e postulat = que, si une droite tombant sur 2 droites, fait les angles intérieurs du même côté le plus petit que 2 droits, ces droites, prolongées indéfiniment, se rencontrent du côté où les angles sont plus petits que 2 droits. Notion commune 1 = les choses qui sont égales à la même chose sont égales entre elles. Notion commune 2 = si des égaux sont ajoutés à des égaux, les touts sont égaux.

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Notion commune 3 = si des égaux sont retranchés d’égaux, les restes sont égaux. Notion commune 4 = les choses qui coïncident entre elles sont égales entre elles. Notion commune 5 = le tout est plus grand que la partie.

Du cinquième postulat aux géométries non-euclidiennes   

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Demande plus complexe et moins immédiate que les 4 premières. Ce postulat devait se déduire des 4 premiers. Problème dès IIème siècle avant notre ère. Pour Proclus ce postulat doit être rayé des postulats  donne formulation équivalente mais plus connue sous le nom de postulat des parallèles selon lequel par un point extérieur à une droite il passe une et une seule droite parallèle. Tentatives démontrer 5e postulat : Wallis, Playfair, Saccheri, Klügel, Legendre, Schweikart, Taurinus avant que les travaux de Gauss, Bolyai et Lobatchevski ne mettent fin à ces tentatives vouées à l’échec. Travail Saccheri : début 18e siècle cherche à démontrer la véracité du 5e postulat par une démonstration par l’absurde. Echoue mais obtient en supposant faux le 5 e postulat de nombreux théorème tout à fait cohérents entre eux. En train de découvrir une nouvelle géométrie et considéra ses résultats comme un échec. Travail de Lambert : étudie les conséquences de la négation du 5 e postulat et obtient des résultats relevant de la géométrie hyperbolique actuelle. Ex : formule donnant la somme des angles d’un triangle en fonction de sa surface. Se rend compte que ses théorèmes attestaient l’existence d’une autre géométrie ‘’sur sphère de rayon imaginaire ‘’. Travail de Gauss : affirme qu’il possède les principes d’une nouvelle géométrie fondée sur l’hypothèse de l’existence d’une infinité de parallèles pouvant être menées à une droite par un point pris hors de cette droite. Bolyai père et fils : travail sur cette même question du 5e postulat à la suite de son père, développe la Science absolue de l’espace en prenant comme hypothèse de départ que par un point extérieur à une droite on pouvait mener une infinité de parallèles à cette droite. Son père incorpore son travail comme appendice dans son traité Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Mathesos (1829, paru en 1832). Travailde Lobatchevski : géométrie imaginaire dont le fondement repose sur le rejet du postulat des parallèles et sur l’hypothèse que la somme des angles d’un triangle est inférieure à 2 droits. Œuvre commune : 5e postulat d’Euclide ne pouvait être déduit des autres, fondent une autre géométrie dans laquelle ils substituent à ce postulat euclidien une demande qui y était contraire : la possibilité de construire par un point extérieur à une droite une infinité de parallèles à cette droite. Beltrami, Poincaré et Klein : proposent plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique, dont la représentation conforme et projective, redécouvertes par la suite par Poincaré et Klein. La géométrie elliptique de Riemann : second type de géométrie non-euclidienne  celle qui correspond au cas où il n’existe aucune parallèle passant par un point extérieur à une droite donnée, ou encore celle où la somme des angles d’un triangle est supérieure à 2 droits.

Modèles de géométrie non-euclidiennes : 

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Géométries non-euclidiennes : s’appuient sur les mêmes axiomes que celle d’Euclide à l’exception du 5e postulat qui est nié. Il passe donc par un point extérieur à une droite ou bien aucune parallèle, ou bien plusieurs parallèles. Modèle du disque de Poincaré : modèle proposé par Beltrami, disque ouvert du plan euclidien ordinaire de rayon 1, les points sont les points de ce disque, les droites sont les diamètres du disque ainsi que les arcs de cercle contenus dans le disque et orthogonaux au cercle délimitant le disque. Avec ces données de points, droites et plan les postulats 1 à 4 d’Euclide sont vérifiés et que le 5e est remplacé par celui de la géométrie hyperbolique. Demi-plan de Poincaré : H := {(x,y) ∈R2, y > 0} = {z ∈C, =(z) > 0}, les points seront les points et les droites seront les demi-droites verticales (i.e. perpendiculaires à y = 0) et les arcs de cercle orthogonaux à y = 0. Un cercle est orthogonal à y = 0 si son centre est sur cette droite. Les droites de cette géométrie, qui ne sont pas des demi-droites verticales, sont donc des arcs de cercle ouverts d’équation (x −a)2 +y2 = R2, y > 0. Modèle de Klein : le “plan” est le disque unité ouvert, les points sont les points et les “droites” sont les cordes. Le premier postulat d’Euclide est clairement vérifié et il est tout aussi clair que par un point extérieur à une droite il passe une infinité de droites parallèles. R. Brouzet Du cinquième postulat d’Euclide aux géométries non-euclidiennes Pseudo-sphère de Beltrami : 1868 Beltrami montra que la surface de révolution engendrée par une tractrice autour de son asymptote, qu’il nomma pseudosphère et dont une paramétrisation est donnée par x(u,v) =cos u/cosh v, y(u,v) = sin u/cosh v, z(u,v) = v –tanh v fournissait un “plan” permettant de réaliser un modèle de la géométrie hyperbolique en prenant pour “droite” les tractrices méridiens de cette surface de révolution. R. Brouzet Du cinquième postulat d’Euclide aux géométries Modèle de l’hyperboloïde : modèle est aussi appelé modèle de Minkowski ou encore, modèle de Lorentz. Le plan est une nappe de l’hyperboloïde à deux nappes H2 := {(t,x,y) ∈R3, t2 −x2 −y2 = 1}. Les points en sont les points ordinaires et les droites sont des hyperboles, intersections de l’hyperboloïde avec des plans passant par l’origine. Modèle de géométrie hyperbolique. Examen 1e postulat : si deux points m et m’ de H sont sur une même verticale c’est gagné. on peut alors trouver une “droite” du type arc de cercle qui les contient tous deux. Si m = (x,y) et m0 = (x0,y0) alors (x −a)2 +y2 = R2 et (x0−a)2 +y02 = R2, d’où par différence (x −x0)(x +x0−2a) +y2 −y02 = 0, relation qui permet de déterminer a (de manière unique) puisque x 6= x0 et par suite R. Géométrie elliptique : introduite par B. Riemann, nie quant à elle le 5 e postulat en posant l’inexistence d’une parallèle passant par un point extérieur à une droite. Un modèle de cette géométrie est fourni en prenant pour “plan” la sphère euclidienne S := {(x,y,z) ∈R3, x2 +y2 +z2 = 1}, et pour “droites” les grands cercles, c’est-à-dire les cercles obtenus par l’intersection de S avec un plan passant par l’origine O = (0,0,0). Par deux points quelconques de S il passe un grand cercle, donc une “droite”. Un tel grand cercle est unique, sauf si les deux points sont diamétralement opposés auquel cas il passe une infinité de tels grands cercles. Les “points” de cette géométrie seront les couples de points diamétralement opposés. Il est clair que par un point extérieur à une “droite” ne passe aucune parallèle.

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L’unité derrière la diversité : les droites ordinaires, les droites euclidiennes dont vous avez l’habitude, ont la propriété de réaliser le plus court chemin entre deux points. Si une surface S est équipée d’une métrique Riemannienne g, objet qui permet de mesurer la longueur des vecteurs tangents, et par suite la longueur des courbes tracées sur la surface, on peut définir la notion de courbes géodésiques. Métriques riemanniennes et géodésiques : la propriété d’être localement le plus court chemin entre deux points. où la surface est le plan euclidien les géodésiques sont les droites. Dans tous les modèles de géométries non-euclidiennes précédents les “droites” sont des géodésiques relativement à une certaine métrique Riemannienne....