Ecuaciones diferenciales ordinarias una introducción - Fernando Mesa, Alejandro Acosta & José González - 1ED PDF

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www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net FERNANDO MESA Licenciado en matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, ...

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FERNANDO MESA

ALEJANDRO MARTÍNEZ ACOSTA Licenciado en Educación, Especialidad Matemática de la Universidad del Cauca. Candidato a magíster en Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira. Actualmente, se desempeña como docente asociado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira; es investigador en las áreas de Ecuaciones diferenciales y Educación matemática. E-mail: [email protected].

JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA Matemático, con Maestría en Matemáticas y doctorado en Matemáticas. Investigador en matemáticas puras y aplicadas con resultados originales en la teoría de bifurcación, deformación y deducción de la teoría de micro-deformación. Investigador en ecuaciones diferenciales parciales. Profesor asociado de la Universidad Tecnológica de Pereira. mail: [email protected].

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Licenciado en matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira en donde se ha destacado como directivo e investigador. E-mail: [email protected]

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Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Mesa, Fernando Ecuaciones diferenciales ordinarias : una introducción / Fernando Mesa, Alejandro Martínez Acosta, José Rodrigo González Granada. – 1ª. ed. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2012. 2 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas) Incluye bibliografía e índice alfabético ISBN 978-958-648-774-0 1. Ecuaciones diferenciales I. Martínez Acosta, Alejandro II. González Granada, José Rodrigo III. Título IV. Serie CO-BoBN– a802301

Colección: Ciencias Exactas Área: Matemáticas Primera edición: Bogotá, D.C., 2012 ISBN: 978-958-648-774-0 © Fernando Mesa e-mail: [email protected] © Alejandro Martínez Acosta e-mail: [email protected]. © José Rodrigo González Granada e-mail: [email protected]. Universidad Tecnológica de Pereira Vereda La Julita - Pereira - Risaralda © Ecoe Ediciones Ltda. E-mail: [email protected] www.ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Pbx. 2481449, Fax. 3461741 - Bogotá D.C.

Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Carátula: Edwin Penagos Palacio Impresión: Imagen Editorial Impresores e-mail: [email protected] Impreso y hecho en Colombia.

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CDD: 515.352 ed. 20

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Presentaci´ on

iv

1 Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales

1

1.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Definiciones y terminolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Soluciones y problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Ecuaci´on diferencial de una familia de curvas . . . . . . . . . . 12

1.5

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden

19

2.1

Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4

Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5

Transformaciones y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6

Trayectorias ortogonales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7

Ecuaci´on diferencial de primer orden en coordenadas polares . 48

2.8

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8.1

Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8.2

Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i

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Contenido

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3 Ecuaciones diferenciales de orden superior 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Introducci´on: sistema masa-resorte . . . . . . . . . . 3.1.2 Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Soluciones fundamentales de ecuaciones homog´eneas . 3.1.4 Reducci´on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Teor´ıa b´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . 3.2.3 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Operadores anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Variaci´on de los par´ametros . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ecuaci´on de Cauchy–Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

4 Transformada de Laplace 4.1 Definici´on y transformadas 4.2 Propiedades . . . . . . . . 4.3 Transformada inversa . . . 4.4 Los teoremas de traslaci´on 4.5 Funciones peri´odicas . . . 4.6 Funci´on delta de Dirac . . 4.7 Funci´on de transferencia . 4.8 Ejercicios . . . . . . . . .

. . . . . . . .

115 . 115 . 118 . 127 . 133 . 140 . 145 . 148 . 152

. . . . .

155 . 155 . 158 . 165 . 165 . 170

b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

5 Sistemas de ecuaciones diferenciales 5.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Teor´ıa preliminar . . . . . . . . . . . . 5.3 M´etodos de soluci´on . . . . . . . . . . 5.3.1 M´etodo de eliminaci´on . . . . . 5.3.2 Soluci´on mediante transformada

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Laplace

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

59 59 59 60 63 66 71 71 75 83 87 89 95 98 107

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CONTENIDO

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5.6 5.7

Sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes Sistemas lineales no homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Variaci´on de los par´ametros . . . . . . . . . . . . Matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

6 Soluci´ on de ecuaciones diferenciales mediante series 6.1 Introducci´on y preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Soluci´on mediante series de potencias . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Soluci´on en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . 6.2.2 Soluci´on en torno a puntos singulares: m´etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ecuaciones y funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Ecuaci´on de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Ecuaci´on de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Ecuaci´on hipergeom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

171 181 181 182 185 191

193 . 193 . 197 . 198 . . . . . .

202 207 208 212 214 217

Respuestas

219

Bibliograf´ıa

229

´Indice alfab´ etico

230

iii

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5.4 5.5

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Esta obra ha sido realizada para que sea usada como texto gu´ıa en los cursos de ecuaciones diferenciales, que se ofrecen en las diferentes universidades en los distintos programas de ingenier´ıas y tecnolog´ıas. En particular, en la Universidad Tecnol´ogica de Pereira en su programa de licenciatura en matem´aticas y f´ısica. Esta edici´on es el resultado de varios a˜ nos de trabajo y dedicaci´on, lo que permiti´o basados en la experiencia, mejorar los distintos borradores que fueron utilizados como notas de clase de quienes somos sus autores. Se desarrollaron seis cap´ıtulos, en los que sin perder de vista la formalidad de los contenidos, el lector podr´a encontrarse con una presentaci´on sencilla, pr´actica y amena haciendo posible un primer acercamiento al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Es as´ı como en los cap´ıtulos 1 y 2 se presentan los aspectos relacionados a las ecuaciones diferenciales de primer orden, tema que corresponde a la unidad I del programa oficial del curso de matem´aticas IV que se orienta en la Universidad Tecnol´ogica de Pereira. El siguiente cap´ıtulo coincide con la unidad II del programa de matem´aticas IV en el que se desarrollan los elementos m´as importantes de las ecuaciones diferenciales de orden superior. En el cap´ıtulo 4 se lleva a cabo el desarrollo de la transformada de Laplace y sus diferentes usos en la soluci´on de sistemas de ecuaciones y otras aplicaciones. Por u ´ltimo en el cap´ıtulo final de v

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Presentaci´ on

www.elsolucionario.net ´n Presentacio

esta obra est´a dedicado a desarrollar lo referente a la soluci´on de ecuaciones diferenciales mediante el m´etodo de Series de Potencias.

Por u ´ltimo, queremos manifestar que junto con el prop´osito inicial, tambi´en deseamos hacer un aporte para que la complejidad de las matem´aticas se presente sin perder rigurosidad pero estando cada vez m´as al alcance de todos. Nos hacemos responsables de los errores que pueden llegarse a filtrar en esta primera edici´on, y agradecemos de antemano las sugerencias y observaciones que pudieran hacernos llegar. Los autores.

vi

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Es de anotar que en cada uno de estos cap´ıtulos nos preocupamos por entregar una gran variedad de ejemplos, los que le permiten al estudiante desarrollar los ejercicios y problemas que se proponen; casi en su totalidad con su respuesta.

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Cap´ıtulo 1

1.1

Introducci´ on

En las ciencias y en la ingenier´ıa se desarrollan modelos matem´aticos para entender mejor los fen´omenos f´ısicos. A menudo, estos modelos conducen a una ecuaci´on que contiene algunas derivadas de una funci´on desconocida. Esta ecuaci´on se denomina una ecuaci´on diferencial. Comenzamos esta secci´on con unos ejemplos, los cuales dan origen a ecuaciones diferenciales. t = 0, v = 0

Ejemplo 1.1 (Ca´ıda libre). Un objeto de masa m se deja caer desde una altura h (por encima del suelo) y cae por la fuerza de gravedad, (Fig. 1.1). Determine la ecuaci´on diferencial que describe la trayectoria del objeto.

y h mg Nivel del suelo

Figura 1.1. Cuerpo en ca´ıda libre

1

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Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales

www.elsolucionario.net ´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Soluci´ on. Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su aceleraci´on es igual a la fuerza total que act´ ua sobre ´el. Esto conduce a la ecuaci´on m

d2 y = −mg, dt2

dv = −mg dt Ejemplo 1.2 (Vaciado de un tanque). La ley de Torricelli establece que la rapidez v de flujo (o salida) del agua a trav´es de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h, es igual a la rapidez de un objeto que cae libremente desde una altura √ h, en este caso v = 2gh, donde g es la aceleraci´on de la gravedad, (figura 1.2). Deduzca una ecuaci´on diferencial que exprese la altura h en cualquier momento t, que hay en el tanque. m

V (t)

h

A0

Figura 1.2. Vaciado de un tanque

2

h

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2

donde m es la masa del objeto, y es la altura sobre el suelo, ddt2y es su aceleraci´on, g es la aceleraci´on gravitacional (constante) y −mg es la fuerza debida a la gravedad. Esta es una ecuaci´on diferencial que contiene la segunda derivada de la al, se obtiene la tura desconocida y como funci´on del tiempo. Al hacer v = dy dt ecuaci´on diferencial de primer orden en la inc´ognita v:

www.elsolucionario.net ´ 1.1. INTRODUCCION

 dV = −cA0 2gh, 0 < c < 1 (1.1) dt donde el signo menos indica que V est´a disminuyendo. Si no se tiene en cuenta la fricci´on en el agujero, lo cual causar´a una reducci´on en la tasa de flujo, entonces c = 1. Si el tanque es tal que el volumen en cualquier instante t se expresa como V = V (h) con h = h(t) donde h es la profundidad en el dh = dV . Al sustituir esta instante t, entonces por la regla de la cadena, dV dt dh dt u ´ltima ecuaci´on en (1.1) y despejar, se obtiene A0  dh = −c 2gh. dt dV /dh Ejemplo 1.3 (Circuito RLC). Determine la ecuaci´on diferencial para el circuito LRC dado en la figura 1.3.

L

R E C

Figura 1.3. Circuito RLC

Soluci´ on. Los principios f´ısicos que rigen los circuitos el´ectricos fueron establecidos por G. R. Kirchhoff en 1859. Los principios son los siguientes:

1. Ley de la corriente de Kirchhoff. La suma algebraica de las corrientes que fluyen en cualquier punto de uni´on (nodo) debe ser cero. 3

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Soluci´ on. Si el ´area transversal del agujero es A0 , y la rapidez del agua que √ sale del tanque es v = 2gh, el volumen del agua que sale por unidad de √ tiempo est´a dado por A0 v = A0 2gh. As´ı, si V (t) representa el volumen del agua en el tanque a una profundidad h en cualquier instante t, entonces

www.elsolucionario.net ´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

2. Ley del voltaje de Kirchhoff. La suma algebraica de los cambios instant´aneos del potencial (ca´ıdas de voltaje) en torno a cualquier lazo cerrado (bucle) debe ser cero. Para aplicar la ley del voltaje, se debe conocer la ca´ıda de voltaje a trav´es de cada elemento del circuito. (a) De acuerdo con la ley de Ohm, la ca´ıda de voltaje ER a trav´es de un resistor es proporcional a la corriente i que pasa por el resistor:

La constante de proporcionalidad R se conoce como resistencia. (b) Se puede mostrar mediante las leyes de Faraday y Lenz que la ca´ıda de voltaje EL a trav´es de un inductor es proporcional a la raz´on de cambio instant´anea de la corriente i: EL = L

di . dt

La constante de proporcionalidad L se conoce como inductancia. (c) La ca´ıda de voltaje E a trav´es de un capacitor es proporcional a la carga el´ectrica q que aparece en las placas del capacitor: EC =

1 q. C

La constante C se llama capacitancia. Suponemos que una fuente de voltaje, suma voltaje o energ´ıa potencial al circuito. Si E(t) indica el voltaje que se proporciona al circuito en el instante t, entonces la ley de Kirchhoff implica EL + ER + EC = E(t).

(1.2)

Al sustituir en (1.2) las expresiones para EL , ER y EC se tiene L

1 di + Ri + q = E(t) dt C 4

(1.3)

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ER = Ri.

www.elsolucionario.net 1.2. DEFINICIONES Y TERMINOLOG´IA

La corriente es la raz´on de cambio instant´anea de la carga, es decir i = Por lo tanto, podemos expresar (1.3) como L

dq 1 d2 q + R + q = E(t) dt dt C

dq . dt

(1.4)

En la mayor parte de las aplicaciones interesa determinar la corriente i(t). Al derivar (1.3) con respecto a t, suponiendo que E es diferenciable, y sustituyendo i en lugar de dq , se obtiene: dt

1.2

di 1 dE d2 i +R + i= dt dt C dt

(1.5)

Definiciones y terminolog´ıa

Definici´ on 1.2.1. Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as variables dependientes con respecto a una o m´as variables independientes es una ecuaci´on diferencial. Ejemplo 1.4. En la ecuaci´on dx d2 x + a + kx = 0, 2 dt dt

(1.6)

t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Las constantes a k se llaman coeficientes de la ecuaci´on. Ejemplo 1.5. En la ecuaci´on ∂u ∂u − = x − 2y, ∂x ∂y

(1.7)

x y y son las variables independientes, mientras que u es la variable dependiente.

Clasificaci´ on 1. Seg´ un el tipo: Una ecuaci´on que s´olo contiene derivadas ordinarias con respecto de una sola variable independiente, es una ecuaci´on diferencial 5

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L

www.elsolucionario.net ´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

ordinaria (EDO). Una ecuaci´on diferencial que contiene derivadas parciales con respecto de m´as de una variable independiente, es una ecuaci´on diferencial parcial (EDP). La ecuaci´on (1.5) es una EDO, mientras que la ecuaci´on (1.7) es una EDP.

3. Seg´ un la linealidad o no linealidad: Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n es lineal si tiene la forma an (x)

dn y dn−1 y dy + a (x) + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x). n−1 n n−1 dx dx dx

(1.8)

Si una ecuaci´on diferencial no es lineal, entonces se dice que es no lineal. Ejemplo 1.6. Las ecuaciones (2x − y)dx + 4xdy = 0, y  − 3y  + 2y = 0 y dy d3 y x3 dx 3 − 2x dx + 6y = 0 son ecuaciones lineales de primero, segundo y tercer orden respectivamente. 2

d y Ejemplo 1.7. Las ecuaciones (1 + y)y  + 2y = ex , dx 2 + (sen y)y = 0 y d4 y 2 + y = 0 son ecuaciones no lineales de primero, segundo y cuarto orden dx4 respectivamente.

1.3

Soluciones y problemas de valor inicial

Una ecuaci´on diferencial ordinaria general de orden n se representa mediante cualquiera de las expresiones   F x, y, y  , . . . , y (n) = 0   y (n) = f x, y, y  , . . . , y (n−1) 6

(1.9a) (1.9b)

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2. Seg´ un el orden: El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden de las derivadas de orden m´aximo que aparecen en ella. Las ecuaciones (1.5) y (1.6) son ecuaciones de segundo orden. La ecuaci´on (1.7) es una EDP de primer orden.

www.elsolucionario.net 1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Definici´ on 1.3.1 (Soluci´ on expl´ıcita). Una funci´on φ tal que al sustituirla en lugar de y en la ecuaci´on (1.9a) o en (1.9b) satisface la ecuaci´on para toda x en un intervalo I es una soluci´on expl´ıcita de la ecuaci´on en I. Una soluci´on expl´ıcita que es id´entica a cero en I, se llama soluci´on trivial. Ejemplo 1.8. Muestre que φ(x) = x2 − x−1 es una soluci´on...