ECV1 - tarea 1 PDF

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Summary

Dada la matriz 𝐴=[𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃10] para 𝜃∈[0;2𝜋] y las curvas en coordenadas polares 𝑟=2|𝐴| y 𝑟=2(1−𝑠𝑒𝑛𝜃). Calcule las coordenadas polares de los puntos de intersección de ambas curvasSolución:𝐴 = 0 .𝑐𝑜𝑠θ − (−𝑠𝑒𝑛θ .1)𝐴 = 𝑠𝑒𝑛θ𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛θ𝑟 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛θ)Entonces:2𝑠𝑒𝑛θ = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛θ)4𝑠𝑒𝑛θ = 2𝑠𝑒𝑛θ = 1/θ = 30°Re...

Description

1. Dada la matriz 𝐴=[𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃10] para 𝜃∈[0;2𝜋] y las curvas en coordenadas polares 𝑟=2|𝐴| y 𝑟=2(1−𝑠𝑒𝑛𝜃). Calcule las coordenadas polares de los puntos de intersección de ambas curvas Solución: 𝐴 = 0 . 𝑐𝑜𝑠θ − (−𝑠𝑒𝑛θ .1) 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛θ 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛θ 𝑟 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛θ) Entonces: 2𝑠𝑒𝑛θ = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛θ) 4𝑠𝑒𝑛θ = 2 𝑠𝑒𝑛θ = 1/2 θ = 30° Resultado: θ = 30°

2. Analice la simetría de las siguientes curvas a. 𝑟 = 2 + 𝑐𝑜𝑠θ b. 𝑟  = cos(2θ) − cos(θ) Solución: Teniendo en cuenta (𝑟, θ) → (r, −θ) I. (𝑟, θ) → (r, π − θ) II. (𝑟, θ) → (−r, θ) III.

Polo π/2 Eje polar

a. 𝑟 = 2 + 𝑐𝑜𝑠θ I.

𝑟 = 2 + 𝑐𝑜𝑠θ 𝑟 = 2 + cos(−θ) 𝑟 = 2 + cosθ Existe Simetría

II.

𝑟 = 2 + cos(π − θ) 𝑟 = 2 + cosθ Existe Simetría

III. -𝑟 = 2 + cos θ 𝑟 = −2 − cosθ No existe Simetría b. 𝑟  = cos(2θ) − cos(θ) I.

𝑟  = cos[2(−θ)] − cos(−θ) 𝑟  = 𝑐𝑜𝑠2θ − cosθ Existe Simetría

II.

𝑟  = cos[2(π − θ)] − 𝑐os(π − θ) 1

𝑟  = cos(2π − 2θ) − 𝑐os(π − θ) 𝑟  = cos2θ − cosθ Existe Simetría III. (−𝑟) = cos 2θ − cosθ 𝑟  = cos2θ − cosθ Existe Simetría

3. En la figura adjunta se muestran las gráficas de las siguientes curvas polares: 𝐶 : 𝑟 = 3

𝑦

𝐶 : 𝑟 = 3 − 6cos(θ)

a. Calcule los puntos de intersección de ambas curvas. 𝑟 = 3 − 6cosθ 6cosθ = 0 cosθ = 0 Resultado: θ=

 

; 3

 

b. Calcule la ecuación cartesiana de la curva 𝐶 𝐶 𝑟=3 𝑟  = 3 𝑥  + 𝑦 = 3 Teniendo en cuenta: (h, k) = (0,0) Entonces: 𝑟=3 𝐶 𝑟 = 3 − 6𝑐𝑜𝑠θ  𝑟=3− 

𝑟  = 3r − 6x Resultado: 𝑥  + 𝑦 = 3𝑥  + 𝑦 + 6𝑥 c. Diga el nombre de la curva 𝐶 LIMACON O CARACOL CON RIZO. d. Demuestre que la curva 𝐶 es simétrica al eje polar. 𝑟 = 3 − 6cos(θ) 2

Eje Polar: (r, θ) → (−r, θ) −𝑟 = 3 − 6𝑐𝑜𝑠θ 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠θ − 3 Resultado: No existe simetría

4. Dada la región mostrada en la figura adjunta, está definida por la parte exterior de la circunferencia 𝐶 : 𝑥 + (y − 4) = 16 y la parte interior del cardioide definido por: 𝑟=4+4𝑠𝑒𝑛(𝜃) con 𝑥≤0 a. Escriba la ecuación de la curva 𝐶1 forma polar. 𝑟  𝑐𝑜𝑠 θ + [𝑟. 𝑠𝑒𝑛  θ − 4] = 16 𝑟  𝑐𝑜𝑠 θ + 𝑟  𝑠𝑒𝑛  θ − 8𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ + 16 = 16 𝑟  𝑐𝑜𝑠 θ + 𝑟  𝑠𝑒𝑛  θ − 8𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ + 16 = 16 𝑟  (𝑐𝑜𝑠 θ + 𝑠𝑒𝑛  θ) = 8𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ 𝑟  = 8𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ 𝑟 = 8𝑠𝑒𝑛θ Resultado: 𝑟 = 8𝑠𝑒𝑛θ

b. Exprese la región algebraicamente en coordenadas polares. 𝑅 = 𝐶 − 𝐶 𝑅 = 4 + 4𝑠𝑒𝑛θ − 8senθ 𝑅(𝑟, θ) = 𝑟 ≤ 4 − 4𝑠𝑒𝑛θ Resultado: 𝑅(𝑟, θ) = 𝑟 ≤ 4 − 4𝑠𝑒𝑛θ c. Grafique la región 𝑅:𝑟≤4−4𝑠𝑒𝑛(𝜃) π 4

1,2

2π

4

θ

𝑟

0

4

3π

π/ 2

0

4 210

π

4

3π 2 π

8

6

300

1,2 6 7,4

2

3

5. Dada la región mostrada en la figura adjunta,

a. Escriba las ecuaciones de las curvas mostradas en la figura en forma cartesiana. 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ 𝐶 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛θ 𝐶 𝑟=2 𝑟  = 2𝑦 𝑥  + 𝑦 = 2𝑦 𝑦  − 2𝑦 + 1 − 1 + 𝑥 = 0 (𝑦 − 1) + 𝑥  = 1

b. Exprese la región algebraicamente en coordenadas cartesianas. 𝑟  = 2 𝑥  + 𝑦 =2

c. Exprese la región algebraicamente en coordenadas polares. 𝑅(𝑥, 𝑦) → 𝑦 = √4 − 𝑥 → 𝑦 = √1 − 𝑥  + 1 𝑅(𝑥, 𝑦) → 𝑦 = √4 − 𝑥 − √1 − 𝑥 − 1 0≤𝑥≤2 𝑅(𝑟, 𝜃) → 1 ≤ 2 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 ≤ 2

4

6. Exprese a coordenadas polares, las siguientes ecuaciones: a. 𝑥  + 𝑦 − 2x = 0 𝑟  . 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟  . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 𝑟  (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛  𝜃) = 2𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟  (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛  𝜃) = 2𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃

b. 𝑦 = 4 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 4

7. Dada la matriz 𝑟1 = 2|𝐴| y 𝑟2 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃).

para 𝜃 ∈ [0; 2𝜋] y las curvas en coordenadas polares

a. En un mismo plano polar grafique las curvas dadas arriba.

𝐴 = 0 . 17𝑆𝑒𝑛𝜃 − (−𝑐𝑜𝑠𝜃. 2) 𝐴 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟 = 2(𝐴) → 4𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)

θ

𝑟

0

4

θ

𝑟

π/ 2

0

0

2

π

-4

π/ 2

0

2π

4

π

2

0

2π

2

3π 2 π 3 π 6

2 3,4

3π 2 π 3 π

4 0,3

120

-2

6

1

210

-3 , 4

120

0,3

300

2

210

3

5...