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Exercícios Thiago Clé...

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Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica

Prof. José Policarpo GQEE

EEL002 CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA TEORIA

Revisão: José Eugenio L. Almeida

Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 1 / 110

Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica

Prof. José Policarpo GQEE

CIRCUITOS TRIFÁSICOS

1 Geração de F.E.M.s Senoidais 1.1

Monofásicas

Da física tem-se que, quando um condutor é colocado em um campo magnético, desde que haja uma variação deste campo no condutor, será induzida no mesmo uma força eletromotriz - f.e.m. - dada pela equação:

e = E MÁX ⋅ sen(ω ⋅ t )

(1)

onde:

EMÁX = BSω sendo: B - Indução ou Densidade de fluxo S - Área da espira

ω - freqüência angular Esta situação fica melhor esclarecida através da figura abaixo:

Figura 1 – Geração de f.e.m. senoidal.

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No caso da figura 1 a variação do campo magnético se dá pelo fato do condutor estar girando embora os pólos indutores (N e S) permaneçam fixos. Mas no caso de geradores reais, pode ocorrer que o condutor esteja fixo e os pólos serem girantes, havendo, portanto, como anteriormente, uma variação de campo magnético sobre o condutor. A figura 2 ilustra:

a

a'

+ -

S

a a' - representa o condutor (ou espira)

ω

N

Figura 2 - Esquemático de um gerador monofásico. Em realidade no gerador monofásico real não existe um único condutor, mas uma série deles ligados entre si, de forma que tenhamos dois terminais, o que caracteriza o sistema monofásico.

1 Trifásicas As f.e.m.s trifásicas são geradas da mesma forma que as monofásicas. Um sistema trifásico nada mais é que um conjunto de três sistemas monofásicos que estão defasados entre si de 120º elétricos (defasagem dos fasores das f.e.m.s); para tanto os condutores (espiras) estão conectados convenientemente como mostra a figura 3 a seguir. Pelo sentido de giro dos pólos indutores (NS) na figura 3, teremos que na espira bb’ haverá a indução de f.e.m. cujo valor máximo ocorre 120º após a ocorrência do valor

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máximo da f.e.m. da espira aa' e o valor máximo da f.e.m. da espira cc' ocorrerá 240º após o da f.e.m. da espira aa', de forma que pode-se escrever:

a b'

N

ω

+ -

c'

c

S

b

a'

Figura 3 - Esquemático de um gerador trifásico.

e aa ' = E MÁX sen(ω ⋅ t ) 2 e bb' = E MÁX sen(ω ⋅ t − π ) 3 4 ecc ' = E MÁX sen(ω ⋅ t − π ) 3

(2)

ou

eaa ' = E MÁX sen(ω ⋅ t ) 2 ebb ' = EMÁX sen(ω ⋅ t − π ) 3 2 ecc ' = EMÁX sen(ω ⋅ t + π ) 3

(3)

Nota: Atente-se ao fato de que nos geradores trifásicos reais aa', bb' e cc' são bobinas constituídas de diversas espiras e que ocupam todo o espaço, diferentemente daquilo mostrado no modelo da Figura 3. A partir do conjunto de equações (2) ou (3) pode-se fazer a representação fasorial das f.e.m.s como a seguir:

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•

j 0D

E aa ' = Ee •

E •

E

= Ee− j120

D

bb '

− j 240D

cc'

= Ee

(4) D

j 120 = Ee

E=

onde:

EMAX 2

2 Seqüência de Fases O conjunto de equações (2) e (3) são válidas para o indutor (pólos indutores) girando no sentido indicado na figura 3. Entretanto o mesmo poderia girar em sentido contrário e então

e aa ' = E MÁX sen(ω ⋅t ) 2 e bb ' = E MÁX sen(ω ⋅ t + π ) 3 2 ecc ' = E MÁX sen(ω ⋅ t − π ) 3

(5)

cujos fasores seriam: •

•

D

E aa ' = Ee j 0

•

E bb ' = Ee j120 •

•

•

•

•

D

E

cc '

= Ee − j120

D

(6)

•

Fazendo E aa ' = E 1 , E bb ' = E 2 , E cc ' = E 3 , têm-se os seguintes diagramas fasoriais, correspondendo a chamada seqüência de fases direta ou positiva - equações (4) - e seqüência de fases inversa ou negativa - equações (6):

Figura 4 - Seqüência de fases.

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3 F.E.M.s de Fase e de Linha 3.1

F.E.M.s Geradas por Gerador Conectado em Y (Estrela)

Como foi dito anteriormente o sistema trifásico nada mais é que a combinação de três sistemas monofásicos defasados entre si de 120º. A representação de tal assertiva pode ser feita como abaixo: c' c

a

a'

b' b

Figura 5 - Três sistemas monofásicos. Em termos práticos é interessante, todavia, que, por exemplo, ligue-se os terminais a', b' e c' entre si resultando em: fase c c

a' ≡ b' ≡ c'

a

fase a neutro

b fase b

Figura 6 - Gerador Trifásico em Y.

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À conexão da figura 6 dá-se o nome de conexão Estrela e representa-se por Y. Ainda mais, o ponto de coincidência entre a', b' e c' é chamado de ponto neutro e o condutor dali retirado é chamado de fio neutro ou simplesmente neutro. Os condutores retirados dos terminais a, b e c, são chamados de, respectivamente, fase a, fase b e fase c. A partir daí pode-se construir o diagrama de fasores das f.e.m.s geradas em cada bobina, ou seja:

E cn

E an OBS.: A seqüência de fases adotada é a direta

E bn

Figura 7 - Diagrama fasorial para as f.e.m.s de fase.

As f.e.m.s acima representadas são aquelas entre fase e neutro, ou seja são as f.e.m.s nas próprias bobinas. Entretanto, em termos práticos é bastante comum o interesse e a necessidade das f.e.m.s entre, por exemplo, a fase a e a fase b, daí pode-se obter: •

E ab - f.e.m. entre as fases a e b

•

E bc - f.e.m. entre as fases b e c

•

E ca - f.e.m. entre as fases c e a E agora define-se: •

•

•

•

•

•

E an , E bn e E cn - f.e.m.s entre fase e neutro ou f.e.m.s DE FASE E ab , E bc e E ca - f.e.m.s entre fases ou f.e.m.s DE LINHA

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Por outro lado, a análise da Figura 6 mostra: •

•

•

E an = E a − E n − •

•

•

E bn = − (E b − E n ) •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

E an − E bn = E a − E n − E b + E n = E a − E b = E ab Logo: •

E ab = E an − E bn Analogamente: •

•

•

E bc = E bn − E cn

e

•

•

•

E ca = E cn − E an

Como •

•

•

•

•

•

E na = − E an , E nb = − E bn e E nc = − E cn então pode-se escrever: •

•

•

•

•

•

•

•

•

E ab = E an + E nb E bc = E bn + E nc

(7)

E ca = E cn + E na

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A união do conjunto de equações (7) com a figura 7, leva-nos a: Eca

E nb

Ecn

Eab

Ean

Ena

E nc

E bn

Ebc

Figura 8 – Diagrama Fasorial para as f.e.m.s de fase e de linha - Conexão Y. Se se tomar, de acordo com a figura 8, as f.e.m.s de fase como sendo: •

E an = E e j0 º •

E bn = E e − j120 º •

E cn = E e j120 º

Tem-se, por exemplo: •

•

•

E ab = E an + E nb = E e j 0º + E e j 60º = E

[ cos 0º+ j sen 0º+ cos 60º+ j sen 60º] =

⎡ ⎡3 1 3⎤ 3⎤ = E ⎢1 + j0 + + j ⎥= E ⎢ +j ⎥= 2 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎣2 = 3 E [ cos 30º + j sen 30º]

⎡ 3 1⎤ 3 E ⎢ + j ⎥= 2⎦ ⎣2

•

j30º ∴ E ab = 3Ee

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Desenvolvimentos análogos levariam a: •

E bc = 3 E e − j 90 º •

E ca = 3 E e j150 º

Portanto:

"F.e.m.s de linha são, na conexão Y,

3 vezes maior que as de fase e estão

desfasadas das mesmas, na seqüência de fases direta, de 30º ”, ou •

•

E L = 3 E f e + j 30 º

(8)

•

•

E f - f.e.m. de fase correspondente

onde: E L - f.e.m. de linha

3.2

F.E.M.S Geradas por Gerador Conectado em ∆ (Delta ou Triângulo)

Agora, poder-se-ia tomar as três bobinas da figura 5 e ligá-las da seguinte forma: fase c a( ≡ b')

c(≡a')

fase a

b(≡c')

fase b

Figura 9 – Gerador Trifásico ligado em ∆

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À conexão da figura 9 dá-se o nome de conexão Triângulo ou Delta e representase por ∆. Note que as f.e.m.s de linha, neste caso, são as próprias f.e.m.s geradas nas bobinas, logo: "F.e.m.s de linha são, na conexão ∆ , as próprias f.e.m.s de fase" •

Pode-se , por exemplo, fazer a seguinte representação fasorial, tomando E ab na referência:

E ca E ab E bc Figura 10 – Diagrama Fasorial para as f.e.m.s de fase e de linha – Conexão ∆

4 Cargas Trifásicas

As cargas elétricas podem ser classificadas segundo diversas formas, a saber: 4.1

Tipos de Carga Quanto ao Ângulo →

a ) Z = Z e jϕ , ϕ = 0º

Sendo ϕ = 0º, não haverá defasagem entre a tensão aplicada a esta impedância e a corrente que por ela circula, tem-se então a chamada carga

Puramente Resistiva. →

Z = Z cosϕ + jZ senϕ

fazendo Z cosϕ = R

Z senϕ = X,

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logo

→

Z = R + jX

entretanto ϕ = 0º, portanto R = Z e X = 0, logo: →

Z =R →

b) Z = Z e j ϕ , ϕ = 90º

Sendo ϕ = 90º a corrente na impedância estará defasada de 90º em atraso com relação à tensão aplicada à mesma, tem-se então a chamada carga Puramente

Indutiva. →

Z = Z cosϕ + jZ senϕ

sendo

Z cosϕ = R

Z senϕ = X, vem

→

Z = R + jX

Como ϕ = 90º, tem-se R = 0 e X = Z, portanto: →

Z = jX

→

c ) Z = Z e jϕ , ϕ = −90º

Sendo ϕ = -90º, a corrente nesta impedância estará defasada de 90º adiantada com relação à tensão na impedância, tem-se então a chamada carga Puramente Capacitiva. →

Z = Z cosϕ + jZ senϕ

sendo

Z cosϕ = R

e

Z senϕ = X, vem

→

Z = R + jX

Porém, sendo ϕ = -90º, tem-se R = 0 e -X = Z, portanto: →

Z = − jX →

d ) Z = Z e j ϕ , 0º < ϕ < 90º

Neste caso, a impedância faz com que haja um defasamento da corrente para a tensão de –90º < ϕ < 0º, portanto a carga é do tipo Resistiva e Indutiva. Revisão: José Eugenio L. Almeida

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→

→

Z = Z cosϕ + jZ senϕ ∴ Z = R + jX

R - parte Resistiva

X - parte Indutiva

Como 0º< ϕ < 90º, vem: →

Z = R + jX

→

e) Z = Z e jϕ , − 90º < ϕ < 0º

Agora o defasamento da corrente com relação a tensão será de 0º < ϕ < 90º,. logo a carga é do tipo: Resistiva e Capacitiva. →

→

Z = Z cosϕ + jZ senϕ

Z = R + jX

Como -90º< ϕ < 0º: →

Z = R − jX

R - parte Resistiva

X - parte Capacitiva

f) Carga com R, L, C Este caso não é independente dos outros, pois dependendo das particularidades da impedância em estudo tem-se ou o caso a) ou o d) ou o e).

f.1) R, L, C com equivalência de aspectos. Se o aspecto indutivo da carga for equivalente a seu aspecto capacitivo, tem-se a chamada ressonância, e então a carga será "vista" como sendo simplesmente uma resistência, logo tem-se o caso a). f.2) R,L,C, com preponderância do aspecto indutivo. Se o aspecto indutivo da carga for preponderante ao aspecto capacitivo, a carga será "vista" como sendo resistiva e indutiva e portanto aplica-se o caso d).

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f.3) R,L,C, com preponderância do aspecto capacitivo. Por outro lado, se o aspecto capacitivo da carga for preponderante ao indutivo, a mesma será "vista” como sendo resistiva e capacitiva, logo tem-se o caso e). Todos estes casos são melhores visualizados através dos diagramas de fasores de tensões e correntes:

Caso a

I

V R

V

Z=R

I

Caso b

I

V V

L

Z = j XL I

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Caso c

I

I V V

C

Z = - j XC

Caso d

I

V

V

R

Z =R

ϕ

L

Z =jX

ϕ = tg-1 X

I

L

R

Caso e I I V

R C

Z =R

ϕ

V

Z = -jX C

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4.2

Tipos de Cargas Quanto à Conexão

No item anterior, viu-se todos os tipos de cargas possíveis, quanto a variação do ângulo da impedância. Agora , dependendo da forma como são conectadas, tem-se as possibilidades existentes nos sistemas trifásicos. Tomadas três impedâncias quaisquer, estas podem ser ligadas como a seguir: a) Carga em Delta ou Triângulo (∆) a

c

b

a Z

Z

3

1

ou

Z

3

Z

1

Z

2

c Z

b

2

Figura 12 - Carga trifásica ligada em ∆.

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ou como abaixo: b) Carga em Estrela (Y) a

a Z

ou

1

Z

3

n Z

Z

1

c

Z

2

n

Z

2

b

3

b c

Figura 13 - Carga trifásica ligada em Y.

4.3

Tipos de Cargas Quanto à Igualdade ou não das Impedâncias - Cargas Equilibradas e Desequilibradas

Se as três impedâncias das figuras 12 ou 13, forem de tal forma que: →

→

→

Z 1 = Z 2 = Z 3 - diz-se que a carga é Equilibrada. Por outro lado, se: →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Z1 ≠ Z 2 ≠ Z 3 ou Z 1 ≠ Z 2 = Z 3 ou Z 1 = Z 2 ≠ Z 3 ou Z 1 = Z 3 ≠ Z 2 , diz-se que a Carga é Desequilibrada. OBS.: Para os objetivos deste trabalho, sempre serão consideradas carga

equilibradas.

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5 Correntes de Linha e de Fase

Seja um gerador alimentando uma carga como na figura a seguir,

IA

B A

IB

b

a

Zg

Zg

ZC Ib

IN

N

ZC Ia Ic

Carga

Zg

Gerador

ZC

IC

c

C

Figura 14 - Gerador em Y alimentando carga em Y. Na figura 14, tem-se: -

Gerador Trifásico Y Carga Trifásica Y Zc - Impedância da carga Zg - Impedância do gerador

-

I A , I B , I C - correntes do gerador para a carga (correntes de linha)

-

•

•

•

•

I n - corrente da carga para o gerador •

•

•

I a , I b , I c - correntes na carga (correntes de fase)

⎛• • • As correntes nas linhas que chegam à carga ⎜ I A , I B , I C ⎞⎟ , são chamadas de correntes de ⎠ ⎝ linha ⎛• • • ⎞ As correntes nas impedâncias da carga ⎜ I a , I b , I c ⎟ , são chamadas de correntes de fase ⎝ ⎠

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5.1

Correntes de Linha e de Fase em uma Carga Ligada em Y •

Pela figura 14 observa-se que I

é a própria corrente I a , o mesmo acontecendo

•

•

•

•

•<...