Ejejrcicios Resueltos Matematicas Fundamentos DEL Libro DE LA Espol PDF

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WENDY ANGEL GUERRERO

ING. SARA CRUZ ADMINISTRACIÓN “E”

2013

INTRODUCCION El presente portafolio es la recopilación del trabajo con las cuales obtuvimos el conocimiento matemático y aprendizajes logrados durante este modulo de matemáticas que contiene los trabajos que hemos desarrollado en clases capitulo 1,2, 4 y 11 aquí podrán encontrar todos los temas llevados con sus respectivas definiciones, reflexiones ejemplos y ejercicios. La importancia de las matemáticas está comprobada porque siempre van involucradas en cualquier carrera que uno elija en el futuro la cual nos garantiza una mejor práctica educativa y un mejor razonamiento lógico en los alumnos.

Joselyn Vega

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OBJETIVOS  Consolidar la formación de manera que permita dominar los contenidos del modulo de matemáticas  Destacar la importancia del desarrollo individual, e intentar integrar los conocimientos previos en la situación de aprendizaje  Desarrollar la capacidad para localizar información, para formular, analizar y resolver problemas  Aprender matemáticas en una forma distinta a otros métodos de trabajo.

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CAPITULO I Lógica y Conjunto

1.1 PROPOSICIÓN Una proposición es una unidad semántica que o solo es verdadero o es falso ejemplo. A: es un número primo B: 2+2 es 5 C: 4 es múltiplo de 16 Oraciones que no son proposiciones ¡Auxilio! ¡Hola! Buenas noches 1.2VALOR DE VERDAD El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso. Y puede ser representado de la siguiente forma: V 1 + Si F 0

- No False

V 1 + Si

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True

True

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1.3TABLA DE VERDAD Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. Ejemplo. A

B

0

0

0

1

1

0

1

1

A 1 0

1.4 OPERADORES LÓGICOS Operador lógico: Son usados para poder formar proposiciones más complejas. Negación (¬a): Este operador permite cambiar el valor de verdad de las proposiciones. Su tabla de verdad es la siguiente:

Los términos gramaticales más usados son: “NO”, “NO ES VERDAD”, “NO ES CIERTO QUE “, “NI”.

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Conjunción: (a Λ b): Este operador solo es VERDADERO cuando las dos proposiciones son verdaderas, en otro caso, es FALS. Su tabla de verdad es la siguiente:

Los términos gramaticales más usados son: “Y”, “PERO”, “MAS” (sin tilde), sin embargo y los signos de puntuación: coma, punto y coma, y punto.

Disyunción: (a V b) Este operador solo es FALSO solo cuando las dos proposiciones son FALSAS, en otro caso, es VERDADERA. Su tabla de verdad es la siguiente:

Los términos gramaticales son: “O” Disyunción Exclusiva: (a ⊻b): Este operador solo es FALSO cuando las dos proposiciones son FALSAS, en otro caso, es VERDADERA. Su tabla de verdad es la siguiente.

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Sus términos gramaticales más usados son: “O…., O”.

Condicional (a→b):Este operador solo es FALSO cuando la primera proposición es verdadera, y la segunda es falsa, en otro caso, es VERDADERA. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simbólicamente por a →b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad. A: Juan gana el concurso. B: Dona 10.000 dólares. La condicional entre a y b es: A→B: si juan gana el concurso, dona $10.000

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Parafraseando la condicional tenemos: Juan Gana el concurso solo si dona 10.000

 B cada vez que A  B ya que A  B debido a que A  B puesto que A  B porque A  Se tiene B si se tiene A  Solo si B,A  B puesto A  A implica B  Cuando A,B  Solo A son B En base a este ejemplo, nos podemos preguntar: ¿cuándo se quebrantará la Promesa de Juan? Esto será únicamente cuando Juan gane el concurso y no Done el dinero. Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a→b, las cuales Se denominan: recíproca, inversa y Contrareciproca (o contra positiva). PROPOSICIÓN: a →b RECIPROCA:b → a INVERSA:¬a → ¬b CONTRARECIPROCA:¬b→¬a (a→b)= ¬b→¬a La proposición condicional tiene equivalencia lógica con su Contrareciproca. Bicondicional (a ↔b):Este operador es VERDADERO cuando las dos proposiciones son VERDADERAS, y es FALSA cuando las dos proposiciones son FALSAS. Su tabla de verdad es la siguiente: Joselyn Vega

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Los términos gramaticales más usados son:”a si y solo si b”, “ a si y solamente si b”, “a implica que b y b implica a”, “a cuándo y solo cuando b” A partir de la proposición: “Si es un automóvil, entonces es un medio de transporte”. La Recíproca sería: “Si es un medio de transporte, entonces es un automóvil”. La Inversa sería: “Si no es un automóvil, entonces no es un medio de transporte”. La Contrareciproca sería: “Si no es un medio de transporte, entonces no es un automóvil”.

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Tarea #1 Fecha: Martes 8 de enero del 2013 Dada las siguientes preposiciones A: Elizabeth cumple con sus obligaciones. B: Elizabeth aprueba el examen. C: Elizabeth se va de vacaciones. D: Elizabeth trabaja. E: Elizabeth come. Traduzca literalmente las siguientes proposiciones: I.

a→¬[b→(¬c฀ d)]

II.

[ b ^ ¬ (d ↔ ¬ a ) ] ฀ [ ( c ฀ d ) → ( d ^ c ) ]

III.

c→[(a↔d)^(b↔¬e)]

IV.

(a^b)↔[c฀ (d→¬e)]

Respuestas: 1. Elizabeth cumple con sus obligaciones entonces, es mentira que, si Elizabeth aprueba el examen entonces ella se va de vacaciones y no trabaja. 2. Elizabeth aprueba el examen y es mentira que, ella trabaja si y solo si ella no cumple con sus obligaciones; o, si Elizabeth se va de vacaciones o trabaja entonces ella trabaja y come. 3. Si Elizabeth se va de vacaciones entonces, ella cumple con sus obligaciones si y solo si trabaja y Elizabeth aprueba el examen si y solo si ella no come. 4. Elizabeth cumple con sus obligaciones y aprueba el examen; si y solo si, ella se va de vacaciones y, si Elizabeth trabaja entonces ella no come.

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Ejercicio 2: Teniendo las preposiciones: A

Como espinaca.

B

La lógica es fácil.

C

Me divierto con esto.

Parafrasear las siguientes proposiciones. I.

(a^b)↔c

II.

( b ^ c) → a

III.

¬ a → ( ¬ b ฀ ¬c )

Respuestas: A. Primer ejercicio 1. Me divierto con esto si y solo si, como espinaca y la lógica es fácil. 2. Como espinaca y la lógica es fácil, si y solo si me divierto con esto. 3. Me divierto con esto si y solo si, como espinaca y también la lógica es fácil. 4. Como espinaca aunque la lógica es fácil, si y solo si me divierto con esto 5. Me divierto con esto si y solo si, como espinaca e incluso la lógica es fácil. B. Segundo ejercicio 1. Si, la lógica es fácil y me divierto con esto, entonces como espinaca. 2. Como espinaca si, la lógica es fácil y me divierto con esto. 3. Si, la lógica es fácil e incluso me divierto con esto, entonces como espinaca. 4. Como espinaca si, la lógica es fácil y también me divierto con esto. Joselyn Vega

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5. Si, la lógica es fácil aunque me divierto con esto, entonces como espinaca. C. Tercer ejercicio 1. Si no como espinacas entonces, la lógica no es fácil o no me divierto con esto. 2. Si no como espinacas entonces es mentira que, la lógica es fácil y me divierto con esto. 3. La lógica no es fácil o no me divierto con esto, si no como espinacas. 4. Es mentira que, la lógica es fácil y me divierto con esto, si no como espinacas. 5. Si no como espinacas entonces, la lógica no es fácil a menos que no me divierta con esto.

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Son aquellas que no poseen operador lógico

alguno. Las proposiciones

compuestas están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos. Ejemplo: “Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla”.

Solución: Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples: A: La seguridad privada es efectiva. B: Los índices de asalto disminuyen en la ciudad. C: El turismo se desarrolla.

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Los operadores lógicos que se encuentran presentes en esta proposición compuesta son la condicional, la conjunción y la negación. La traducción es: [(a→(b∧c))∧(¬b∧a)]→(¬c) TABLA DE VERDAD DE UNA FORMA PROPOSICIONAL.

Dada la siguiente forma proposicional: A: [(p∧q)→(r∨¬p)]∧r

Debido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r, existirán 23 proposiciones posibles en la tabla de verdad de A.

Cuando las variables proposicionales p, q y r toman los valores de verdad 1, 0 y 1, respectivamente, se puede apreciar que la proposición resultante esverdadera.

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TAUTOLÓGICA, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA

TAUTOLOGÍA: Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGÍA CONTRADICCIÓN: se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores

de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una

CONTRADICCIÓN CONTINGENCIA: Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA.

PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LOGICOS Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y algunasde sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyesdel Álgebra de Proposiciones o Leyes Lógicas. A continuación se presentanlas de uso más frecuente: Leyes de los Operadores Fundamentales Conjunción y Disyunción

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Leyes de los Operadores Negación, Condicional y Bicondicional

Leyes de las Implicaciones Lógicas.

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CONJUNTOS Definición de Conjunto Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida. Ejemplos:  Los números enteros.  Los habitantes de la Luna.  Los animales en extinción.  Los números primos.  Los paquetes de software.  Los operadores de telefonía celular Cuantificadores 1. Cuantificador Universal.- Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀ 2. Cuantificador Existencial.- Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃. Ejemplos: ∀x, 2x+3x = 5x Se lee “Para todo número x se cumple que 2x+3x=5x”. ∃x, 2x+2 = 4 Se lee “Existe al menos un número x, para el cual 2x+2=4”. Subconjunto.- El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en B. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A ⊆ B)⇔∀x [(x ∈ A) →(x ∈ B)] Si A es subconjunto de B (A ⊆ B) pero B no es subconjunto de A (B A), se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por: (A ⊂ B)⇔ [(A ⊆ B) ∧¬(A = B)] Joselyn Vega

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Conjunto Potencia.- Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A).P(A) = {B/B ⊆ A} Relaciones entre conjuntos (Igualdad entre conjuntos) Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente,este concepto se representa por: (A = B) ⇔ [(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)] Representación Subconjunto propio= ⊂ Subconjunto= ⊆ Conjunto= ∈ No pertenece al conjunto=  Dos conjunto s iguales= A=b Unión entre dos conjuntos= AB Intersección entre dos conjuntos= AB No pertenece a un subconjunto=  Ejemplos: Si A = {*, +, a}, entonces P(A) = {∅, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}. A partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas: {*, +} ⊂ A= falso {*, +} ∈P(A)= verdadero Joselyn Vega

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∅∈P(A)= verdadero ejercicio 84: Determine cuál de los siguientes conjuntos es vacío: a) A = {{∅}} b) D = {∅} c) B = {∅,{∅}} d) C = {∅, ∅} e) M = { x/x ≠ x}= es conjunto vacío Ejercicio 85: Sean A, B, C, D y M como en el ejercicio anterior. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) N(A) = N(D)= verdadero b) N(D) = N(C)= verdadero c) N(C) = N(M)= falso d) N(C) = 1= verdadero e) N(B) = N(C) + 1= verdadero Ejercicio 87: Siendo A ={a,{b}, c,{d, e}} y B ={b, c}, encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ¬(b ∈ a)= verdadero b) B ⊆ A = falso c) B ∈ A = falso Joselyn Vega

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d) A ∩ B ={c} = verdadero e) {b} ∈ B= falso Ejercicio 87: Sea A ={a, {b}}. Entonces es verdad que: a) ∅∈A= falso b) a⊆ A = falso c) {{b }} ∈A= falso Operaciones Entre Conjuntos Unión entre conjuntos.- La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∪B y se define como: A∪B = {x/(x ∈A)∨(x ∈B)}

Intersección entre conjuntos.- La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A∩B y se define como: A∩B = {x/(x ∈A)∧(x ∈B)}

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Diferencia entre conjuntos.- La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−B y se define como: A−B = {x/(x ∈A)∧¬(x ∈B)}

Diferencia simétrica entre conjuntos.- La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AΔB y se define como: AΔB = (A−B)∪(B−A), o también: AΔB = {x/[(x ∈A)∧¬(x ∈B)]∨[(x ∈B)∧¬(x ∈A)]}

Complementación de conjuntos.- La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como: AC = {x/(x ∈Re)∧¬(x ∈A)}

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Ejemplos 98) si A =

, entonces

99) Sean A, B, C conjuntos no vacios. Respecto del siguiente diagrama de Venn Re

A

B

C

La región sombreada corresponde a: a) Re

A

B

C

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b) Re

A

B

c) Re

A

B

d) Re

A

B

C

c

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100) Sean A, B y C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de ven.

A

C B

La región sombreada a: a) Re

b) Re

A

C

A

C B

B

Propiedades De Las Operaciones Entre Conjuntos Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos. A continuación se presentan las de uso más frecuente:

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Leyes de las Operaciones Fundamentales Unión e Intersección

PREDICADOS Predicados de una variable.- Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si x representa a cualquier elemento de Re, entonces la expresión p(x) se definirá como predicado. La notación para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc.

Conjunto de verdad de un predicado.- Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera. La notación a utilizar para este conjunto es Ap(x), y se define como: Ap(x) = {x/(x ∈Re)∧(p(x)⇔1)}

Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores.- Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjunto referencial de la expresión abierta. ∀xp(x)⇔(Ap(x) = Re) Una proposición con un cuantificador existencial es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado no es vacío. ∃xp(x)⇔¬(Ap(x) = ∅)

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NUMEROS REALES Tanto los números racionales como los irracionales forman el conjunto de los números reales R= Q∪I. La siguiente figura muestra cómo se relacionan los conjuntos numéricos mencionados:

Recta de los Números Reales.

CONVERTIR UN DECIMAL A FRACCIÓN. 1- Denominar como x al número decimal periódico. 2- Localizar el periodo del número. 3- Llevar el punto decimal después del primer periodo, multiplicando al número x por l potencia de base diez, correspondiente a la cantidad de decimales recorridos. 4- Llevar el punto decimal ante del primer periodo, multiplicando el numero por la potencia de base diez, correspondiente a la cantidad de decimales recorridos.

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5- Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4. 6- Despejar x. 7- Simplificar en caso de ser posible. Paso 1

X=0.333333…

X=0.16666666…

X=0.142857142857…

Paso 2

Periodo:3

Periodo:6

Periodo:142857

Paso 3

=3.3333…

16.6666…

Paso 4

=0.3333…

1.6666…

=0.142857…

Paso 5

9x=3

90x=15

999999x=142857

Paso 6

X=

x=

X=

Paso 7

X=

X=

X=

Operaciones binarias La operación binaria puede ser considerada como una función

x

Tenemos que tomar en cuenta lo siguiente: 

El orden de a y b es importante, porque (a, b)es un par ordenado y podría suceder que



.

La operación tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a, b). Propiedades de las operaciones binarias

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Propiedad clausurativa: indica que el resultado de la operaciónbinariadebe pertenecer al conjunto que se toma como referencia. La propiedad conmutativa: indica que el orden de los operando no es importante al realizar la operación. La propiedad asociativa: indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operación. La propiedad de poseer elemento neutro

indica que al realizar la operación

entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, no lo modifica al primero. La propiedad de poseer elemento inverso

nos indica que al realizar la

operación la operación entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad solo deberá probarse en caso de existir elemento neutro. Ejemplos ejercicios propuestos ¿La

adición

de

los

números

irracionales

cumple

la

propiedad

clausurativa? Si no la cumple, construya un contraejemplo. Para cada elemento ...