Ejemplo de forma canónica de Jordan en Matrices 2x2 con autovalores complejos PDF

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Jordan 2x2 con autovalores complejos...

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´ DE JORDAN EN EJEMPLO DE FORMA CANONICA MATRICES 2x2 CON AUTOVALORES COMPLEJOS Alvaro Rubio Garc´ıa April 30, 2012

La matriz que vamos a estudiar es la primera del ejercicio 10.1.1 de los apuntes de Luc´ıa Contreras:

A=



−1 4 −2 3



Para encontrar los autovalores hacemos lo mismo de siempre:   −1 − λ |A − λI| =  −2

 4  = λ2 − 2λ + 5 = 0 ⇔ λ = 1 ± 2i 3 − λ

Sea el autovalor: λ = α + iβ. La forma de Jordan es:



α −β

 β . Por tanto, nuestra matriz de Jordan α

ser´a: J=



1 2 −2 1



Para encontrar los autovalores s´olo necesitamos hallar uno de ellos, ya que (como demuestra Luc´ıa Contreras) uno es el conjugado del otro. Independientemente del λ que escojamos, el autovalor w se hallar´a:   w = Ker (A − λI) = K er (A − (1 + 2i)I) = K er



−2 − 2i −2

4 2 − 2i



  = (1 − i, 1)

Ahora bien, w se compone de una parte real y otra compleja: w = (1 − i, 1) = (1, 1) + i(−1, 0). Y su conjugado (el otro autovector) ser´a: w = (1 − i, 1) = (1, 1) − i(−1, 0). Por tanto podemos decir que una base de  ambos autovectores es: (1, 1), (−1, 0)     0 1 1 −1 y C −1 = Entonces, nuestra matriz de cambio de base es: C = 1 0 −1 1       1 −1 1 2 0 1 −1 4 = Efectivamente : CJ C −1 = A. Es decir: −2 3 1 0 −2 1 −1 1

1...