Forma canonica di Jordan PDF

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appunti sulla forma canonica di jordan del corso di fondamenti di automatica...

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Forma canonica di Jordan Sia A una matrice n  n che ammette k autovalori distinti  i di molteplicità algebrica a i ; in altri termini: k

 A ( )  det ( I  A )   (  i ) ai . i 1

Teorema:  TJ non singolare tale che

 J1  0   .   .  0

AJ  TAT 1

0 J2 . . 0

 J i1   0 Ji   .   .  0 

Ji

j

 i 0   .   .  0

0 0 0 0 0 0  . . .  è diagonale a blocchi, dim J i  ai ; ogni blocco  . . .  0 0 J k  0   0 0 0  . . .  è diagonale a blocchi, composto da g i mini-blocchi di Jordan  . . .  0 0 J i g i 

0 Ji 2

0 0

. . 0

1

i . . 0

0 0 0 1 0 0  . . .  . . 1 0 0  i 

.

L’intero g i è la molteplicità geometrica dell’autovalore  i , mentre

 i  max dim J i j , j  1, .., g i è detto indice di  i . Osservazione:  i

 1  gi  ai

: in questo caso ogni mini-blocco di Jordan J i si riduce a  i  e j

il blocco di Jordan J i è una matrice diagonale. Se ogni autovalore ha indice unitario, allora la matrice A è diagonalizzabile. Osservazione:

g i  n  rg (i I  A) : la molteplicità geometrica indica il numero di autovettori

linearmente indipendenti che possono essere trovati come soluzione dell’equazione

A vˆ  i vˆ ; evidentemente

gi  ai .

Osservazione: La presenza di autovalori di indice non unitario comporta la comparsa, nella matrice esponenziale

e AJ t e di conseguenza nell’operatore di evoluzione temporale  (t) di esponenziali

moltiplicati per polinomi in t . Questo non pregiudica le caratteristiche di stabilità di un sistema dinamico se non quando

l : l  0  e l  0 . In questo caso, se e i  0 i e  l  1 si ha semplice stabilità, mentre per  i  1 parliamo di instabilità debole (o polinomiale). Per discriminare tra i due casi precedenti, è sufficiente calcolare il rango della matricei I  A e verificare se

rg ( i I  A)  n  ai  gi  ai

Se siamo invece interessati a conoscere il grado del polinomio in t è necessario calcolare l’indice  i . Questo può essere fatto cercando il polinomio minimo, ovvero il polinomio di grado minimo per il quale  A ( A)  0 . Questo polinomio è un divisore del polinomio caratteristico e assume la forma k

 A( )  (   i) . i

i 1

Questo giustifica la affermazione per cui “un sistema dinamico lineare a tempo continuo è semplicemente stabile sse e i  0 i e tutti gli autovalori con parte reale nulla sono radici semplici del polinomio minimo”. 1

La matrice non singolare T che definisce le nuove coordinate z  Tx nelle quali la matrice è in k

forma canonica di Jordan è composta da n colonne di cui

g

i

sono gli autovettori relativi agli

i 1

autovalori

i , soluzioni delle consuete equazioni A vˆi , j  i vˆi ,j , mentre le rimanenti

corrispondono ai cosiddetti autovettori generalizzati. Questi ultimi sono definiti da  ˆ i  0 ; ( A  i I )i w ˆi  0 ; ( A  i I ) i 1 w  si osservi che, quando l’indice  i  1 , questa è l’abituale equazione agli autovettori.

Un modo di trovare gli autovettori generalizzati è quello di risolvere ricursivamente le equazioni

ˆ i  ˆvi ;  ( A   i I ) vˆ i  0 ; ( A  i I) w 

Questa procedura consente inoltre di determinare  i senza introdurre il polinomio minimo.

Esempio:

  A   

0 1  0 2 0 0 ;  A ( )  det (I  A )  (  1)3 (  2) : a1  3 , a 2  1 0 1 1 0   0 0 0 1 1

2

 0  2 0 1    0 1 0 0   ; rg ( I  A)  2 , g  n rg (I  A )  4  2  2  a I  A  1 1 0 1 0 0   0 0 0 0  1  2 0 1    0 0 0 0  2 I  A ; 0 1 1 0    0 0 0 1

rg (2 I  A) 3 ,

g1  n rg ( I  A)  4 3 1  a2

 0  2 0  1  v11   1  0  0 1 0 0  v   0  0 12       ; vˆ1,2    . ( I  A) vˆ 1, j  0   0  v12  v14  0 ; vˆ1,1   0 1 0 0  v13   0  1         0 0 0 0  v14   0  0  0 2 0 0   w11 0       0 0 1 0 0   w12 2  ˆ ˆ ( I  A) w1  0   0  w12  0 ; w1    ;  0 1 0 0   w13 0        0 0 0 0   w14 1  è immediato verificare che (I  A) wˆ1  0. In alternativa,

  ˆ 1  vˆ1   ( I  A) w   

0  2 0  1  w11  1 0      0 0 1 0 0   w12  0   w12  0 ; wˆ1    , 0 0 1 0 0   w13  0       0 0 0 0   w14  0  1

il che mostra i margini di arbitrarietà nella scelta degli autovettori, generalizzati o meno: altre scelte  1   0 possibili potevano essere, per esempio, wˆ 1    . continua… 0    1 

  (2 I  A) vˆ2  0     

1  2 0  1  v21    0 0 0 0  v22    0  v 24  0 ; v 22   v 22 ; v 21  2 v 22 ; 0 1 1 0  v23    0 0 0 1  v24 

 2  1 vˆ2    .   1    0

In conclusione, posto

T  1   vˆ1,1

1  2 0 0 1 TA T  AJ   0 1  0 1

0 0  0 1   1 0   0 0 

ˆ1 w

vˆ1, 2

0 1  1 0 2 0 0  0 0  1 1 0  0  0 0 0 1  0 1

2

1 0 vˆ2    0  0

0 0 0 0 0 1 1 0

2 1 , 1  0

2 1 0 0 1   0  0 1  1  0   1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0   0 1 0  0 0 2

 J11  0 0 

0 J12 0

0  0 J 2 

è in forma canonica di Jordan, inoltre

 1  max j 1, 2 dim J 1 j  2 . Allo stesso risultato si poteva giungere valutando i polinomi che fattorizzano il polinomio caratteristico e valutandoli in A :

p1 ( )  (  1) (  2)  p2 ( )  (  1)2 (  2) 

p1 ( A)  0 p 2( A)  0   A ( )  p 2( ) ,  1  2 ....