Legge DI Gravitazione Universale IN Forma Vettoriale PDF

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LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE IN FORMA VETTORIALE Poiché la forza è una grandezza vettoriale, ha senso domandarsi quale sia la formula vettoriale della legge di gravitazione universale.

Dalla precedente formula ed in particolare dal segno meno si evince che la forza gravitazionale è attrattiva, ha direzione coincidente con la linea congiungente i due corpi. Ognuno dei due corpi esercita la medesima forza sull’altro: ad esempio, la Terra attira a sé la Luna con la stessa forza con cui la Luna attira a sé la Terra, per via del terzo principio della dinamica.

LA DETERMINAZIONE DELLA COSTANTE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE G Il valore della costante di gravitazione universale G fu misurato con precisione per la prima volta nel 1798 dal fisico inglese Henry Cavendish (1731-1810), il quale si servì di uno strumento noto come bilancia a torsione. La bilancia a torsione è costituita da: - un sottile filo inestensibile appeso a un'estremità, - mentre all'altra estremità è fissata un'asticciola che reca ai due lati due sferette di massa m uguale. - Un secondo manubrio, fissato a un sostegno, reca ai suoi lati altre due sferette, di massa M maggiore di m.

L'esperimento misurò la debole attrazione gravitazionale tra le sfere piccole e quelle più grandi.

Se il sistema viene lasciato libero di muoversi, in uno spazio senza attriti, la forza di attrazione delle sfere più grosse su quelle più piccole provocherà una torsione del filo e una conseguente rotazione delle sfere sospese. Attraverso un apparato luminoso, si può determinare l'entità della forza elastica di torsione del filo, che, uguagliata alla forza gravitazionale con cui si attraggono le sfere, permette di ricavare il valore della costante di gravitazione universale. Il valore che Cavendish misurò con questo apparato è molto vicino al valore oggi accettato, misurato in seguito con strumenti più raffinati, ed è:

Dalla legge di Hooke, il momento sul filo di torsione è proporzionale all'angolo di deviazione della bilancia. Il momento è k θ dove k è il coefficiente di torsione del filo. Tuttavia, il momento può anche essere scritto come prodotto delle forze di attrazione tra le sfere e la distanza dal filo di sospensione. Poiché ci sono due coppie di sfere, ciascuna sottoposta una forza F ad una distanza L / 2 dall'asse della bilancia, il momento è LF (F x b). Uguagliando le due formule (le due forze si compensano-> equilibrio del momento -> asta ferma), si ottiene: k θ=LF Per F, la legge di gravitazione universale è usata per esprimere la forza di attrazione tra le sfere grandi e quelle piccole:

Sostituendo F nella prima equazione sopra, si ha Trascurando la massa dell'asta di torsione stessa, il momento di inerzia della bilancia è dovuto solo alle sfere piccole: , e così:

Risolvendo questo per k, sostituendo nella (1), e riordinando per G, il risultato è: Una volta che G è stato trovato, l'attrazione di un oggetto sulla superficie della Terra verso la Terra stessa può essere utilizzata per calcolare la massa della Terra e la sua densità: L'ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ SULLA SUPERFICIE DELLA TERRA Dalla legge di gravitazione universale, noti MT e RT, si può ricavare il valore di g che abbiamo già incontrato.

La quantità in parentesi è una costante e vale:

Il valore dell'espressione

corrisponde proprio al valore sperimentale di g.

Questo permette di ottenere la formula FP = mg come caso particolare della legge di gravitazione, in prossimità della superficie terrestre.

Massa inerziale e massa gravitazionale Se scegliamo il kg come unità di misura per entrambe possiamo considerare: mi = mg, anche se concettualmente sono diverse....