Ejemplos Anti derivadas PDF

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Clase 2 y 3 de calculo integral: Definición de anti derivadas y sus funciones...

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DEFINICIÓN: Sea DIFRENCIAL

dy

=

f

y = f (x) una función difrenciable. La DIFRENCIAL = (x)dx

es una variable dependiente de

dy

el valor numérico de

y de

x

dx

es una variable independiante y la

Si se toman valores en el dominio de la función para

dx:

x

y

entonces

dx;

está determinado.

dy

y

representa la magnitud que la recta tangente sube o baja cuando = x2 (1; 1)

y

= 2x

dy

x

cambia en una cantidad

dx:

1

2

y

1

-2

-1

1

2

x

-1

-2 Ejemplo :

 3p

Encuentre el diferencial 1.

y

=

2.

f ( x)

= 6.

y

7.

y

8.

y

p1 

x2

  x2

p

x2

= (3x2



3

2

1

2 x )dx = 3(x

p

2(x2 +1)2x(2x) (x+1)2

dy

=

dy

= (1

p1 

x2

+x



2

dx

=

1 ( 1x2

p





2

1

x )dx

p

2x2 +24x2 ) (x2 +1)2

2

 dx

(22x2 )

= (x2 +1)2 dx

x))dx

dx

 1)  p)  =0

= sec(x2

3

x = 4tan( 3 ) = csc(1 2 3

y



1x2

= cos(x2 )

9. 2y 2 + xy 10.

dy

= cot(3x)

x

1

y

dy

x

x2 +1

p

5.

3

2x

3.y = 4.y =

x

x

x

1

= 2 cot(px )

11.xy 2



3 4x 2



y

=0

ANTIDERIVADAS DEFINICIÓN: Una función

F

es una antiderivada de

f

sobre un intervalo

I

si

F

0

( x) =

f ( x)

para todo

x

en

I:

EJEMPLO:

p (

Encuentre una antiderivada de



f x)

= 6x 2

8

x

+3

= 2x 3 4x 2 + 3x + 2 e = 3 1 F (x) = 2(3)x 4(2)x21 + 3x11 + 0 = 6x2 F ( x)



8

x

+ 3:

TEOREMA: Si F es una antiderivada de donde

C

f

sobre un intervalo I , entonces la antiderivada más general de

f

sobre

I

es

F (x)+ C;

es una constante cualquiera.

EJEMPLOS Encuentre la antiderivada más general de cada una de las funciones(pruebe la respuesta mediante la derivación) 1.

f ( x)

2.

f ( x)

= cos(x) 1

= x 3.f (x) = xn ;

n

6= 1

:

1

TABLA DE ANTIDERIVADAS FUNCIÓN ANTIDERIVADA MÁS GENERAL 1.

c

cx

2.

cf (x)

cF (x)

3.

f ( x)  g ( x)

F (x)  G(x)

4.

x

(n = 6

n+1

x n+1

1)

1

5. 6.

n

+D +D

+C

ln jxj + C

x x

e

e

x

+C

7. cos(x)

sen(x)

8.

cos(x)

sen(x)

9. sec2 (x)

+C +C

tan(x) + C

10. csc2 (x)

 cot(x)

11. sec(x) tan(x)

sec(x) + C

12. csc(x) cot(x) 13.

+C

p

1

csc(x)

2

sen

1 x 1

14. 1+x2 1 15. p 2

+C

( x) + C

tan1 (x) + C sec1 jxj + C

x 1

x x

1

+C

x

a

16.a

ln(a)

+C

EJERCICIOS Encuentre la antiderivada más general de la función(pruebe su respuesta mediante la derivación) = 1  x3 + 12x5

1.

f ( x)

2.

f ( x)

= 2x + 3x1;7

3.

f ( x)

=

4

p

x

3

+

3

p

3 x6

x

6

4

54x +2x

4.

g ( x)

=

5.

f ( x)

= 3ex + 7 sec2 (x)

6. h(x) = Encuentre 7. Si 8. 9.

f f

10. 11.

f

0

2 +x+1

x

x

f

(x) = 8x3 + 12x + 3

00

(x) = 6x + 12x2

00

(x) = 6x + sen(x)

f f

0 0

3

( x ) = 2x  ( x) =

p

4

2

1 x

4;

x

; f(

x >

1 ) 2

0;

f (1)

= 3:

=1

(x) = 4  6x  40x3 ; f (0) = 2; 0 3 00 13. f (t) = p , f (4) = 20; f (4) = 7 12.

f

00

f

0

(0) = 1

t

14. Encuentre en el plano

3

p x

xy ,

la curva

y

=

f ( x)

que pasa por el punto (9; 4) y cu ya pendiente en cada punto es

15. Suponga que la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo del eje

s

ds

= v (t) = 9:8t  3 dt a) Encuentre el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo de t

= 0:

t

= 0:

t

= 0:

b)Encuentre el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo de c) Encuentre el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo de

2

t

t

t

es

= 1 a

= 1 a = 1 a

t

t

t

= 3; dado que

= 3; dado que = 3; dado que

s

s

s

= 5; cuando

= =

2 ;

cuando

s0 ;

cuando...