Ejemplos DE Razonamiento Matematico PARA QUE RAZONES PDF

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TIPO ESTE EJEMPLO El producto de sus edades es 36, ¿puedes decirme sus edades?
La condición de este problema es que el producto de las edades de los 3 hijos es igual a 36; 2 de los hijos tendrán la misma edad debido a que son gemelos; por lo tanto, al llevar esta condición a una función tenemo...

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Ejemplo 2 Tengo tres hijos, los gemelos están creciendo bien y la mayor está tocando el piano. El producto de sus edades es 36, ¿puedes decirme sus edades? La condición de este problema es que el producto de las edades de los 3 hijos es igual a 36; 2 de los hijos tendrán la misma edad debido a que son gemelos; por lo tanto, al llevar esta condición a una función tenemos que: x * x * y = 36, en donde “x” representa la edad de los gemelos y “y”, la edad de la mayor; o sea, x2y = 36 Si los gemelos son los hijos menores, entonces otra condición que debemos considerar es que “y” debe ser mayor que “x”; y si el producto de las 3 edades debe ser 36, entonces x2 debe ser menor a 36. Por lo que: x2y = 36, y x2 = 36, entonces x = √36 x = 6 suponemos este valor para considerar el rango de edades y poder encontrar los resultados a prueba y error. Entonces: x2y = 36 donde “x” puede ser 1, 2, 3, 4, 5. Suponiendo el valor de x = 1 (1)2y = 36 y = 36/1 y = 36, por lo tanto x = 1, y = 36. Suponiendo el valor de x = 2 (2)2y = 36 y = 36/4 y = 9, por lo tanto x = 2, y = 9. Suponiendo el valor de x = 3 (3)2y = 36 y = 36/9 y =4, por lo tanto x = 3, y = 4. Suponiendo el valor de x= 4 (4)2y= 36 y= 36/16 y= 2.25, por tanto, x= 4, y= 2.25 Si los gemelos tuvieran 1 año, la mayor tuviera 36, esto no es factible. Si los gemelos tuvieran 4 años, la tercer hija tuviera 2.25, no es factible, ya que debe ser mayor que los gemelos. Las edades posibles para los hijos serían, los gemelos 2 años y la mayor 9; y la otra posible respuesta es, los gemelos 3 años y la mayor 4. Pero si consideramos que la mamá menciona que la mayor toca el piano, es más factible la respuesta de que los gemelos tienen 2 años y la mayor 9 años.

Ejemplo 3 La edad de Paola es el doble de la edad de Tina, pero en dos años más, la edad de Paola será solamente cinco tercios de la edad de Tina. ¿Cuántos años tiene Paola? ________ ¿Cuántos años tiene Tina? ________  Separar la información relevante: considerar las condiciones que deben cumplirse.



Edad actual

Edad en dos años

Paola = P

Paola más 2

Tina = T

Tina más 2

Edad de Paola, dos veces la de Tina

Edad de Paola 5/3 la de Tina

Traducir el problema al lenguaje matemático: Edad actual

Edad en dos años

P

P+2

T

T+2

P = 2T

P + 2 = 5/3 (T + 2)

Encontrar una solución: Tengo que P = 2T y que P + 2 = 5/3(T + 2) Como tengo que encontrar el valor de dos variables, sustituyo la equivalencia de P para encontrar el valor de T. Si P = 2T, sustituyo P en P + 2 = 5/3(T + 2) (2T) + 2 = 5/3(T + 2) Quito paréntesis y despejo T El 3 que está dividiendo pasa multiplicando. 3(2T + 2) = 5(T+ 2) 6T+ 6 = 5T + 10 Junto términos semejantes 6T – 5T = 10 – 6

T=4 Entonces, si P = 2T y T = 4 P =2(4) P=8 Según está solución, Paola tiene 8 años y Tina tiene 4 años. Comprobar la solución Si P=8 y T=4, sustituyendo los valores en la respectiva fórmula vemos que: P + 2 = 5/3(T+2) (8) +2= 5/3 ((4)+2) 10 = 5/3 (6) 3 (10) = 5(6) 30 = 30 Existe una equivalencia, los resultados son correctos.

Ejemplo 4:

¿Cuántos apretones de manos pueden darse en una reunión de 20 personas si todos se saludan con todos? Sabemos que si la reunión es de dos personas solo puede haber un apretón de manos, si hay tres personas habrá tres apretones de manos, si hay cuatro habrá 6. Así tenemos la serie:

Número de personas

1

2

3

4

5

…

20

Apretones

0

1

3

6

10

…

¿?

¿Qué número le corresponde al vigésimo término? Utiliza toda la información que se te da y aplica el razonamiento inductivo (analiza, observa, determina el patrón repetitivo, formula conjeturas, establece definiciones, valida, concluye). Representemos el número de personas con la variable “p” y los apretones con “a”, tenemos que:

p

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a

0

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

66

78

91

105

120

136

153

171

190

Analizando la información que nos proporcionan podemos observar que en la serie “a”, cantidad de apretones, el número siguiente de la serie está dado por el número anterior de personas más la cantidad de sus apretones, es decir: Para 2 personas, la cantidad de apretones corresponde a la cantidad anterior de personas, en este caso 1, más la cantidad de sus apretones 0, 1 apretón. Para 3 personas, la cantidad de apretones es 2 + 1 =3. Para 4 personas, 3+3; para 5, 4+6; para 6, 5+10, y así sucesivamente con cada número de personas hasta llegar a 20. En este caso tenemos un conjunto de personas finito y de cantidad relativamente pequeña, 20 personas, por lo que podemos realizar 20 operaciones matemáticas con facilidad, sin embargo, para un conjunto infinito de elementos o un conjunto mucho mayor, sería muy poco práctico realizar las operaciones una por una. En este tipo de situaciones es necesario establecer mediante la inducción matemática una expresión

algebraica que cumpla con el patrón observado y de este modo determinar resultados para cualquier elemento que se nos pida. En el caso anterior, considerando “p” como número de personas y “a” la cantidad de apretones, logramos determinar que ap=(p-1)+a(p-1), sin embargo, con esta expresión algebraica es imposible determinar, por ejemplo, el número de apretones de 30 personas en una sola operación matemática, puesto que para usar esta fórmula es indispensable conocer el valor del elemento anterior. Por lo que es necesario, observar de nuevo la secuencia para determinar una expresión factible:

p

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a

0

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

66

78

91

105

120

136

153

171

190

En este caso, una opción más de resolver correctamente este problema es multiplicando el valor de “p” por el valor de “p-1” y dividiendo el resultado entre 2. Para 4 personas, donde p=4 y (p-1)=3 los apretones serían [(4)(3)]/2 = 6 Para 5 personas, donde p=5 y (p-1)=4 los apretones serían [(5)(4)]/2=10 Para 6 personas, donde p=6 y (p-1)=5 los apretones serías [(6)(5)]/2=15 Por lo que podemos determinar el número de apretones con la expresión siguiente: ap=[(p)(p-1)]/2 y con ésta directamente podemos calcular el número de apretones de 20 personas, de 30 o de más, sin necesidad de tener más datos. a30=[(30)(30-1)]/2 a30=[(30)(29)]/2 a30=[870]/2 a30=435

a20=[(20)(20-1)]/2 a20=[(20)(19)]/2 a20=[380]/2 a20=190

Es importante mencionar que cada persona tiene su manera de razonar, por ello es posible encontrar la solución correcta a un problema o situación de diferentes formas; como en el problema anterior, ambos razonamientos fueron válidos para encontrar el número de apretones para 20 personas....