Ejemplos DE Representación DE Juegos Cooperativos PDF

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ejemplos de algunos apuntes de la clase de juegos representativos...

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 ASIGNATURA: -

TEORÍA DE JUEGOS Y DE LAS DECISIONES

 TEMA: -

Ejercicios de cooperativos

Representación

de

juegos

 INTEGRANTES: -

Rodríguez Mendoza, Marisol Roca Suarez, Milagros Garcia Bolivar, Cinthia Criollo Cuevas Pedro Luis Huamancayo Garcia , Andy

Mg. Eco. Arístides Meléndez Llanos

1.EJERCICIO: Una finta rustica está valorada por su actual propietario en 350.000 euros. Un empresario le ofrece acondicionarla para su utilización como polígono industrial, con lo que su valor del mercado alcanzaría los 700.000 euros. Una empresa constructora le ofrece cuidar la finca para la posible subdivisión en parcelas distintas a viviendas unifamiliares. Con esta urbanización el valor de la finca seria de 750.000 euros. Representemos el juego en forma coalicional (también llamada representación en forma de función característica). Sea J={1,2,3} En donde el jugador 1 es el empresario que ofrece acondicionar la finca como polígono industrial, la jugadora 2 es la empresa constructora y el jugador 3 es el propietario actual de la finca. Obtengamos ahora la función característica para este juego cooperativo tanto el jugador 1 como la jugadora 2 necesitan el acuerdo con el jugador 3(el propietario) para poder utilizar la finca. Sin la participación del jugador no se puede hacer nada y, por tanto, no se puede obtener ningún beneficio. Por consiguiente, se tiene que v({1}) = v({2}) = v({1.2}) = 0 Si el jugador 3 no coopera con ninguno de los otros dos jugadores mantiene la situación actual, es decir mantiene la finca tal como está, a la cual valora en 350.000 euros. Si llega a un acuerdo solo con el jugador 1 para obtener el mayor valor posible, obtendrán entre los dos 700.000 euros. Si llega a un acuerdo exclusivamente con la jugadora 2 para obtener el mayor valor posible obtendrán entre los 775.000 euros. Finalmente, si cooperan los tres jugadores y deciden llevar conjuntamente adelante el proyecto que, de mayor valor al mercado, obtendrán entre los tres 775.000 euros. Es decir, v({3}) = 350, v({1,3}) = 700, v({2,3}) = 775, v({1,2,3}) =775 en donde los valores de la función característica vienen expresados en miles de euros. Por tanto, la representación del juego en forma coalicional es (J,v) en donde J = {1,2,3} v: P(J) → R, con v(∅) =0, v{(1}) = 0, v({2}) = 0, v({3}) = 350. v({1,2}) =0, v({1,3})= 700, v({2,3})= 775 v({1,2,3})= 775 en donde los valores de la funcion característica vienen expresados en miles de euros.

2. EJERCICIO Un juego de patentes ( Rafels et al. 1999 , pag. 66 ) Dos centros de investigacion, que designaremos como jugadores 1 y 2 respectivamente, han obtenido de manera independiente formulas muy parecidas de un nuevo fármaco para aliviar l jaqueca. El centro 1 ha patentado y homologado su formula para el conjunto de los países asiáticos y países de la Union Europea. El centro 2 tiene homologada su patente para los países asiáticos y para Estados Unidos. La comercialización de uno de los fármacos produciría unos beneficios de 7 billones de dólares en el mercado asiático, de 3 billones en el europeo y de 3 billones en Estados Unidos. Si se comercializan a la vez los dos fármacos en un mismo mercado, los beneficios se repartirían a partes iguales. Por otra parte, supongamos que hay dos empresas, jugadoras 3 y 4, que tienen los factores y la tecnologia necesarios para la fabricación de los fármacos, pero que cada una de ellas tiene una limitación en la producción ya que solo puede abastecer al mercado asiático y a uno de los otros mercados (europeo o americano) La posesión de la formula magistral o de los medios de producción, por separado, no aporta valor. Cualquiera de las dos empresas puede fabricar y comercializar cualquiera de los dos fármacos pero cada uno de los centros que posee una de las formulas solo puede conceder su licencia a una de las empresas, y cada empresa solo puede obtener una licencia. La representación del juego en forma coalicional es la siguiente J = (1, 2, 3,4) En donde los jugadores están especificados en el enunciado. Obtengamos la función característica: cada coalición en la que no haya al menos un centro de investigacion y una empresa no puede obtener ningún beneficio. Por tanto: ʋ(Ø)=0 ʋ({1})=0 , ʋ({2}=0 , ʋ({3})=0 , ʋ({4})=0 ʋ({1,2})=0 , ʋ({3,4})=0 Cuando un solo centro de investigacion llega a un acuerdo de cooperación con una sola de las empresas, la coalición que se forma de centro con empresa se garantiza un beneficio de 3,5(la mitad de beneficio del mercado asiático) mas 3 (correspondiente al mercado europeo o al americano). Por tanto ʋ({1,3})= ʋ({1,4})= ʋ({2,3})= ʋ({2,4})=6,5 Cuando cooperan los dos centros de investigacion con solo una de las empresas (cualquiera que sea), alcanzan conjuntamente un beneficio de 7 (mercado asiático) mas 3 (uno de los mercados europeo o americano). Por tanto: ʋ({1,2,3)= ʋ({1,2,4})= 10 Cuando se forma una coalición formada por las dos empresas y un solo centro de investigacion (cualquiera que sea), alcanzan conjuntamente un beneficio de 7 (mercado asiático) mas 3 (mercado europeo si el centro 1 esta en la coalición, mercado americano si el centro de investigacion 2 esta en la coalición). Por tanto: ʋ({1,3,4})= ʋ({2,3,4})= 10 Por ultimo si deciden trabajar conjuntamente los dos centros de investigacion y las dos empresas, alcanzaran conjuntamente un beneficio de 7 (mercado asiático) mas 3 (mercado europeo) mas 3 (mercado europeo). Es decir: ʋ({1,2,3,4})=13 Por tanto, la representación del juego en forma coalicional es: J = {1, 2, 3,4} ʋ:P(J) →R ,con ʋ(Ø)=0

ʋ({1})=0 , ʋ({2}=0 , ʋ({3})=0 , ʋ({4})=0 ʋ({1,2})=0 , ʋ({1,3})=6,5 , ʋ({1,4})= 6,5 , ʋ({2,3})=6,5 , ʋ({2,4})= 6,5 ʋ({3,4})=0 , ʋ({1,2,3})=10 , ʋ({1,2,4})=10 , ʋ({1,3,4})=10 ʋ({2,3,4})=10 , ʋ({1,2,3,4})=13

3.EJERCICIO: En un departamento universitario hay tres investigadores consolidados que trabajan en la misma línea de investigación. Se disponen a presentar solicitudes para optar a financiación de proyectos de investigación. Han preguntado a una persona de confianza que tiene toda la información sobre los criterios y candidatos y les ha comentado lo que es previsible que ocurra con la resolución acerca de las posibles solicitudes, a la vista del historial y méritos de los candidatos. Si el doctor Clapés presenta de manera individual la solicitud, lo previsible es que le concedan treinta mil euros, el doctor Salmerón no conseguirá nada si va solo, mientras que la doctora Smith conseguiría individualmente cincuenta mil euros. Si los doctores Clapés y Salmerón presentan un proyecto conjunto obtendrán una financiación de 50, Clapés y Smith obtendrían 80 y Salmerón y Smith obtendrían también 80 (siempre en miles de euros). Si los tres investigadores solicitan el proyecto de manera conjunta, previsiblemente obtendrían 100 (en miles de euros). Cada investigador sólo puede figurar en una solicitud. La representación del juego en forma coalicional es inmediata en este caso:

J = {1, 2, 3} en donde el jugador 1 es el doctor Clapés, el jugador 2 es el doctor Salmerón y la jugadora 3 es la doctora Smith.

4. EJERCICIO: 

Supongamos que se plantea la necesidad de abastecer de electricidad a tres poblaciones. Para ello se construirá una red de tendidos eléctricos que conecte dichas poblaciones con la central eléctrica. En la Figura 1.9 se presentan los costes de todos los posibles tendidos que interconectan las poblaciones (1, 2, 3) y la central eléctrica (0). Representar el juego en forma coalicional.

Solución: Sea el conjunto de jugadoras J = {1, 2, 3} Si la población 1 va sola y no logra un acuerdo de cooperación con ninguna otra de las poblaciones (coalición {1}), incurrirá en un coste igual a 3, ya que tendrá que cargar con el coste que supone construir un tendido eléctrico que va de la central eléctrica a la población 1. Sea c({1}) = 3. De manera análoga, si la población 2 va sola (coalición {2}), incurrirá en un coste de 2. Sea c({2}) = 2. Si la población 3 va sola (coalición {3}), incurrirá en un coste de 3. Sea c({3}) = 3. Si las poblaciones 1 y 2 logran un acuerdo de cooperación y deciden construir la red de tendidos eléctricos de manera conjunta lo harán de la forma que les suponga un coste menor, que consiste en unir la central con la población 2 (coste igual a 2) y la población 2 con la población 1 (coste igual a 1). El coste total para la coalición {1, 2} será por tanto igual a 3. Sea c({1, 2}) = 3. Sin cooperación entre 1 y 2 la suma de sus costes sería igual a 5. Definimos el valor de la coalición {1, 2} de la siguiente forma: v({1, 2}) = c({1}) + c({2}) - c({1, 2}) = 3 + 2 – 3 = 2 De manera análoga: v({1, 3}) = c({1}) + c({3}) - c({1, 3}) = 3 + 3 – 5 = 1 v({2, 3}) = c({2}) + c({3}) - c({2, 3}) = 2 + 3 – 5 = 0 En general, para una coalición forma:

definimos el valor de dicha coalición de la siguiente

De esta forma se obtiene que

v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0

v({1, 2, 3}) = c({1}) + ({2}) + (c{3}) - c({1, 2, 3}) = 3 + 2 + 3 - 5 = 3 en donde c({1, 2, 3}) %5, que se alcanza uniendo la central eléctrica con la población 2 y ésta con la población 1 que a su vez se une con la población 3. Por tanto, la

representación del juego en forma coalicional es G = (J, v) en donde J = {1, 2, 3} es el conjunto de las jugadoras y

es la función característica, definida de la siguiente forma:

EJERCICIO 5 : Marta, Antonio y Luisa han estado participando en un programa musical en televisión durante varios meses, habiendo obtenido buena aceptación entre el público. La empresa Global Music les ofrece un contrato en exclusiva por un año para promocionarlos como trío, con una cantidad de A euros (conjuntamente para los tres). La empresa Dynamic Music ofrece un contrato en exclusiva por un año para promocionar como dúo a cualquier par de cantantes que acepte entre los tres citados, con una cantidad de B euros (para el dúo que pueda formarse). Se cumple que 0...