Tema 2. Teoría de Juegos PDF

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El Tema 2: Teoría de Juegos COMPLETO, con los ejercicios que resolvió en clase.
Márgenes: Estrecho ...

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TEMA 2. TEORÍA DE JUEGOS 1. Definición 1.1. Juego Interacción estratégica en la que las ganancias de un agente económico o jugador dependen no sólo de sus propias acciones sino también de las acciones llevadas a cabo por los demás agentes o jugadores. Ejemplo: 1. Empresas que compiten entre sí fijando precios. 2. Consumidores que pujan en una subasta por una obra de arte. Interdependencia estratégica: Relación de dependencia entre las estrategias idóneas de los individuos para el juego. Lo que haga un individuo afecta y condiciona las decisiones de otros. 1.2. Teoría de juegos o teoría de la decisión interactiva La Teoría de Juegos es el estudio de problemas de decisión multipersonales donde existe conflicto estratégico, es decir, es el estudio de los juegos mediante técnicas de modelización y simplificación para su entendimiento. Tomar aquellas decisiones que más convengan para ganar teniendo que cumplir las reglas del juego y sabiendo que los demás jugadores también influyen en los resultados con sus decisiones. Supondremos jugadores racionales que saben que sus competidores también son racionales. 1.3. Elementos de un juego. 1. Jugadores: (N= 1, 2, …, n) participantes Se puede considerar a un jugador la naturaleza o el azar, se le llama jugador 0, en este caso sus acciones dependen de una probabilidad. 2. Acciones (Ai): Decisiones que puede tomar cada jugador en el momento de jugar. 4. Estrategias (Si): Una estrategia es un plan de acción completo  la regla que le indica al jugador qué acción elegir en cada momento del juego. Antes de jugar determina lo que va a jugar el jugador ante cada situación que pueda presentarse. 4.1. Combinación o Perfil de estrategias (S=S1…Si…Sn): Conjunto o vector de estrategias, una por jugador. Es la forma de representar las soluciones de los distintos juegos. 5. Pago o rendimiento (U i [S]) Es el resultado, beneficio o utilidad, que un individuo obtiene al aplicar su estrategia. Los rendimientos y con ellos la estrategia que los consiguen, son ordenados por los jugadores de más preferidos a menos. 6. Representación: Es la forma en la que se modeliza el juego, es decir la forma de modelizar los jugadores implicados, las estrategias y los pagos que se obtienen. 6.1. Forma estratégica o normal (tabla): En filas aparecen las estrategias de un jugador y en columnas las de su rival. En cada celda se introducen los pagos generados por la combinación de estrategias correspondiente. Chico (J2)

Ch ica (J1 )

Divi dir Rob ar

Divi dir

Rob ar

(50, 50)

(0, 100 )

(10 0,0)

(0, 0) 1

6.2. Forma Extensiva (árbol): Enfatiza la secuencia juego: • Secuencial: Movimientos sucesivos de los jugadores. • Simultáneo: Movimientos simultáneos de los jugadores. Se representa por una línea discontinua.

1.4. Tipología de juegos 1.4.1. Tiempo: 1. Estáticos Vs. Dinámicos - Juego estáticos (simultáneo): Aquel en el que los jugadores toman sus decisiones simultáneamente, es decir, todos decidimos a la vez, sin saber lo que ha decidido nuestro rival. Ej. Duopolio de Cournot, es una situación en la que hay dos empresas compitiendo simultáneamente en un mercado y las dos tienen que elegir las cantidades al mismo tiempo sin saber lo que ha elegido la otra, de forma que los beneficios dependerán de la cantidad que elige una empresa, pero también de la de su rival. - Juegos dinámicos: Son aquellos en los que los jugadores toman sus decisiones secuencialmente, es decir, paso a paso, primero decide uno, luego otro, y así sucesivamente. Hay al menos un jugador que sabe algo de lo que ha pasado antes, tiene información. Ej. Duopolio de Stackelberg, es una situación en la que hay dos empresas que compite en cantidades, la diferencia es que hay una que ya es líder, la empresa nueva tiene que adaptar sus estrategias a lo que haga la líder. 2. Cooperativos/No cooperativos 1. Juego cooperativo: Aquel en el que alguno o todos los jugadores pueden adoptar acuerdos previos sobre qué decisiones van a tomar, es decir, hay posibilidad de que pacten. En la realidad, pactar, hacer un cártel, es ilegal. 2. Juego no cooperativo: Se analiza qué decisiones tomaría cada jugador en ausencia de acuerdo previo, es decir, las empresas no se conocen, o no puede hablar y tienen que decidir sin haber acordado nada. En la realidad, los juegos en los que hay dos empresas compitiendo en un duopolio, tienen que ser no cooperativos, las empresas no pueden pactar. 3. Información completa/Información incompleta 1. Juego de información completa: Todos los jugadores conocen los pagos o consecuencias, para sí mismo y para los demás, derivados del conjunto de decisiones tomadas. Ej. Golden Balls, Dilema del prisionero, Guerra de los sexos 2. Juego de información incompleta: Algún jugador desconoce los pagos, para sí mismo o para los demás, derivados del conjunto de decisiones tomadas. Ej. Subasta. - Licitadores desconocen la disposición a pagar del resto. Ej. Juegos en los que un jugador desconoce alguna característica de su rival que afecta a los pagos. 4. Información perfecta/Información imperfecta 2

1. Juegos de información perfecta: Todos los jugadores conocen la historia del juego. Cada jugador conoce todos los movimientos efectuados previamente por sus rivales cuando llega su turno. Ej. El ajedrez. 1.5. Conceptos básicos 1. Mejores respuestas: La mejor respuesta del jugador i es aquella estrategia que produce el mejor resultado posible para dicho jugador dada una cierta estrategia de sus rivales, es decir, pienso lo que hace mi contrincante y entonces decido lo mejor que puedo hacer, mi mejor respuesta. Ej. El ejemplo siguiente ilustra este concepto en un modelo de duopolio. Supongamos que las empresas A y B venden productos rivales y tienen que decidir si emprenden o no una campaña publicitaria. La decisión que tome cada una afectará a la de la otra. La matriz de ganancias del Cuadro, muestra los resultados posibles del juego (recuérdese que la matriz de ganancias resume los resultados posibles del juego; la primera cifra de cada casilla es la ganancia de A y la segunda la de B). Obsérvese que, si las dos empresas deciden hacer publicidad, la A obtendrá unos beneficios de 10 y la B obtendrá unos beneficios de 5. Si la A hace publicidad y la B no, la A ganará 15 y la B no ganará nada. El cuadro también muestra los resultados de las otras dos posibilidades. Empresa B Hacer No hacer publicidad (P) publicidad (NP) Emp. A

Hacer (P)

publicidad

(10, 5)

No hacer (6, 8) publicidad (NP)

(15, 0) (10, 2)

Mejor respuesta de cada jugador ante cada acción de su rival: - Mejores respuesta de B antes las acciones de su rival A: Miramos en horizontal. Si A juega P, la empresa B (nos fijamos en el segundo número), es P, porque 5>0. fB(SA=P)=P=5 Si A juega NP, la mejor respuesta de B, es P, porque 8>2. fB(SA=NP)=P=8 - Mejores respuestas de A, a las acciones de su rival B: Miramos en vertical. Si B juega P, la mejor respuesta de A es P, porque 10>6. FA(SB=P) =P=10 Si B juega NP, la mejor respuesta de A es P, porque 15>10. FA(SB=NP) =P=10 2. Criterios de dominación: 

Una estrategia estrictamente dominante para el jugador i es aquella que es óptima independientemente de lo que haga su adversario (al jugador siempre le conviene usar esa estrategia hagan lo que hagan los otros jugadores). Ej. continuamos con el anterior: Respuestas de B antes las acciones de A: 5>0. fB(SA=P)=P=5 ; 8>2. fB(SA=NP)=P=8  Como vemos, P es una estrategia estrictamente dominante para B, porque siempre es su mejor opción.

3





Respuestas de A antes las acciones de B: FA(SB=P) =P=10 ; FA(SB=NP) =P=10  Como vemos, P es una estrategia estrictamente dominante para A, porque siempre es su mejor opción. Una estrategia estrictamente dominada por otra para el jugador i es aquella que siempre aporta un pago inferior que la que la domina, independientemente de la acción de su rival (nunca es la mejor opción ante cualquier acción de su rival). Ej. continuamos que el anterior. Vimos que la mejor respuesta para ambas empresas es siempre hacer publicidad P, por lo tanto, NP, nunca es la mejor, es decir, está dominada por P, NP es una estrategia estrictamente dominada por P para B porque siempre es una opción peor (no es la mejor opción en ningún caso). Sucede lo mismo para la empresa A. Una estrategia dominante o (débilmente dominante) para el jugador i es aquella que siempre proporciona un pago igual o mayor (nunca menor) que cualquier otra independientemente de lo que haga su rival. Ej. Cambiamos los números de la matriz: Empresa B Hacer publicidad (P)

No hacer publicidad (NP)

Hacer publicidad (P)

(10, 5)

(15, 0)

No hacer publicidad (NP)

(6, 8)

(10, 8)

Empresa A



•

Respuestas de B antes las acciones de A: 5>0  P, pero si A elige NP, entonces a B le va a dar igual hacer P o NP, 8=8, esto hace que P sea una estrategia débilmente dominante para B porque o bien es su mejor opción o bien le es indiferente respecto de otra estrategia. Una estrategia débilmente dominada para otra para el jugador i es aquella que aporta un pago igual o menor (nunca mayor) que la que la domina independientemente de lo que haga su contrincante. Ej. En nuestro caso, si A elige P, NP está dominada por hacer publicidad (5>0), y si A elige NP, le da igual a B, le es indiferente ( 8=8), por lo tanto, si antes decíamos que NP era estrictamente dominada, ahora no podemos decirlo por ese igual, sólo podemos decir que NP es una estrategia débilmente dominada por P para la empresa B porque siempre da un pago menor o igual que P (nunca mayor). Si una acción siempre es mejor respuesta (para ello, lo mejor es empezar calculando la mejor respuesta) y además siempre es la única (la misma para 4

todas las posibles estrategias de tus rivales)  acción estrictamente dominante •

Si una acción siempre es mejor respuesta, pero en algún caso no es la única  débilmente dominante

•

Si existe alguna acción que nunca es mejor respuesta  acción estrictamente dominada Empresa B Hacer No hacer publicidad (P) publicidad (NP)

Emp. A

Hacer (P)

publicidad

(10, 5)

No hacer (6, 8) publicidad (NP)

(15, 0) (10, 8)

Sintetizando: Mejor respuesta de cada jugador ante cada acción de su rival: - Mejores respuesta de B antes las acciones de su rival A: Miramos en horizontal. Si A juega P, la mejor respuesta de B, es P. (5>0) Si A juega NP. la mejor respuesta de B es P o NP (es indiferente). 8=8 En este caso, el igual hace que sea diferente, para B, P es una acción débilmente dominante y NP es una acción débilmente dominada. -Mejores respuestas de A, a las acciones de su rival B: Miramos en vertical. Si B juega P, la mejor respuesta de A, es P (10>6). Si B juega NP, la mejor respuesta de A, es P (15>10). En este caso, al ser P la mejor respuesta para A, sería estrictamente dominante y NP es una acción dominada. 2. Juegos Estáticos con información completa Toda decisión es simultánea y se conocen todas las consecuencias de las decisiones propias y ajenas, es decir, un jugador conoce el resultado de las acciones propias y ajenas, conoce tanto sus estrategias como la que hará otro al conocer sus resultados. ¿Cómo resolver los juegos estáticos con información completa? 2.1. Equilibrio de Nash en estrategias puras I. Soluciones mediante argumentos de dominación a) Uso de estrategias estrictamente dominantes b) Equilibrio de estrategia dominante iterada II. Soluciones mediante argumentos de equilibrio a) Celda a celda b) Intersección de mejores respuestas 2.2. Equilibrio de Nash en estrategias mixtas 2.1. EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS PURAS 5

Desarrollamos: La forma de hallar el resultado del juego puede ser: I. Soluciones mediante argumentos de dominación a) Uso de estrategias estrictamente dominantes Pertenecen a la solución del juego todos aquellos perfiles de estrategias en los cuales cada jugador usa una estrategia estrictamente dominante. Para ello tenemos que saber cuándo una estrategia estrictamente dominante y estrictamente dominada, y cuando es débilmente dominante y débilmente dominada. La idea clave es que si es un jugador racional y tenemos una estrategia estrictamente dominante SIEMPRE es la que más pago me va a dar, la voy a jugar y NUNCA jugaré una estrictamente dominada. Ambos jugadores piensan igual, por lo tanto, SIEMPRE jugarán su acción estrictamente dominante si la tienen, es decir, NUNCA jugarán una acción estrictamente dominada. Este tipo de solución no siempre es aplicable. Los juegos en los que todos los jugadores tienen una estrategia dominante son más bien la excepción que la regla. Ej. “El dilema del prisionero” Cogen a dos ladrones, parece que han sido ellos, pero tampoco hay suficientes pruebas, necesitan una confesión para meterlos a la cárcel, los ponen en una habitación por separado y tienen que decidir simultáneamente (los dos a la vez) sin saber lo que va a decir el otro (su amigo), y pueden Confesar (C) o No Confesar (NC), en la matriz, se muestran los pagos expresados en términos de años de cárcel en negativo para cada preso en caso de C o NC: Preso 2 (J2)

Pr eso 1 (J1)

C

NC

C

(-5,5)

(-1,10)

NC

(10,1)

(-2,2)

Para el Preso 1: (fijamos las columnas, en vertical) - Si J2 confiesa, a J1 le conviene confesar (recibe un pago mayor, mayor utilidad): u1 (C ,C )=−5≻u 1 ( NC , C ) =−10 - Si J2 no confiesa, a J1 le conviene confesar (recibe un pago mayor, mayor utilidad): u1 (C , NC )=−1 ≻u1 ( NC , NC )=−2

Como vemos en ambos casos el preso 1 decide Confesar, por lo tanto, podríamos decir que, para el J1, la estrategia NC está estrictamente dominada por la estrategia confesar que es una estrategia estrictamente dominada. Para el Preso 2: (fijamos las filas, en horizontal) - Si J1 confiesa, a J2 le conviene confesar (recibe un pago mayor, mayor utilidad): u2 ( C ,C )=−5≻u 2 ( NC , C )=−10 - Si J2 no confiesa, a J1 le conviene confesar (recibe un pago mayor, mayor utilidad): u2 ( C , NC )=−1 ≻u2 ( NC , NC )=−2 De nuevo la mejor respuesta va a ser confesar, por lo tanto, podríamos decir que, para el J2, la estrategia NC está estrictamente dominada por la estrategia confesar que es una estrategia estrictamente dominada. Solución: Ambos elegirán confesar. (-5,- 5)  Sería un EN b) Equilibrio de estrategia dominante iterada El equilibrio es una combinación de estrategias que se encuentra del siguiente modo: 6

1) Se elimina una estrategia estrictamente dominada del conjunto de estrategias de uno de los jugadores, es decir, vamos a la tabla, y buscamos estrategias estrictamente dominadas, y como sabemos que esas no tienen sentido que las juegue nadie porque aportan siempre un pago peor, tachamos la fila o columna correspondiente y nos quedará una tabla mucho más pequeña. 2) Se reevalúa la situación para encontrar una estrategia estrictamente dominada del otro jugador y eliminarla, es decir, hacemos lo mismo que antes, tachar la fila o columna que corresponda, y se nos queda otra tabla aún más pequeña. 3) Se continúa el proceso hasta que no queden estrategias que eliminar. Importante: - Si al final solo nos queda una estrategia para cada jugador (una celda), será EN. Si varios perfiles estratégicos sobreviven al proceso, es decir, si nos quedan varias celdas, y ya no podemos reducir más, habrá que analizar cuáles celdas son EN y cuáles celdas no, por medio de uno de los métodos que veremos después. - Este método SÓLO lo podemos usar con estrategias estrictamente dominadas , es decir, sólo podemos tachar filas o columnas si hay estrategias estrictamente dominadas, si hay débilmente dominadas NO las podemos tachar, porque estas a veces pueden formar parte de la solución, podría haber un EN en una estrategia débilmente dominada, pueden dejarse soluciones por el camino, de modo que lo adecuado es utilizar otro método de resolución como puede verse en el EJERCICIO 3.2.a. Ejemplo: Para el J2: Fijamos las filas, en horizontal - Si el J1 juega U, el J2 elige i, porque i>r>m o 3>2>1 - Si J1 juega M, el J2 elige r, porque r>m>i o 6>4>1 -So el J1 juega D, el J2 elige r, porque r>m>i o 8>6>0 La estrategia estrictamente dominada, será aquella que siempre se quede por detrás de otra, siempre está claramente peor que otra, vemos como r domina estrictamente a m (siempre r es > m), por lo tanto, sabemos que m no la jugará nunca, por lo tanto, tachamos toda la columna, y se nos queda la siguiente tabla: Para el J1: Fijamos las columnas, en vertical: - Si el J2 juega i, el J1 elige U, porque U>M>D o 4>2>3 - Si el J2 juega r, el J1 elige U, porque U>D=M La estrategia U domina estrictamente a M y a D, U siempre es mejor, tachamos las demás (M y D) y dejamos únicamente la U: Para el J2: Fijamos las filas, en horizontal: - El jugador 1 juega U, el J2 elige i, porque i>r o 3>2 Solución: la única estrategia superviviendo, EN = {(U, i)} J2 I

C

D

(3, 1)

(4, 2)

(0, 3)

(2, J M 5) 1

(3, 5)

(4, 0)

(1, 0)

(2, 0)

(4, 3)

A

B

Ejemplo: LO QUE NO SE DEBE HACER Para el J1: Fijamos las columnas, en vertical - Si el J2 juega I, el J1 elige A, porque A>M>B o 3>3>1 - Si J2 juega C, el J1 elige A, porque A>M>B o 4>3>2 - Si el J2 juega D, el J1 es indiferente entre elegir M o B, porque M=B>A, o 4=4>0 7

Como vemos, B está SIEMPRE débilmente dominada por M, porque entonces en los primeros dos caos M es mejor que B (M>B), y en último análisis, M es tan buena como B (M=B), es decir, al haber un igual decimos que está débilmente dominada. Tachamos la fila B, y nos queda la siguiente tabla: Para el J2: Fijamos la fila, en horizontal J2 - Si J1 juega A, el J2 elige D, porque D>C>I o 3>2>1 I C D - Si el J1 juega M, el J2 es indiferente entre elegir I 0 C, porque (3, (4, (0, C=I>D o 5=5>0 A 1) 2) 3) Por lo tanto, I está débilmente dominada por C, porque en el J primer caso C>I, pero en el segundo C es tan buena como I, 1 (2, (3, (4, podríamos tener la tentación de tachar la columna I, pero estaría M 5) 5) 0) mal por ese “débilmente” (SI ES DÉBILMENTE NO TACHAMOS NADA), si la tacháramos, llegaríamos a la siguiente tabla: Para J1: Fijamos las columnas, en vertical C D - Si el J2 elige C, J1 elige A, porque A>M o 4>3 ( ( -Si el J2 elige D, el J1 juega M, porque M>A o 4>0 4 0 Para el J2: Fijamos la fila, en horizontal A, , - Si J1 juega A, el J2 elige D, porque D>C o 3>2 2 3 - Si J1 elige, el J2 juega C, porque C>D o 5>0 ) ) No hay una relación clara de dominancia (tenemos que usar otro método), J ninguno sería EN, el único que es EN es B, D y lo hemos tachado. 1 ( ( 3 4 M, , 5 0 ) )

Ejercicio 2.6.b. “Matrices estratégicas (Argumentos dominación) pág. 119 Calcular el Equilibrio de Nash del siguiente juego escrito en J2 forma matricial: I M D Mejores respuestas para el J1: Fijamos columnas, en vertical. El (7 (5 (6, J1 tendrá 3 posibles mejores respuestas, porque como su rival (J2) tiene 3 posibles acciones (I, M y D), corresponde con las acciones A ,2 ,4 3) del rival. ) ) - Si el J2 hace I, el J1 juega B, porque B>A>C (8>7>2) f1(S2=I) (8 (3 (3, =B=8 J B ,2 ,1 5) - Si el J2 hace M, el J1 juega C, porque C>A>B (6>5>3) f1(S2=M) 1 ) ) =C=6 - Si el J2 hace D, el J1 juega A, porque A>C>B (6>5>3) f1(S2=D) (2 (6 (5, =A = 6 C ,2 ,3 2’5 Al mirar las mejores respuestas, no hay una mejor respuesta que ) ) ) sea SIEMPRE la misma, por lo tanto, J1 no tiene ninguna estrictamente dominante, y tampoco tienen ninguna estrictamente dominada (si alguna se queda siempre por detrás, es la peor), ni débilmente dominante. Mejores respuestas para el J2: Fijamos filas, en horizontal. - Si el J1 juega A, el J2 elige M, porque M>D>I (4>3>2) f2(S1=A) M=4 - Si el J1 juega B, el J2 elige D, porque D>I>M (5>2>1) f2(S1=B) = D=5 - Si J1 juega C, el J2 elige M, porque M>D>I (3>2’5>2...