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UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIAS

5-7-2018

Teoría de Juegos Aplicación Experimental PROFESOR: ECONOMISTA PATRICIO CARDENAS

AUTORES DANIELA IDROVO LISBETH JARAMILLO JUAN LUIS ORELLANA MARÍA PAZ URGILES

Contenido Resumen Ejecutivo........................................................................................................1 Marco Teórico................................................................................................................2 Teoría de Juegos.........................................................................................................2 Teoría Experimental Dedicado a la teoría de Juegos...............................................10 Desarrollo de los juegos...............................................................................................15 1.

2.

Juegos con información completa........................................................................15 1.1

Juego Estático con Información completa....................................................15

1.2

Juego Dinámico con información completa..................................................15

Juegos con información incompleta.....................................................................23 2.1

Juego Estático con información incompleta.................................................23

2.2

Juego Dinámico con información incompleta...............................................30

Conclusiones................................................................................................................43 Bibliografía......................................................................................................................44 ANEXOS.....................................................................................................................45 Anexo 1: Ficha 1 de recolección de datos...............................................................45 Anexo 2: Ficha 2 de recolección de información sobre el tipo de jugador..............45

Resumen Ejecutivo En el presente documento realizamos un breve resumen en forma de marco teórico de algunos conceptos de teoría de juegos estudiados durante el ciclo y que se aplicaran en tres juegos escogidos de la bibliografía señalada y un juego planteado por los autores del presente documento. Los juegos escogidos corresponden a: Juegos con información completa e incompleta: estáticos y dinámicos. A continuación, con el objetivo de corroborar los equilibrios teóricos encontrados por los juegos se ha utilizado la técnica de experimentación, la cual usada en teoría de teoría de juegos

permite observar cómo interactúan los individuos en

situaciones estratégicas ante incentivos reales; como en toda nueva área de investigación, la metodología está evolucionando y los criterios sobre cómo realizar buena investigación experimental comienzan a asentarse. Por lo tanto, el método utilizado para realizar los experimentos usados en este documento consta de: elaboración de la pregunta económica, diseño del experimento, selección de sujetos experimentales, análisis de datos y presentación de resultados. La metodología descrita está basada en el documento de Economía Experimental y Teoría de Juegos, realizado por Pedro Rey Biel1 de la Universidad Autónoma de Barcelona, publicado en febrero 2006. Siguiendo este procedimiento se ha realizado tres experimentos con cada tipo de juego, los cuales en la mayoría de los casos no han coincidido con los equilibrios teóricos planteados.

Marco Teórico Teoría de Juegos Definición de juego. “La palabra juego hace referencia al divertimiento, también a la actividad en que los participantes, sometidos a reglas que tienen que cumplir, intentan ganar, pero pueden perder en estos juegos; donde cada jugador intenta conseguir el mejor resultado posible maximizando su utilidad”[ CITATION Pér04 \l 12298 ]. Para que exista un juego debe existir interacción estratégica y por lo tanto más de un jugador. Clasificación de los juegos Ilustración 1: Clasificación de los Juegos

Fuente:[ CITATION Pér04 \l 12298 ] Elaboración: Autores

Notación terminología: Jugadores:

“Son los participantes en el juego que toman decisiones con el fin de maximizar su utilidad”[ CITATION Pér04 \l 1033 ]

Acciones para Son las decisiones que pueden tomar cada jugado en cada cada jugador:

momento en que le toque jugar[ CITATION Pér04 \l 1033 ].

Resultados del Distintos

modos

en

los

cuales

se

puede

concluir

el

juego:

juego[ CITATION Pér04 \l 1033 ].

Pagos:

Cada jugado recibe un pago al acaba el juego, depende de cual haya sido el resultado del juego[ CITATION Pér04 \l 1033 ].

Terminología: n :n ú mero de jugadores

s i estrategia para el jugador i S i= { s i ; … … … s j } espacio estrategico para el jugado i, S= [ s1 … … .. S n ] perfil deestrategias para los n jugadores S−i= [ S 1 … … Si−1 , Si +1 , Sn ] pefilde estategias delos otos jugadoes ui ( S i , s−i ) es la recompensa de icomo una funcion del perfilde estrategias jugado

por los n jugadoes en el juego .

Formas de representar un juego 

Forma Estratégica. - Organiza la descripción en forma rectangular.



Forma extensiva. - Representación en forma de árbol, resaltando la secuencia del juego, es decir la manea que se desarrolla las acciones de los jugadores para alcanzar los posibles resultados del juego.

1. Juegos con información completa 1.1 Juego Estático con Información completa Son juegos representados de manera natural en forma estratégica, ya que los jugadores realizan sus jugadas de forma simultánea, sin conocer las decisiones de los otros. Es de dominio público el conocimiento de la estructura completa del juego, es decir, todos los jugadores conocen las estrategias o acciones disponibles para cada jugador y las ganancias resultantes de cada combinación de acciones[ CITATION Pér04 \l 12298 ]. Solución del juego Es un conjunto de perfiles de estrategias tal que es razonable pensar que los jugadores tomaran decisiones pertenecientes a dicho conjunto. Soluciones del juego para encontrar un equilibrio de Nash: Estrategias Dominantes Son aquellos que recompensan a un jugador más que cualquier otras sin importar lo que elijan sus oponentes. Suponiendo que las estrategias del jugador (1) son disponibles para el jugador 2 son

s 1= A , B ,C

s 2=X , Y , Z

Las estrategias son estrictamente dominantes si se cumple: U 1 (C , X ) >U 1 ( A , X ) oU 1 (C , X )> U 1 (B , X ) U 1 (C ,Y ) >U 1( A , Y ) o U 1 (C , Y ) > U 1( B , Y ) U 1 (C , Z ) >U 1( A , Z ) o U 1 ( C , Z )> U 1 ( B , Z )

y que las estrategias

Las estrategias son débilmente dominantes para el jugador 1 si cumple U 1 (C , X ) ≥ U 1 ( A , X ) o U 1 (C , X ) ≥ U 1 ( B , X ) U 1 (C ,Y ) ≥ U 1 ( A ,Y ) o U 1 ( C , Y ) ≥U 1 ( B ,Y ) U 1 (C , Z ) ≥U 1( A , Z ) o U 1 (C , Z ) ≥ U 1 ( B , Z ) Nota: Lo que nos ayuda las estrategias dominantes es eliminar las estrategias que estén débilmente dominadas, esto quiere decir que el jugador nunca escogería jugar estas estrategias en ningún momento

Equilibrio de Nash: “Es un perfil de estrategias del que ningún jugador desearía desviase unilateralmente, es decir ningún se arrepiente de la decisión tomada, dadas las estrategias decididas por el esto de los jugadores. está formado por las estrategias que son óptimas por el esto de los jugadores”[ CITATION Pér04 \l 1033 ]. Puede haber muchos equilibrios de Nash en un solo juego Equilibrio en Nash estrategias mixtas: Es en la que un jugador juega sus estrategias puras disponibles con ciertas probabilidades; entiende en contexto de juegos repetidos, donde el objetivo de cada jugador es mantener al otro adivinando[ CITATION Pér04 \l 1033 ]. Se dice que, si no existe equilibrio en estrategias puras, tiene que haber un equilibrio en estrategias mixtas único, es posible que el equilibrio en estrategias mixtas y el equilibrio de Nash para las estrategias puras puedan coexistir[ CITATION Pér04 \l 1033 ]. Para el cálculo de los equilibrios de Nash en estrategias mixtas en juego de este tipo: una estrategia mixta será respuesta óptima a otra estrategia (pura o mixta) dada solo si sus estrategias puras soporte son respuesta óptima. Esto implica que tales estrategias puras producen ganancias iguales y máximas, dadas la estrategia de otro jugador. Esto permite obtener un equilibrio en estrategia mixta de un juego de 2 x 2 con los siguientes pasos[ CITATION Pér04 \l 1033 ].

1. Se fijan estrategias mixtas genéricas para los dos jugadores sean

( p ,1−p)

y

q , 1−q ¿ estrategias mixtas genéricas para el jugador 1 y 2 respectivamente

2. Para el jugador 1 se calcula la utilidad esperada que obtiene de cada una de sus estrategias puras cuando la estrategia del jugador 2 es

q , 1−q ¿

3. A partir de 2 se calcula la correspondencia de respuesta optima del jugador 1 R1 (q) 4. Para el jugador 2 se calcula la utilidad esperada que obtiene de cada una de sus estrategias puras cuando la estrategia del jugador 2 es

( p ,1−p)

5. A partir de 4 se calcula la correspondencia de respuesta optima del jugador 2 R2 ( p) 6. En el plano ,y

R2 ( p)

p− q

se representan gráficamente las correspondencias

R1 (q)

obteniéndose los equilibrios de Nash en estrategias mixtas en los

puntos que ambas se cortan.

1.2 Juego Dinámico con información completa La Teoría de Juegos utiliza modelos y análisis matemático para explicar la interacción y las estrategias que utilizan los individuos participantes de un juego, estudia la forma en la que los jugadores responden a incentivos y su aptitud al momento de tomar decisiones. Para poder analizar lo mencionado anteriormente, la Teoría de Juegos presentar distintos tipos de juegos. En este apartado analizaremos un Juego Dinámico con información completa.[ CITATION Pér04 \l 12298 ] Un juego dinámico es aquel juego en el que los jugadores mueven y toman decisiones, después de tener algún conocimiento de las acciones tomadas previamente por el otro jugador. Un juego dinámico con información completa implica que cada jugador conoce la función objetivo de cada uno de sus contrincantes. En el juego, especifica el momento que tiene cada jugada y el jugador a quien le corresponde jugar. Las principales características de este tipo de juego son: -

Las decisiones se toman de manera sucesiva

-

Las decisiones previas son conocidas antes de tomar la decisión siguiente

-

Los pagos de los jugadores para cada combinación posible de jugadas son información del dominio público.

La información que puede presentar este juego dinámico puede ser de dos tipos: -

Información completa y perfecta: Se da si cada conjunto de información cualquiera de sus jugadores es unitario.

-

Información completa e imperfecta: En este tipo de juego dinámica se presenta decisiones simultáneas en cada etapa. Un juego dinámico con información completa es el conocido Juego del

Ciempiés, que es un experimento que se fundamenta en una competición entre dos contrincantes, estudiada por la Teoría de juegos introducida en 1981 por primera vez por Robert Rosental. [ CITATION Pér04 \l 12298 ] Debido a que la representación de cada decisión en la alternancia de turnos del juego no puede ser representada como una matriz de pagos, lo usual es que cada decisión del juego sea representada en la forma extensiva o forma de árbol. [ CITATION Pér04 \l 12298 ] Entonces el árbol resultante será de la máxima longitud de 100 turnos, lo cual será representado por 100 ramas, quedando la rama de la opción 1 siempre truncada. Al dibujar este esquema, en forma horizontal, se verá como un ciempiés con cien patas. [ CITATION Pér04 \l 12298 ]

2. Juegos con información incompleta 2.1 Juego Estático con información incompleta juegos se caracterizan porque sus jugadores realizan sus decisiones de manera simultánea, y su diferencia a los juegos estáticos con información completa es que al menos uno de los jugadores no conoce los pagos esperados o las consecuencias de los mismos, además estos juegos incluyen la influencia del azar o naturaleza, como un jugador independiente que decide aleatoriamente sobre las decisiones de los jugadores. Este tipo de juego incorpora más realismo a la interacción entre jugadores, ya que no siempre se conoce toda la información de cada individuo participante.

Los supuestos que caracterizan a este tipo de juego es la racionalidad de cada jugador, esta condición deriva al conocimiento mutuo de racionalidad, es decir que cada jugador sabe que su oponente, al igual que él, es racional, la elección simultánea y la información incompleta.[ CITATION Pér04 \l 12298 ] Su representación normal está dada de la siguiente manera: 

El conjunto de jugadores: N= { 1,2 , … , n}



Las estrategias disponibles para cada jugador:



Los tipos de jugadores: T i (i ∈ N )



Las

distribuciones

de

probabilidad

A i (i∈ N )

sobre

los

tipos

de

individuos:

p:T 1 x … x T n → [0,1 ] 

Los pagos de cada jugador:

ui (a 1 , … , an ; t1 , … , tn )

n n n G= {N , { A i }i=1 , { T i }i=1 , p :T → [0,1 ] , { ui}i=1 }

Entre los juegos estáticos de información incompleta se encuentras: Duopolio de Cournot, sin conocer los costos marginales de la otra empresa, subastas sin saber las valoraciones de los participantes, negociaciones sin saber la disposición a pagar, etc. En este informe detallaremos el juego de la subasta de un solo precio. Subasta de un solo precio Se puede definir a la subasta como un juego en el que los individuos o demandantes potenciales de cierto bien expresan su disponibilidad a pagar por dicho activo mediante pujas, las formas de las pujas determinan el resultado del juego, que determina quién o quienes reciben el o los bienes y cuanto deben pagar. La adjudicación de la subasta establece los beneficios de quienes recibieron el bien y quienes no, que está dado por la satisfacción o utilidad de tenerlo menos el gasto incurrido en adquirirlo. La subasta de un solo precio, o también conocida como de sobre cerrado se basa en una subasta a la que se presentan licitantes, o jugadores, quienes entregan un sobre cerrado con el valor de su puja. Posteriormente se procede a abrir los sobres y quien pujó la cantidad más alta se queda con el bien, claro está que debe pagar el monto de su puja. En caso de que existan varios jugadores con una puja alta se recurre al azar para entregar el bien subastado, cada uno con probabilidad 1/n, siendo n el número de jugadores que pujaron el valor más alto por el bien.

La función de utilidad o de pagos para cada jugador i está dado por (siendo la subasta con 2 jugadores):

ui ( ai , a j ; vi , v j )=

Siendo

vi

{

( v i−ai ) si ai > a j 0 si ai < a j (v i−ai ) si ai=a j 2

es beneficio o satisfacción de ganar el bien y

ai

es monto que gasto

para conseguirlo, o el monto de puja.[ CITATION Pér04 \l 12298 ]

2.2 Juego Dinámico con información incompleta Los juegos dinámicos con información incompleta corresponden a juegos que son secuenciales y en los cuales un jugador tiene información privada. La información privada por lo general se indica como un nodo en blanco donde juega la naturaleza (es decir el azar) y el jugador que conoce el resultado de la naturaleza es el jugador 1 (jugado que decide primero), el jugador 2 no conoce cuál es su nodo de decisión. [ CITATION Pér04 \l 12298 ] En estos juegos se encuentra el equilibrio bayesiano, en este caso, la noción de equilibrio apropiado va más allá del aplicado a subjuegos. Necesitaremos cuestiones adicionales para asegurar la racionalidad secuencial en todos los conjuntos de información. Esto es así porque, a través de las acciones escogidas por el agente que juega primero (señales), el agente que juega después posee información adicional para actualizar la distribución de probabilidades dada por la naturaleza.[ CITATION Uni16 \l 12298 ]

Equilibrio Perfecto Bayesiano o de Señalización Este concepto de equilibrio permite tener racionalidad secuencial en cada conjunto de información. El punto clave de este equilibrio es la forma como J2 actualiza sus creencias sobre el tipo de J1, una vez recibe m (acción que realiza J2).

La forma de actualizar la información es mediante la regla de Bayes la cual se define como: La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió primero dado lo que ocurrió después.[ CITATION Web00 \l 12298 ] Ilustración 2: Teorema de Bayes

Fuente:[ CITATION Web00 \l 12298 ]

Tipos de Equilibrio y Solución En este tipo de juegos existen dos tipos de equilibrio 

Separador: En este caso, cada tipo (del jugador 1) escoge un mensaje diferente.



Pooling o Agrupador: En este caso, cada tipo (del jugador 1) escoge un mismo mensaje.

Teoría Experimental Dedicado a la teoría de Juegos El objetivo de la teoría de juegos es la interacción estratégica y lo que nos permite el experimento es poder observar como los sujetos interactúan dentro de entonos estratégicos observados. Se trata obtener datos propios

diseñando una situación controlada, un

experimento, en el que ciertos individuos tengan que tomar decisiones que determinarán cuánto ganan, y observar cómo se toman esas decisiones y qué características del diseño experimental influyen en ellas. Lo que se busca es observar cómo se comportan personas reales ante situaciones experimentales que representan los juegos.

Los experimentos económicos se fundamentan por el uso de incentivos reales para motivar las decisiones de los participantes, en respuesta suponemos que el participante contesta lo que siente cree y no nos engaña[ CITATION Rey06 \l 12298 ]. El jugador recibe pagos distintos dependiendo de sus decisiones y la de los demás y por ello el experimentalista puede tener mayor control sobre las preferencias de los sujetos pues solo necesita suponer que toman aquellas decisiones que creen que les van a reportar un mayor pago[ CITATION Rey06 \l 12298 ]. En el campo de la Teoría de Juegos, los experimentos se han utilizado para estudiar temas clásicos como la coordinación, los equilibrios en estrategias mixtas, el aprendizaje en juegos repetidos, los juegos con dominancia iterada, la señalización o la reputación. En cuanto a las aplicaciones, se han diseñado experimentos que estudian las preferencias sociales, la negociación (estructurada o no), las subastas, los bienes públicos o las finanzas. Entender cómo individuos reales se comportan ante estas representaciones simplificadas de problemas reales es clave a la hora de estudiar aplicaciones de la Teoría de Juegos al mundo real. [ CITATION Rey06 \l 12298 ].

Reseña histórica La primera serie de experimentos económicos se realizaron en el campo de la elección individual en los años treinta del siglo pasado y consistieron en la estimación de funciones de utilidad (que miden la satisfacción de los individuos con sus acciones o con las dotaciones de bienes que tienen) a partir de las decisiones de varios individuos entre diversas cestas de consumo hipotéticas.7 ...