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Prueba de hipótesis para la razón de varianzas Un inversionista desea comparar los riesgos asociados con dos diferentes mercados A y B. El riesgo de un mercado dado se mide en función de la variación diaria de los precios. El inversionista piensa que el riesgo asociado con el mercado B es mayor que ...

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Prueba de hipótesis para la razón de varianzas 1.

Un inversionista desea comparar los riesgos asociados con dos diferentes mercados A y B. El riesgo de un mercado dado se mide en función de la variación diaria de los precios. El inversionista piensa que el riesgo asociado con el mercado B es mayor que el mercado A. En este sentido se observan los precios (en dólares) de 21 días en el mercado A y de 16 en el mercado B; los resultados obtenidos son: Mercado A

Mercado B

Precio Promedio

0.30

0.40

Desviación estándar

0.25

0.45

Si se supone que las muestras provienen de dos poblaciones normales e independientes, ¿a un nivel de 5%, existe la suficiente evidencia que respalda la afirmación del inversionista? Parámetros 2

σ1 :

Riesgo asociado con el mercado A

2

σ2 :

Riesgo asociado con el mercado B

Hipótesis 2

Ho: σ 1

σ2

σ1 < σ2 2

H1:

2

≥

(No se respalda la afirmación del inversionista)

2

( Se respalda la afirmación del inversionista)

2 2 1/¿ σ 2 0.05 , no se rechaza Ho. Conclusión : Las varianzas poblacionales son iguales u homogéneas

Hipótesis : Ho: u1 ≤ u2 (u1=u2) ( Las mujeres no son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas) H1: u1 > u2 ( Las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas) ( u1 - u2 > 0) CASO II Estadístico de prueba

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Estadística Empresarial II

TC 

 x1 

Guía de trabajo 1

2021-1

x2   μ0

(n1  1) S  (n 2  1) S 22 n1  n 2  2 2 1

1 1    n1 n 2

  

Tc = 2.25 Valor Crítico (punto critico) Grados de libertad = DF = n1+n2-2 =10+8-2=16 T(16, 0.95) = 1.746 Decisión : como Tc= 2.25 > 1.746 se rechaza Ho. O p-valor = 0.020 < 0.05, se rechaza Ho. Conclusión Las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas, a un nivel de significación del 5%.

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2.

Guía de trabajo 1

2021-1

El gerente de marketing de una compañía desea determinar si un nuevo envase podría aumentar las ventas de su producto. Para probar la factibilidad de la nueva forma de envase se seleccionó una muestra de 20 tiendas similares y se asignaron, en forma aleatoria, once de ellas como mercado de prueba de la nueva forma de envase, en tanto que las otras nueve continuarían recibiendo el envase antiguo. Las ventas semanales durante el tiempo de estudio fueron las siguientes: Envase nuevo

n1 = 11

¯x 1

= 130 cajas

Envase antiguo

S1 = 8 cajas

n2 = 9

¯x 2 = 118 cajas

S2 = 10 cajas

Si se sabe que el nivel de ventas con el envase nuevo y con el envase antiguo se comporta según una distribución normal y que las muestras tomadas son independientes, ¿tiene evidencia de que la nueva forma de envase dio como resultado una mayor media del nivel de ventas? Use un nivel de significancia del 5%. Prueba de igualdad de medias con datos pareados 3.

Una empresa farmacéutica está interesada en la investigación preliminar de un nuevo medicamento que parece tener propiedades reductoras del colesterol en la sangre. A tal fin se toma una muestra al azar de 6 personas con características similares, y se determina el contenido en colesterol antes y después del tratamiento. Los resultados han sido los siguientes: Antes

217

252

229

200

209

213

Después

209

241

230

208

206

211

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Estadística Empresarial II

a)

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Formule adecuadamente las hipótesis nula y alternativa e indique, en términos del enunciado, en qué consisten los errores de tipo I y tipo II. Ho: . ud ≤ 0 (ud=0) ( El nuevo medicamento no es efectivo) H1: uantes – udespués > 0 ( El nuevo medicamento es efectivo) . ud > 0 Uantes > udespués Error Tipo I. Afirmar erróneamente que el nuevo medicamente es efectivo. Error tipo II. Afirmar erróneamente que el nuevo medicamente no es efectivo.

b)

Considerando que el contenido de colesterol se ajusta a una distribución normal. Confirmar estadísticamente la bondad del tratamiento.  = 0.01.

Ho: . ud ≤ 0 (ud=0) ( El nuevo medicamento no es efectivo) H1: uantes – udespués > 0 ( El nuevo medicamento es efectivo) Estadístico de prueba __

t c=

d Sd √n

Tc =0.91 . di =Xi-Yi Valor crítico

T(n-1, 1-α ) =T(5, 0.99) = 3.365

Decisión : Como Tc= 0.91 < 3.365 no se rechaza Ho. p-valor = 0.202 > 0.01 no se rechaza Ho. Conclusión : El nuevo medicamento no es efectivo, a un nivel de significación del 1%.

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Propuestos para el alumno 5.

Una compañía desea estudiar el efecto que tiene la pausa para el café, sobre la productividad de sus obreros. Para evaluar esto se selecciona una muestra aleatoria de 6 obreros y se mide su productividad en un día corriente, y luego se mide la productividad de los mismos 6 obreros en un día que se concede la pausa para el café. Los resultados obtenidos son los siguientes: TRABAJADOR Sin pausa Con pausa

1 23 28

2 35 38

3 29 29

4 33 37

5 43 42

6 32 30

Con  = 0.05. ¿Hay evidencia para afirmar que el otorgarles una pausa a los obreros mejora su nivel promedio de productividad? ¿A qué conclusión llegará la compañía? Considere que el nivel de productividad de los obreros se ajusta a una distribución normal. 6.

Una empresa de transporte interprovincial debe decidir si compra la marca A o la marca B de neumáticos para su flota de ómnibus. Para estimar la diferencia entre las dos marcas coloca un neumático de cada marca a cada una de las ruedas delanteras de 12 ómnibus y se registra en miles de kilómetros las siguientes distancias: Ómnibus

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Marca A

50

47

38

44

35

36

44

48

46

48

49

51

Marca B

45

43

30

39

35

31

42

44

37

46

48

52

Utilizando un nivel de significación de 5%, ¿se puede concluir que los promedios de rendimiento son diferentes? Suponer que las distancias se distribuyen en forma normal. Prueba de igualdad de proporciones de dos poblaciones independientes 7.

Un sociólogo cree que la proporción de hombres que pertenecen a un grupo socioeconómico determinado (grupo A) y que ven regularmente programas deportivos en la televisión, es mayor que la proporción de un segundo grupo de hombres (grupo B). Al respecto se tomó dos muestras aleatorias, que arrojaron los siguientes resultados:

Grupo

Tamaño de la Muestra

Número de hombres que ven regularmente programas deportivos en la TV

A

150

98

B

200

80

Si utilizamos un nivel de significancia del 6% ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para apoyar la tesis del sociólogo? 4.

El Departamento de Marketing de una compañía que produce el detergente “Fórmula” encontró en una muestra aleatoria de 200 amas de casa que el 20% utiliza esta marca de detergente. Después de una intensa campaña publicitaria, se tomó otra muestra aleatoria de 300 amas de casa la que indicó que el 27% favorece esta marca. Se ha tenido en cuenta que las muestras son independientes. Al 5% de significación, ¿puede el jefe del Departamento concluir, en base a los resultados de esta muestra, que la campaña fue exitosa? Parámetros: π1 : Proporción de amas de casa consumidoras de la marca de detergente “Fórmula” antes de la campaña publicitaria.

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Π2 : Proporción de amas de casa consumidoras de la marca de detergente “Fórmula” después de la campaña publicitaria. Hipótesis : Ho. π1≥ π2 ( La campaña no fue exitosa) H1: π1 < π2 ( La campaña fue exitosa) π1 - π2 < 0 Estadístico Zc =-1.79 ZC 

p1  p 2 ~p (1 ~p ) 1  1  n n  2   1

~ x 1  x 2  n 1p 1  n 2p 2 p n 1 n 2 n1  n2

Datos: n1=200, p1=0.20 , X1= 200*0.2=40 .n2=300, p2=0.27 , X2= 300*0.27= 81 Valor crítico: Zalfa = Z0.05 =-1.645 Decisión Como Zc = -1.79 < -1.645 se rechaza Ho. p-valor = 0.037 < 0.05 se rechaza Ho. Conclusión :

La campaña fue exitosa, a un nivel de significación del 5%.

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8.

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Se tienen los resultados de una encuesta realizada a 2195 turistas, entre los cuales hay norteamericanos, europeos y sudamericanos, entre otras cosas la encuesta trata sobre los destinos turísticos que les agradaría realizar en su próxima visita al Perú, el resultado se muestra en la siguiente tabla. Se ha tenido en cuenta que las muestras con respecto al Destino turístico son independientes, así como las muestras con respecto al origen del turista Destino turístico

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Cuzco

Iquitos

Arequipa

Europeo

700

200

150

Norteamericano

500

250

75

Sudamericano

180

100

40

El Gerente de una conocida agencia de turismo afirma que “El porcentaje de turistas de origen europeo cuyo destino turístico es Cuzco supera al porcentaje de turistas de origen norteamericano, cuyo destino es Cuzco en más del 4%”. Mediante una prueba de hipótesis con un 5% de significancia evalúe la afirmación de este Gerente.

Propuesto para el alumno 9.

Se realiza una investigación para averiguar si el género influye en el consumo de lácteos en la dieta diaria. Se entrevistaron a una muestra aleatoria de 100 mujeres y a otra muestra aleatoria de 120 varones obteniéndose los siguientes resultados: Género

Consumen lácteos

No consumen lácteos

Mujeres

74

26

Varones

84

36

Usando un nivel de significación del 5%, ¿se podría concluir que la proporción de mujeres que consumen lácteos es mayor a la proporción de varones que los consumen?

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