Ejercicio momento curv PDF

Preview

Summary

Ejercicio 2_1: Dibujar el diagrama Momento curvatura de la viga mostradaen la figura inferior. Utilice la curva tension-deformacion del hormigoncomprimido propuesta por Todeschini, y la curva tension-deformacion elastoplastica perfecta para el acero traccionado.Definicion del problemaDatos relevante...

Description

Ejercicio 2_1: Dibujar el diagrama Momento curvatura de la viga mostrada en la figura inferior. Utilice la curva tension-deformacion del hormigon comprimido propuesta por Todeschini, y la curva tension-deformacion elasto plastica perfecta para el acero traccionado.

Definicion del problema Datos relevantes: geometria, cuantias de acero, propiedades mecanicas. Datos irrelevantes: No hay. Datos faltantes: Curvas tension-deformacion de los materiales. No se indican la cantidad de puntos mas alla de la fluencia a encontrar Variables a calcular: La capacidad de momento nominal (Mn) y su curvatura asociada (

Φ)

para al menos 3 fases del hormigon.

Planificacion del problema Paso 1: Calcular Mn y

Φ

asociado al punto de primer agrietamiento,

utilizando seccion transformada y teoria de flexion elastica.

Φ

Paso 2: Calcular Mn y

asociado al punto de primera fluencia, asumiendo en

principio una distribucion lineal de tensiones en el hormigon comprimido (se debe comprobar) y despreciando la resistencia a traccion del hormigon.

Φ

Paso 3: Calcular Mn y

asociado a un punto mas alla de la fluencia,

utilizando el metodo propuesto por Park y Paulay (se asumira

εcm

igual a

0.003).

Ejecucion del problema ( unidades en kgf y cm) Paso1: ( punto primer agrietamient o) bw ≔ 30

As ≔ 3 ⋅ ⋅

h ≔ 60 diam

Es ≔ 2100000

4

2

= 14.726

2

d ≔ 55 2

f'c ≔ 250

diam ≔ 2.5

2

modulo de elasticidad del acero

fy ≔ 4200

2

Ec ≔ 15100 ⋅

n≔

Es Ec

0.5

2

f'c ⋅ 1

= 238751.963

2

modulo de elasticidad del hormigon

= 8.796

Se trabaja como seccion equivalente de hormigon en rango elastico El centroide corresponde al eje neutro y se utilizan ecuaciones de flexion de Navier. Debemos calcular centroides, inercias, deformaciones unitarias, tensiones, fuerzas, momentos, curvaturas.

2

Ag ≔ bw ⋅ h = 1800

area de hormigon

2

As_equiv ≔ ( n − 1)) ⋅ As = 114.802

area de acero equivalente, transformado en hormigon

yg ≔

⎞ h ⎛ A ⋅d ⎜⎝Ag ⋅ 2 + s_equiv ⎟⎠ Ag + As_equiv

= 31.499

eje neutro medido desde arriba

2

2 ⎛h ⎞ Ig ≔ ⋅ bw ⋅ h + Ag ⋅ ⎜ − yg ⎟ + As_equiv ⋅ ⎛⎝ d − yg ⎞⎠ = 607449.256 ⎝2 12 ⎠

1

3

4

inercia de la seccion transformada de hormigon equivalente

fr ≔ 2 ⋅

εct ≔

0.5

2

f'c ⋅ 1

= 31.623

2

tension de rotura del hormigon en traccion (segun ACI)

fr

= 1.32 ⋅ 10

Ec

−4

deformacion en fibra de hormigon mas traccionada (ley de Hooke)

εc ≔ εct ⋅

yg h − yg

= 1.46 ⋅ 10

−4

deformacion en fibra de hormigon mas comprimida (semejanza de triangulos en diagrama de deformaciones)

fc ≔ Ec ⋅ εc = 34.949

εs ≔ εc ⋅

2

⎛⎝ d − yg ⎞⎠ −4 = 1.09 ⋅ 10 yg

tension en el hormigon comprimido (ley de Hooke)

deformacion del acero traccionado (semejanza triangulos en diagrama de deformaciones)

fs ≔ Es ⋅ εs = 229.35

Cc ≔

Tc ≔

1 2

2

tension en el acero traccionado (ley de Hooke)

⋅ fc ⋅ yg ⋅ bw = 16512.743

fuerza de compresion en el hormigon

f 1 ⋅ fr ⋅ ⎛⎝h − y g⎞⎠ ⋅ bw − As ⋅ s = 13135.284 2 n

fuerza de traccion en el hormigon

Ts ≔ As ⋅ fs = 3377.46

fuerza de traccion en el acero

Tc + Ts = 16512.743

se comprueba el equilibrio de fuerzas horizontales Cc = Tc+Ts

Mcr ≔

⎛⎝Ig ⋅ fr ⎞⎠ h − yg

= 673981.478

⋅

momento de agrietamiento, con respecto al centroide, de la fibra de hormigon mas traccionada, utilizando

Φcr ≔

Mcr Ec ⋅ Ig

1 −6 = ⎛⎝4.65 ⋅ 10 ⎞⎠

ecuacion Navier curvatura de agrietamiento, sabiendo que para el rango elastico, Ec*Ig es la pendiente del diagrama momento-curvatura

Es conveniente representar graficamente el estado de deformaciones , tensiones y fuerzas en esta fase de primer agrietamiento, para comparar con otras fases posteriormente, y entender el concepto fisico del problema

Profundizacion: Revisar en que puntos del diagrama tensiondeformacion estaria trabajando tanto el hormigon como el acero

Paso 2: ( punt o primera fluencia)

εy ≔

fy Es

= 0.002

deformacion de fluencia (ley de Hooke)

εs ≔ εy = 0.002

deformacion en el acero traccionado (justo fluencia)

fs ≔ fy = 4200

2

tension en el acero (justo la fluencia)

Se debe calcular la posicion del eje neutro (ahora se denomina k*d), a traves del equilibrio de fuerzas horizontales. Se asumira que la distribucion de tensiones de compresion en el hormigon aun es lineal y que las tensiones de traccion en el hormigon son despreciables (debido al agrietamiento). Se dejan las deformaciones y tensiones del hormigon en funcion de k

εc( k)) ≔ εs ⋅

k⋅ d d−k⋅d

deformacion en el hormigon mas comprimido en funcion de k (semejanza de triangulos en diagrama de deformaciones unitarias)

fc (k )≔ Ec ⋅ εc ( k )

tension en el hormigon mas comprimido en funcion de k (asumiendo comportamiento lineal, ley de Hooke)

Cc( k)) ≔

1 ⋅ fc ( k)) ⋅ k ⋅ d ⋅ bw 2

Fuerza en el hormigon comprimido en funcion de k (asumiendo comportamiento lineal)

Valores de prueba

Fuerza en el acero traccionado

k ≔ 0.5

valor para inicializar iteracion de la incognita

Solver Restricciones

Ts ≔ As ⋅ fs = 61850.105

Cc (k))＝ Ts

ecuacion de equilibrio para despejar k

k≔

comando para encontrar k

k = 0.325

( k))

k ⋅ d = 17.899

valor de k y del eje neutro (medido desde arriba)

εc ≔ εc ( k)) = 9.65 ⋅ 10

−4

deformacion en hormigon mas comprimido

fc ≔ fc (k) = 230.367

tension en el hormigon mas

2

comprimido (ley de Hooke)

Nota: En esta fase se habia supuesto que el hormigon en compresion aun estaba en su rango lineal, por lo que era valida la ley de Hooke y se asumia una distribucion lineal de tensiones. Sin embargo, estos supuestos solo son validos cuando fc < 0.5*f 'c Como en este caso

fc f'c

los supuestos pierden

=0.921

validez

No obstante, se terminara este ejercicio suponiendo que los errores asociados no son tan grandes. Al final de este documento, se hara un recalculo de este punto del diagrama momento-curvatura

Cc ≔ Cc (k)) = 61850.105

fuerza de compresion en el hormigon

Ts = 61850.105

fuerza de traccion en el acero

Nota: Observe que hay equilibrio de fuerzas horizontales, Cc=Ts

El momento de primera fluencia se puede calcular a traves de la ecuacion de equilibrio de momento, con respecto a cualquier punto.

d⎞ ⎛ My ≔ Cc ⋅ ⎜d − k ⋅ ⎟ = 3032737.341 ⎝ 3⎠ Φy ≔

εy d−k⋅d

⋅

momento de primera fluencia, c/r a posicion de enfierradura traccionada

−5 1 = ⎛⎝ 5.39 ⋅ 10 ⎞⎠

curvatura de primera fluencia (angulo de diagrama de deformaciones)

Resumiendo los resultados de manera grafica, se tiene:

Profundizacion: Revisar en que puntos del diagrama tension-deformacion estaria trabajando tanto el hormigon como el acero (recordar que este punto se recalculara al final)

P

3 (

t

ll d l fl

i

0 003)

Paso 3: ( punto mas alla de la fluencia, para εcm = 0.003) Se utiliza la curva tension-deformacion para el hormigon en compresion propuesta por Todeschini

⎛⎝ εc⎞⎠

Parametros de la curva

f''c ≔ 0.9 ⋅ f'c = 225

ε0 ≔ 1.71 ⋅

f'c Ec

maxima tension de compresion (curva

2

Todeschini)

= 0.002

deformacion en el hormigon comprimido, asociado a maxima tension de compresion (curva Todeschini)

fc ⎛⎝εc ⎞⎠ ≔ 2 ⋅ f''c ⋅

⎛ εc ⎞ ⎜ε ⎟ ⎝ 0⎠ ⎛ εc ⎞ 1 +⎜ ⎟ ⎝ ε0 ⎠

2

ecuacion de curva tension-deformacion hormigon comprimido (Todeschini)

240 220 200 180 160 140 120

⎛ fc ⎛⎝ εc⎞⎠ ⎜ ⎝

100 80 60 40 20 0 0

0.001

εc

0.002

⎛ ⎜⎝

0.003

⎞ ⎟⎠

0.004

2

⎞ ⎟ ⎠

εcm ≔ 0.003

deformacion en el hormigon mas comprimido, mas alla de la fluencia, a evaluar

ε cm

⌠f ⎛ε ⎞ d ε ⌡ c ⎝ c⎠ c α≔

0

f''c ⋅ εcm

parametro para fuerza resultante en el

= 0.798

hormigon comprimido (Park-Paulay)

ε cm

⌠ ε ⋅ f ⎛⎝ ε ⎞⎠ d ε c ⌡ c c c γ≔1−

0

parametro para posicion de fuerza

=0.426

ε cm

resultante en hormigon comprimido (Park-Paulay)

⎛ ⎞ εcm ⋅ ⌠ ⌡ fc ⎝ εc⎠ d εc 0

( k)

Cc( k)) ≔α ⋅ f'' c ⋅ k⋅ d ⋅ bw

⎛⎝ fs⎞⎠

fuerza en el hormigon comprimido en funcion de k (Park-Paulay)

εs( k) ≔ εcm ⋅

(d − k ⋅ d )

deformacion en el acero traccionado

k⋅d

fs (k))≔ if εs ( k)) < εy ‖ E ⋅ ε (k ) ‖ s s else ‖f ‖ y Ts( k)) ≔ As ⋅ fs (k))

en funcion de k (Park-Paulay)

tension en el acero traccionado en funcion de k. Debe respetar al modelo elasto-plastico

Fuerza en el acero traccionado en

Valores de prueba

k ≔ 0.1

Solver Restricciones

funcion de k

Cc (k)＝ Ts ( k)

valor para inicializar la iteracion de la incognita

k≔

( )

k = 0.209

ecuacion de equilibrio para despejar k

comando para encontrar k

k ⋅ d = 11.484

profundidad del eje neutro (medido desde arriba)

εs (k )= 0.01137

fs (k) = 4200

deformacion en el acero traccionado

tension de traccion en el acero traccionado

2

fc ⎛⎝εcm ⎞⎠ = 198.037

tension de compresion en el hormigon

2

en fibra mas comprimida

Cc ≔ Cc (k)) = 61850.105

fuerza de compresion en el hormigon

Ts ≔ As ⋅ fs( k)) = 61850.105

fuerza de traccion en el acero

Mn ≔ Cc ⋅ (d − γ ⋅ k ⋅ d)) = 3099130.83

⋅

momento resistente nominal de la seccion,

Φult ≔

εcm k⋅d

−4 1 = ⎛⎝2.612 ⋅ 10 ⎞⎠

c/r a la enfierradura en traccion curvatura ultima de la seccion

Graficando el estado de deformaciones, tensiones y fuerzas en esta fase, se tiene:

Respuesta al problema:

A continuacion se muestra el diagrama momento curvatura resumido de la viga

⎡ 0 ⎤ ⎢ Mcr ⎥ M≔ ⎢ = My ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Mn ⎦

⎡ 0 ⎤ ⎢ 7.429 ⎥ ⎢ 33.43 ⎥ ⎢⎣ 34.162 ⎥⎦

⋅

⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 −4 ⎥ ⎢ ⎢ Φcr ⎥ 4.647 ⋅ 10 1 ⎥ Φ≔⎢ =⎢ Φy ⎥ 5.391 ⋅ 10 −3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ Φult ⎦ ⎣ 2.612 ⋅ 10 −2 ⎦

35 31.5 28 24.5 21 17.5

M (

14

⋅

)

10.5 7 3.5 0 0

5⋅10⁻³

1⋅10⁻²

1.5⋅10⁻²

Φ

2⋅10⁻²

2.5⋅10⁻²

3⋅10⁻²

⎛1 ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠

CALCULOS ADI CI ONALES DE PROFUNDI ZACI ON Caso 1: Calculo

exacto de punto de primera fluencia

Como se menciono anteriormente, en el punto de primera fluencia se asumio que la distribucion de tensiones en el hormigon comprimido era lineal. Esto es valido para valores de fc < 0.5 f 'c, lo cual no se cumplio en el ejercicio. Una manera mas exacta de calcular este punto es utilizar la curva teorica de tension-deformacion en el hormigon, utilizando el metodo de Park-Paulay

εs ≔ εy = 0.002 εcm (k)) ≔ εs ⋅ k ⋅

deformacion en el acero traccionado

d (d − k ⋅ d )

deformacion en el hormigon mas comprimido en funcion de k (semejanza de triangulos)

ε cm(k))

⌠ f ⎛ε ⎞ d ε ⌡ c ⎝ c⎠ c α (k)) ≔

0

f''c ⋅ εcm (k)

parametro

α

en funcion de k

ε cm (k))

⌠ε ⋅ f ⎛ε ⎞ d ε ⌡ c c ⎝ c⎠ c γ (k)) ≔ 1 −

0

ε cm (k))

⎛ ⎞ εcm ( k)⋅ ⌠ ⌡ fc⎝ εc⎠ d εc 0

parametro

γ

en funcion de k

Cc ( k))≔ α (k)) ⋅f''c ⋅ k ⋅ d ⋅ b w

fuerza de compresion en el hormigon en funcion de k

Ts ≔ As ⋅ fy = 61850.105

fuerza de traccion en el

Valores de prueba

k ≔ 0.1

Solver Restricciones

acero en funcion de k

Cc ( k)) ＝Ts

k≔

( )

profundidad del eje

k = 0.338

k ⋅ d = 18.575

neutro (medida desde arriba)

−3 εcm ≔ εcm (k ) =1.02 ⋅ 10

deformacion en fibra de hormigon mas comprimida

fc ⎛⎝εcm⎞⎠ = 193.527

tension en fibra de hormigon

2

mas comprimida

α ≔ α (k) = 0.493

parametro

α

para estimar la fuerza

de compresion resultante

γ ≔ γ (k) = 0.352

parametro

γ

para estimar la posicion

de la fuerza de compresion

Cc ≔ Cc ( k)) = 61850.105

fuerza de compresion en el hormigon

d⎞ ⎛ My ≔ Cc ⋅⎜d − k ⋅ ⎟ = 3018807.85 ⎝ 3⎠ Φy ≔

εcm k⋅d

−5 = ⎛⎝5.491 ⋅ 10 ⎞⎠

1

⋅

momento de primera fluencia

curvatura de fluencia

Como se puede observar, los resultados cambian levemente ya que :

k⋅d

y

εcm

fc My

son un poco mas grandes, mientras que

es mas pequeño. De esta forma, se obtienen valores de mas pequeños y de

Φy

mas grandes

Caso 2 :

Punto del diagrama momento-curvatura cuando la curva

del hormigon en compresion pierde su linealidad

De manera aproximada se puede decir que el hormigon pierde su linealidad cuando

fc ＝ 0.5 ⋅ f'c

. Esta condicion tambien se denomina

tension admisible del hormigon en compresion

fc ≔ 0.5 ⋅ f'c = 125

εc ≔

fc Ec

= 5.24 ⋅ 10

εs( k)) ≔ εc ⋅

tension de compresion en

2

fibra mas comprimida

−4

deformacion en fibra de hormigon mas comprimida (ley de Hooke)

( d − k ⋅ d)) k⋅d

deformacion en el acero traccionado en funcion de k

fs (k )≔ Es ⋅ εs ( k)

tension en el acero traccionado en funcion

1 Cc( k)) ≔ ⋅ fc ⋅ k ⋅ d ⋅ b w 2

fuerza de compresion en el hormigon

Ts( k) ≔ As ⋅ fs (k)

fuerza de traccion en el acero en

de k

en funcion de k

Valores de prueba

k ≔ 0.1

Solver Restricciones

funcion de k

Cc (k))＝ Ts ( k))

k≔

( )

k = 0.325

k ⋅ d = 17.899

profundidad del eje neutro (medido desde arriba)

εs ≔ εs ( k) = 1.09 ⋅ 10

−3

fs ≔ fs( k)) = 2278.972

deformacion en acero traccionado

2

tension en acero traccionado

Cc ≔ Cc (k ) = 33560.635

fuerza de compresion en hormigon

Ts ≔ Ts (k)) = 33560.635

fuerza de traccion en acero

⎛ d⎞ Madm ≔ Cc ⋅ d − k ⋅ = 1645600.924 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ Φadm ≔

εc k⋅d

−5 = ⎛⎝2.93 ⋅ 10 ⎞⎠

⋅

momento admisible de la seccion, para el cual ambos

1

materiales estan en rango lineal y

curvatura admisible

elastico

El diagrama momento curvatura de la viga, que toma en cuenta los 2 ultimos casos, tiene la siguiente forma:

⎡ 0 ⎢ Φcr Φ ≔ ⎢ Φadm ⎢ Φy ⎢ ⎣ Φult

⎤ ⎥ ⎥= ⎥ ⎥ ⎦

⎤ ⎡0 ⎢4.65 ⋅ 10 −4 ⎥ ⎢ −3 ⎥ 1 ⎢2.93 ⋅ 10 ⎥ −3 ⎢5.49 ⋅ 10 ⎥ ⎢⎣2.61 ⋅ 10 −2 ⎥⎦

⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ Mcr ⎥ ⎢ 7.429 ⎥ M ≔ ⎢ Madm ⎥ = ⎢ 18.14 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 33.277 ⎥ My ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Mn ⎦ ⎣ 34.162 ⎦

⋅

35 31.5 28 24.5 21 17.5

M (

14 10.5 7 3.5 0 0

0.003

0.005

0.008

0.01

0.013

Φ

0.015

0.018

0.02

0.023

0.025

0.028

⎛1 ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠

Un parametro interesante de calcular es la ductilidad de curvatura, definida por :

μΦ ≔

Φult Φy

es conveniente que las vigas tengan

= 4.758

ductilidades de curvatura lo mas grandes posibles, para evitar fallas fragiles

⋅

)

TAREA: REPETI R EL EJERCI CI O PARA LAS SI GUI ENTES VI GAS...