Ejercicios de Áreas PDF

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Ejercicios resueltos de áreas...

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1º.- Deducir la fórmula para calcular el área de un trapecio en función de sus lados paralelos y la altura. Si cogemos un trapecio cualquiera, podemos observar que es la mitad de un paralelogramo, por lo que su área será la mitad de la del paralelogramo, es decir, la semisuma de las bases por su altura: A=

(𝑏+𝑏) 2

·𝑎

2º.- Deducir la fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero en función de su lado. Para calcular el área del triángulo, necesitamos conocer su base y su altura; la base del triángulo es su lado, l, y su altura se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras: 𝑙2 =

𝑙 2

2

+ ℎ2  h =

3 2

𝑙 Atriángulo =

𝑏·ℎ 2

=

𝑙·

3 𝑙 2

2

=

3 2 𝑙

4

3º.- Calcular la superficie total de una pirámide hexagonal regular cuya arista básica mide 2 cm y tiene de altura 7 cm.

b

En este dibujo puede verse con claridad todas las medidas que vamos a necesitar para realizar el ejercicio y la relación entre ellas.

Una pirámide hexagonal regular está compuesta por una base hexagonal formada por 6 triángulos equiláteros cuya área puede calcularse a partir de la fórmula del ejercicio anterior, es decir: 𝑙

3 2

Abase = 6 ·

4

=6·

· (2𝑐𝑚)2 = 6 3 𝑐𝑚2

3 4

Ahora tenemos que hallar el área lateral de la pirámide, que está formada por 6 triángulos isósceles, de base 2 cm y cuya altura desconocemos; para ello debemos calcular primero la arista lateral de la pirámide, utilizando el teorema de Pitágoras: 𝑏2 =

7 𝑐𝑚

2

+

2 𝑐𝑚

= 53 𝑐𝑚 2  𝑏 =

2

53𝑐𝑚

Y ahora podemos calcular la altura, ap, de cada uno de nuestros triángulos, volviendo a utilizar Pitágoras: b2 = ap2 +

𝑎 2 2

 53𝑐𝑚 = 𝑎2𝑝 + (1𝑐𝑚)2  ap = 52𝑐𝑚 2

El área lateral de los seis triángulos isósceles sería: 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 6 · 𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 6 ·

2𝑐𝑚 ·

52𝑐𝑚 2

= 6 52 𝑐𝑚2

Si sumamos el área lateral al área de la base, ya tenemos el área de nuestra figura: Atotal = 6 3 𝑐𝑚2 + 6 52 𝑐𝑚2 = 6

3+

52 𝑐𝑚2 = 53,66 𝑐𝑚2

4º.a) b) c) d) e)

¿Cuántos cm2 son 40 m2? 400.000 cm2 ¿Cuántos m2 son 500 mm2? 0,000500 m2 ¿Cuántos dm2 son 7 km2? 700.000.000 dm2 ¿Cuántos hm2 son 24 dam2? 0,24 hm2 ¿Cuántos mm2 son 0,125 hm2? 1.250.000.000 mm2

5º.- Calcular el área de los siguientes paralelogramos:

A = b · h = 24 u · 16 u = 384 u2

A = b · h = l2 = (11 u)2 = 121 u2

A = b · h = 30 u · 18 u = 540 u2

A=

𝐷·𝑑 2

=

24 𝑢·16 𝑢 2

= 192 u2

6º.- Calcula el área de los siguientes cuadriláteros:

A=

A=

(𝐵+𝑏) 2

·ℎ =

(𝐵+𝑏) ·ℎ 2

=

(35 𝑢+7 𝑢 ) 2

· 21 𝑢 = 441 𝑢2

(12 𝑢+8 𝑢 ) 2

· 12 𝑢 = 120 𝑢2

Apatio = b · h = 10 m · 12 m = 120 m2 Abaldosa = l2 = (30cm)2 = 900 cm2 Para calcular las baldosas necesarias, hay que dividir el área total del patio entre el área de una baldosa, pero para ello las dos áreas deben estar en las mismas unidades. 900 cm2 = 0,09 m2 𝐴𝑝𝑎𝑡𝑖𝑜

nº baldosas = 𝐴

Avela =

𝑏·ℎ 2

Acometa =

=

𝐷·𝑑 2

𝑏𝑎𝑙𝑑𝑜𝑠𝑎

4𝑚 ·8𝑚 2

=

=

120 𝑚 2 0,09 𝑚 2

16 𝑚2 

393 𝑐𝑚 ·205 𝑐𝑚 2

= 1.333, 3  se necesitarían 1.334 baldosas.

21 € 𝑚2

· 16 𝑚2 = 336 €

= 40.282,5 𝑐𝑚2

Arectángulo = b · h = 393 cm · 205 cm = 80.565 cm2

Atriángulo =

𝑏·ℎ 2

=

173 𝑐𝑚 ·266 ,21 𝑐𝑚 2

= 23.027,165 𝑐𝑚2

Asombrilla = 10 · Atriángulo = 230.211,65 cm2 Atotal = 36 · 230.211,65 cm2 = 8.289.779,4 cm2

Atriángulo =

𝐴ℎ𝑒𝑥 á𝑔𝑜𝑛𝑜 6

=

166,27 𝑚 2 6

= 27,71 𝑚2  𝐴𝑡𝑟𝑖 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =

𝑏·ℎ 2

 27,71 m2 =

8 𝑚 ·ℎ 2



h = 6,93 m (la altura del triángulo es la apotema del hexágono)

Acírculo = πr2 = π· (7cm)2 = 153,94 cm2 El área de la figura naranja es el área de un semicírculo, puesto que en un círculo caben dos figuras naranjas, así que: Afigura = 76,97 cm2

Arectángulo = b · h = 1,6 m · 3,2 m = 5,12 m2 Prectángulo= 1,6 m + 3,2 m + 3,2 m = 8 m (uno de los lados del rectángulo, el paralelo a la base, no pertenece a la ventana, por lo que no se tiene en cuenta) Asemicírculo =

𝜋𝑟 2 2

=

𝜋· 0,8 𝑚 2 2

= 1 𝑚2

Psemicircunferencia= π· r = π · 0,8 m = 2,51 m Atotal = 5,12 m2 + 1 m2 = 6,12 m2 Ptotal = 8 m + 2,51 m = 10,51 m

Si se quiere conservar el pino que hay en el centro de la finca, la piscina no puede tener más de 25 m de diámetro, y por lo tanto 12,5 m de radio. La superficie de finca que queda disponible será la diferencia entre el área de la finca y el de la piscina. Afinca = πr2 = π · (25m)2 = 1.963,5 m2 Apiscina = πr2 = π · (12,5m)2 = 490,87 m2 A = 1.963,5m2 – 490,87m2 = 1.472,63 m2

Los 60 minutos del reloj es una vuelta completa, por lo que desde las 3:20 a las 4:00 pasan 40 minutos, es decir, 2/3 de vueltas, por lo que la aguja de los minutos recorre un área equivalente a un sector circular de 2/3 del área de una circunferencia. 𝐴 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟𝑜 =

2 2 2 𝜋𝑟 = 𝜋 · (4𝑐𝑚)2 = 33,51 𝑐𝑚2 3 3

En ese mismo tiempo, la aguja horaria recorre la doceava parte del área recorrida por la aguja de los minutos, es decir,

2/3 12

=

1 18

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 =

1 1 𝜋 3𝑐𝑚 𝜋𝑟 2 = 18 18

2

= 1,57 𝑐𝑚 2

Abase = l2 = (15cm)2 = 225 cm2 Es necesario calcular la altura de los 4 triángulos isósceles laterales, que tienen 15 cm de base y sus dos lados iguales miden 25 cm; para ello, los dividimos en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras: (25cm)2 = (7,5cm)2 + h2  h = (25𝑐𝑚)2 − (7,5 𝑐𝑚)2 = 23,85 cm Alateral = 4 ·

𝑏·ℎ 2

=4·

15 𝑐𝑚 ·23 ,85 𝑐𝑚 2

= 715,5𝑐𝑚2

Atotal = 225 cm2 + 715,5 cm2 = 940,5 cm2

10 cm 15 cm

20 cm

La base mayor es un triángulo equilátero de lado 20 cm, por lo que su área será: A=

3 2 𝑙 4

=

3 4

(20 𝑐𝑚)2 = 173,21 𝑐𝑚2

La base menor es otro triángulo equilátero, de lado 10 cm, que se calcula con la misma fórmula: A=

3 4

𝑙2 =

3 4

(10 𝑐𝑚)2 = 86,6 𝑐𝑚2

Las caras laterales son tres trapecios, cuya base mayor es 20 cm y su base menor 10 cm, pero de los que no conocemos la altura, que se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras: 10 cm h

h=

15 cm

15 𝑐𝑚

h = 14,14 cm

20 cm

El área total de los tres trapecios, y por tanto, el área lateral será: A=3·

(𝑏+𝑏) 2

·ℎ=3·

20 𝑐𝑚 +10 𝑐𝑚 2

· 14,14 𝑐𝑚 = 424,2 cm2

El área total será la suma de todas las áreas anteriores: Atotal = 173,21 cm2 + 86,8 cm2 + 424,2 cm2 = 684,21 cm2

Alateral = πrg = π· (16 cm) · (30 cm) = 1.507,97 cm2 Abase = πr2 = π · (16 cm)2 = 804,25 cm2 Atotal = 1.507,97 cm2 + 804,25 cm2 = 2.312,22 cm2

2

−

5𝑐𝑚

2

La figura está formada por tres tipos de figuras geométricas, triángulos (seis), rectángulos (seis) y un hexágono, por lo que para calcular el área de la figura necesitamos calcular el área de todas ellas. Área de los triángulos Para calcularla necesitamos calcular previamente su altura, utilizando el teorema de Pitágoras: (40cm)2 = h2 + (15cm)2  h = 37,08 cm Atriángulo =

𝑏·ℎ 2

=

30 𝑐𝑚 · 37,08 𝑐𝑚 2

= 556,2 𝑐𝑚2  Atotal triángulos = 6 · 556,2 cm2 = 3.337,2 cm2

Área de los rectángulos Arectángulo = b · h = (20cm) · 12 cm = 240 cm2  Atotal rectángulos = 6 · 240 cm2 = 1.440 cm2 Área del hexágono Ahexágono = 6 ·

𝑙

3 2 4

=6·

3 4

30𝑐𝑚

2

= 2.338,27 𝑐𝑚 2

Atotal = 3.337,2 cm2 + 1.440 cm2 + 2.338,27 cm2 = 7.115,57 cm2

De los cubos pequeños, debemos tener en cuenta solo 5 caras pues la sexta es por la que están unidos al cubo grande; como hay 6 cubos pequeños y cada uno tiene 5 caras, el área total que aportan estos cubos será: A = 6 · 5 · (13cm)2 = 5.070 cm2

Tenemos 6 cubos grandes, que cada uno posee un área de (3· 13 cm)2 = 1.521 cm2, pero a esa área total debemos quitarle 6 caras de cada uno de los cubos pequeños que están unidos a ellos, es decir, 6 · (13cm)2 = 1.014 cm2. Por tanto, el área total de nuestra figura será: 5.070 cm2 + 6 · 1.521 cm2 – 1.014 cm2 = 13.182 cm2

Para construir la lata necesita metal suficiente para toda el área del cilindro, mientras que para poner la etiqueta, el papel sólo debe cubrir el área lateral; por tanto: Abase = πr2 = π · (8,4 cm)2 = 221,67 cm2 Alateral = b · h = 2πrh = 2π· (8,4 cm) · (16,6 cm) = 876,13 cm2

Cantidad de metal = 2 · 221,67 cm2 + 876,13 cm2 = 1.319,47 cm2 Cantidad de papel = 876,13 cm2

Para calcular el área de la flecha debemos calcular el área de cada triángulo, que es la misma, y multiplicamos por dos; al tratarse de triángulos rectángulos, ya tenemos la base y la altura de cada uno de ellos, puesto que la base y la altura deben formar un ángulo de 90°: 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 · 𝐴𝑡𝑟𝑖 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 2 ·

𝑏·ℎ = 𝑏 · ℎ = 7 𝑐𝑚 · 24 𝑐𝑚 = 168 𝑐𝑚 2 2

a= 1u+3u=4u

b=1u+2u =3

c=2u+3u=5u

El ángulo formado entre los lados a y b es recto, así que el área del triángulo será: 𝐴=

𝑏·ℎ 3𝑢·4𝑢 = = 6𝑢2 2 2...