Ejercicios DE Bernoulli- Parte 2 PDF

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Ejercicios DE Bernoulli- SEMANA3...

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1) Por un tubo en forma horizontal circula agua con caudal de 10m3/s. Inicialmente la superficie del tubo es 2m2 y la sección va disminuyendo hasta alcanzar un área de 1m2. La densidad del agua es 1000m3/s. a) Cuál es la velocidad del agua al ingresar al tubo. b) Cuál es la diferencia de presión entre las dos secciones. c) En que sección del tubo es mayor la presión.

SOLU SOLUC CION a) Qe= Se*ve 10m3/s= 2m2*ve

ve= 5m/s b) Ahora hallaremos la velocidad de salida, necesaria para encontrar la diferencia de presiones: Vs=Qs/s Vs=10/1 Vs= 10m/s

c) La presión a la entrada es mayor que a la salida porque a la entrada la velocidad es menor (La sección a la entrada es mas grande ), y como la velocidad es menor, la presión será mayor.

2) Un líquido de densidad 1,2 g/cm3 ó 1,2 X 103 kg/m3 fluye como muestra la figura: Calcular: a) La velocidad de salida del líquido. b) La cantidad de líquido que sale por segundo c) La velocidad del líquido en la sección 3. d) La presión en la sección 3. e) La diferencia de altura entre las columnas de mercurio del tubo en U.

SOLU SOLUC CION a) Velo Velocid cid cidad ad de sal salid id ida ad del el lí líqui qui quido do do: Planteemos la ecuación de Bernoulli entre las secciones (1) y (2): p Se tiene que el término horizontales es 0.

en la sección 2 es 0 porque la altura h en tubos

Ahora tenemos que presión atmosférica, ya que inicialmente está en reposo y empieza a salir a una velocidad mínima que odemos tomarla como despreciable y la densidad es la misma, entonces podemos eliminarlos de la ecuación:

. canti nti ntida da dad d de líq líquid uid uido oq qu ue ssale ale p por or se segundo gundo es b) La ca

La superficie o área de un círculo (forma de la boca del tubo) es , y el diámetro del tubo en la sección 2, que es el de salida es 8 cm r=D/2 por tanto r=4 cm=0.04 m:

C) Velo elocid cid cidad ad d del el llíq íq íquido uido en la ssecc ecc ecció ió ión n3 3: Por la ecuación de continuidad, tenemos:

d) La pr presi esi esión ón en la ssecc ecc ecció ió ión n 3: Planteemos la ecuación de Bernoulli entre las secciones (2) y (3):

Organizando términos y factorizando términos semejantes obtenemos:

Como realizamos la diferencia de presiones tenemos la presión manométrica. Como nos piden la presión en 3 (presión absoluta), recordemos que

.

Diferenc enc encia ia de altur altura a eentre ntre la lass ccolum olum olumnas nas de m mer er ercur cur curio io io:: e) Difer Observando la gráfica podemos deducir que Las secciones que afectan la entrada y salida del tubo de mercurio (Hg) son 3) y 2). Recordando que los términos en ambos lados de la igualdad en la ecuación de bernoulli deben ser constantes (lección 9) tenemos:

El valor

lo hallamos en el punto anterior, y el valor de la gravedad se

toma negativo y lo aproximamos a :

3) En un torrente de agua se sumergió un tubo doblado, según como se muestra en la figura. La velocidad de la corriente con respecto al tubo es 2.5 / . La parte superior del tubo se encuentra a 12 0 sobre el nivel del agua del torrente y tiene un pequeño agujero. ¿A qué altura subirá el chorro de agua que sale por el agujero?

4) El radio de un cilindro circular recto mide 3.06 y su altura 6,12m. El cilindro que se llena con agua tiene en su base un pequeño orificio circular de 25.5 de diámetro. ¿Cuánto tardará en salir toda el agua? a) Si v= (2𝑔ℎ)1/2 b) v= 0,6(2𝑔ℎ)1/2

5) Una tubería de 15cm de diámetro transporta 80L/s. La tubería se ramifica en otras dos, una de 5cm y otra de 10cm de diámetro. Si la velocidad en la tubería de 5cm es de 12m/s. ¿Cuál es la velocidad en la tubería de 10cm? SOLU SOLUC CION

6) En la figura, el fluido es agua y descarga libremente a la atmósfera. Para un flujo másico de 15 kg/s, determine la presión en el manómetro.

Aplicando la e.c de Bernoulli entre 1 y 2 tenemos

7) El tanque de una poceta tiene una sección rectangular de dimensiones 20cmx40cm y el nivel del agua está a una altura h = 20 cm por encima de la válvula de desagüe, la cual tiene un diámetro d2 = 5 cm. Si al bajar la palanca, se abre la válvula: a) ¿Cuál será la rapidez inicial de desagüe por esa válvula en función de la altura de agua remanente en el tanque? b) ¿Cuál es la rapidez inicial de desagüe? No desprecie la velocidad en la superficie del tanque.

Aplicando la ecuación de Bernoulli

Calculamos la rapidez:

8) Un único caño que cambia de altura y de sección

Por una tubería con un área de la sección transversal de 4,2 cm^2 circula el agua a una velocidad de 5,18 m/s. El agua desciende gradualmente 9,66 m mientras que el área del tubo aumenta a 7,6 cm^2. a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel inferior? b) La presión en el nivel superior es de 152 kPa; halle la presión en el nivel inferior. Hagamos un esquema de la situación, ubicando los datos que tenemos. Notar que los 9,66 m mencionados son una diferencia de altura (se toma verticalmente) y no una distancia, ya que nos dicen que el agua desciende 9,66 m.

a) Como tenemos como dato la velocidad en una de las secciones y nos piden la velocidad en la otra, y como también conocemos las dos secciones, entonces podemos resolver este punto planteando la conservación del caudal: Qentrante = Qsaliente vA . SA = vB . SB 5,18 m/s . 4,2 cm^2 = vB . 7,6 cm^2 Despejamos vB:

vB = 5,18 m/s . 4,2 cm^2 / 7,6 cm^2 -> vB = 2,86 m/s

b) Nos piden la presión en el nivel inferior, o sea en B. Entonces planteamos el teorema de Bernoulli entre los puntos A y B:

Reemplazamos los datos, usando que la densidad es la del agua (1000 kg/m^3). Por comodidad, tomamos como cero la altura en el punto más bajo de los dos (en este problema, el B), así que el otro punto (en este problema, el A) queda con una altura positiva de 9,66 m:

152000 Pa + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (5,18 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 9,66 m = pB + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (2,86 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0 m Despejando pB, y haciendo los cálculos, se llega a: pB = 257926,4 Pa 9) Caso de un caño que se ramifica en varios caños iguales Un fluido no viscoso se mueve a 10 cm/seg por un tubo horizontal de 1 cm de radio, cuya presión interior es de 10 Pa. Luego el tubo se ramifica en varios tubos horizontales de 0,5 cm de radio cada uno. Sabiendo que la densidad del fluido es de 2 kg/lt y que la velocidad en cada tubo de la ramificación es de 8 cm/seg: a) Determinar en cuántos tubos se ramificó el tubo original. b) Calcular la presión en cada uno de los conductos luego de la ramificación. Asumiremos que todos los caños, que son horizontales, se encuentran al mismo nivel. El esquema de los caños es, "visto desde arriba":

Como tenemos el radio del tubo de entrada, y de cada uno de los de salida, y las velocidades en los caños, podemos relacionar estos datos para plantear la igualdad entre el caudal entrante y el saliente:

Qentrante = Qsaliente El caudal entrante es el caudal que pasa por el caño donde está el punto A:

Qentrante = vA . SA El caudal saliente es la suma de todos los caudales en las ramificaciones 1, 2.... hasta X. Como todos los caños de la ramificación son iguales, y la velocidad en todos ellos es la misma (dato), entonces el caudal por cada caño de la ramificación será el mismo... por lo cual el caudal saliente total, va a ser el caudal que pasa por UNO de los caños de la ramificación, multiplicado por la cantidad de caños (que llamaremos X). Entonces:

Qsaliente = X . vB . SB Igualando el caudal entrante con el saliente, queda:

vA . SA = X . vB . SB 10 cm/s . π . (1 cm)^2 = X . 8 cm/s . π . (0,5 cm)^2 Simplificando y despejando X, queda:

X = 5. Así que, el tubo original se ramificó en 5 tubos. (Respuesta a)) b) Se pide la presión en uno de los tubos de la ramificación. Para eso, planteamos el teorema de Bernoullli entre A y B:

Como todo el sistema se encuentra a un mismo nivel, entonces HA = HB = 0. Las velocidades vA y vB se conocen, la densidad también, y pA también, siendo pB la incógnita. Reemplazamos todo: 10 Pa + (1/2) . 2000 kg/m^3 . (0,1 m/s)^2 = pB + (1/2) . 2000 kg/m^3 . (0,08 m/s/s)^2 10 PPaa + 110 0 PPaa = pB + 6, 6,4 4 Pa pB = 13,6 Pa Respuesta b) Notar que, si planteáramos Bernoulli entre el caño principal y otro de los tubos de la ramificación, obtendríamos la misma presión ya que en todos los tubos de la ramificación la velocidad es la misma, y entonces la ecuación de Bernoulli quedaría con los mismos números.

10) Caso de un caño que se ramifica en dos caños de sección diferente

"Dos caños de igual longitud, apoyados en una misma superficie horizontal, están conectados como indica la figura. La sección del tubo [1] es de 6 mm^2, el del [2] es 2 mm^2 y el del tubo [3] es 3 mm^2. Por el conjunto circula un líquido no viscoso y la presión en A es la misma que en B. Si por el tubo [2] circula un caudal de 10 ml/seg, ¿cuánto vale el caudal por [1]?

Podemos plantear la conservación del caudal: Qentrante = Qsaliente

Es decir: Q1 = Q2 +Q3 Q1 = 10 ml/seg + Q3

No conocemos ni Q1, ni Q3, ni las velocidades en 1 ni en 3... así que por el momento dejamos a esa ecuación así. Por otra parte, en A podemos conocer la velocidad, ya que tenemos el caudal en [2] y su sección: Q2 = vA . S2 --> vA = Q2/S2 --> vA = 10 ml/seg / 2 mm^2 = 5 . 10^(-6) m^3/ [10^(6) m^2 . seg ] --> vA = 5 m/s m/seg eg Pero todavía no conocemos la velocidad en B. Como además tenemos un dato sobre las presiones (pA = pB para los puntos indicados en la figura), vamos a plantear el Teorema de Bernoulli para poder usar ese dato.

11) 11)En la figura adjunto se muestra una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque, A, que tiene un diámetro de 120 cm,

el cual a su vez descarga a través de una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular: a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza. b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B. c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B. Solución

1 h

A

1

2

h1 3

h2

B

h3

Inciso a) Aunque la ecuación para la velocidad de descarga de un tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya, lo haremos nuevamente para recordar el procedimiento. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 (carga) y 2 (descarga), se tiene: 1 1 d) 𝑃1 + 2 𝜌𝑣12 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 2 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔ℎ2 (1) Es un hecho que el área de sección transversal del tanque, A 1, es mucho mayor que el área de descarga en el punto 2, A2, y de acuerdo con la ecuación de continuidad la velocidad de desplazamiento del nivel de líquido en el tanque, v1, será mucho menor que la velocidad de descarga del fluido, v2, resultando que despreciable la primera, por lo que la ecuación de Bernoulli se reduce a:

𝜌𝑔ℎ1 =

1 2 𝜌𝑣 + 𝜌𝑔ℎ2 2 2

(2)

En donde hicimos P1 = P2 = PATM y v1 = 0. Despejando v2 de la ecuación 2, obtenemos: 𝑣2 = √2𝑔∆ℎ 1

(3)

– h2.

Aplicando la condición de equilibrio que sucede cuando

Q1=Q2=A2v2

tanque.

(4)

Finalmente, ∆ℎ

=

𝑄12 2𝑔𝐴22

(0.8𝑥10−3 𝑚 3 ⁄𝑠 )2

= (2𝑥9.8𝑚 ⁄ 2 )𝜋(0.00635𝑚2 )2 = 2.03 𝑚 𝑠

Inciso b) Calcularemos ahora la velocidad con la que el agua que descarga por el punto 2 llega a la boca del tanque identificada con el punto 3. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3, obtenemos: 𝑃2 − 𝑃3 =

1 𝜌(𝑣32 − 𝑣22 ) + 𝜌𝑔(ℎ3 − ℎ2 ) 2

Con P2 = P3 = PATM y sustituyendo v2 de la ecuación (3), la ecuación anterior queda: 1 0 = 𝜌(𝑣32 − 2𝑔∆ℎ) − 𝜌𝑔(ℎ2 − ℎ3 ) 2 Despejando v3: 𝑣3 = √2𝑔[∆ℎ + (ℎ2 − ℎ3 )] = √2𝑥9.8 𝑚 ⁄𝑠2 [2.03𝑚 + 0.9𝑚] = 7.57 𝑚⁄𝑠

Inciso c) El tiempo de llenado del tanque B, se calcula a partir de la definición de gasto: Q = V/t en m3/s. Donde V es el volumen del tanque y Q es el gasto de descarga (mismo que el de carga). Por lo tanto el tiempo de llenado del tanque es: 𝑡=

𝑉 𝜋(0.30𝑚)2 𝑥0.90𝑚 = = 318𝑠 = 5.3𝑚𝑖𝑛 𝑄 0.8𝑥10−3 𝑚3 ⁄𝑠

12)Por un tubo de Vénturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo?

H

1

2 Figura ejemplo 2

Solución. El gasto de agua que circula a través del tubo de Vénturi está representado por la ecuación de continuidad: 𝑄 = 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2

13)

14)

15)

16) A través de una tubería de 15 cm de diámetro fluye agua a una presión de 4,20 kg/cm2. Suponiendo que no hay pérdidas, ¿Cuál es el caudal si en la reducción de 7.5cm de diámetro la presión es de 1.40 kg/cm2?

17) Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9𝑚3 /𝑚𝑖𝑛, como se muestra en la figura. En a el diámetro es de 30cm y la presión es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de 15cm y que el centro de la tubería se halla 50cm más abajo que en a?

18) Un fluido incomprensible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilíndrico como el que se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 105 𝑎𝑡𝑚/𝑚3 . Su velocidad en el extremo de entrada es de 𝑣0 = 1.5 𝑚/𝑠 y la presión allí es de 𝑃0 = 1.75Kgf/cm2, y el radio de la sección es 𝑟0 = 20𝑐𝑚. El extremo de salida está 4.5m abajo del extremo de entrada y el radio de la sección allí es 𝑟1 = 7.5𝑐𝑚. Encontrar la presión 𝑃1 en ese extremo.

19)

20)...