Ecuación diferencial de Bernoulli PDF

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Ecuación diferencial de Bernoulli...

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL DE PANAMÁ OESTE FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PROFESORA: DEYANIRA FORERO TEMA: ECUACIONES DE BERNOULLI La ecuación

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝐺(𝑥)𝑦 𝑛 ,

donde P y G son funciones de x solamente y n ≠ 0, 1, se le llama ecuación diferencial de Bernoulli. Si n = 0 y n = 1, la ecuación es lineal. Esta ecuación se reduce a una ecuación lineal aplicando la sustitución

𝑣 = 𝑦 1−𝑛 .

Método: 1. Se escribe la ecuación diferencial en la forma estándar 2. Se utiliza la sustitución

𝑣 = 𝑦 1−𝑛 , se despeja y

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝐺(𝑥)𝑦𝑛 𝑑𝑦

y se determina su derivada 𝑑𝑥

3. Se reemplaza estas sustituciones en la ecuación diferencial para reducirla a una ecuación lineal. 4. Se resuelve la ecuación lineal. EJEMPLOS:

1)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

− 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦2

n = 2, 𝑣=

1 𝑦

𝑣 = 𝑦1−2 = 𝑦 −1

Despejamos 𝑦 =

1 𝑣

Derivamos 𝑑𝑦 = −

1

𝑣2

𝑑𝑣

Reemplazamos en la ecuación diferencial Multiplicamos por -v2 lineal en la variable v

𝑑𝑣

𝑑𝑥

1

− 2𝑑𝑣 𝑣 𝑑𝑥

+ 𝑣 = −𝑒 𝑥

−

1

𝑣

=

2 𝑥 1) 𝑒 (𝑣

la ecuación resultante es

Identificamos 𝑃(𝑥) = 1 y calculamos 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ Multiplicamos toda la ecuación por este factor integrante : 𝑒 𝑥

𝑑𝑥

= 𝑒𝑥

𝑑𝑣 𝑥 2𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒 𝑣 = −𝑒

El primer miembro de la ecuación resultante es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, es decir,

𝑑 [𝑒 𝑥 ∙ 𝑣 ] = −𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

Integramos ambos miembros 𝑑[𝑒 𝑥 ∙ 𝑣] ∫ = − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 𝑒 𝑥 𝑣 = − 𝑒 2𝑥 + 𝑐 2

Obtenemos la solución despejando v:

1

Sustituimos 𝑣 =

𝑣 = − 2 𝑒 𝑥 + 𝑐𝑒 −𝑥

1

1

𝑦

𝑦

𝑦=

Despejamos y 2) 𝑥𝑦(1 + 𝑥𝑦 2 )

3) 𝑥 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥

=

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 1, 𝑦(1) = 0

− 2𝑥𝑦 − 3𝑦 4 , 𝑦(1) =

1

2

−𝑒 𝑥 + 2𝑐𝑒 −𝑥 2 2

𝑐𝑒 −𝑥 − 𝑒𝑥

solución general de la ecuación

PRACTICA # 7 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales...