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Universidad Nacional del Nordeste Instituto de Ciencias Criminalísticas y Criminología

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Definición: Llamaremos diferencial de una función, y = f(x), y lo designaremos con dy, al producto de la derivada de la función, y’, por el incremento de la variable independiente, Δx. En símbolos:

𝒅𝒚 = 𝒚′ . ∆𝒙 Análisis gráfico de la expresión del diferencial: Analicemos los siguientes casos:

Imagen extraída del libro “Elementos de cálculo diferencial e integral”, cuyos autores son: Sadosky y Guber.

Puesto que la derivada y’ mide la tangente trigonométrica del ángulo φ que forma la recta tangente con el semieje positivo de las x, resulta, con las notaciones de la figura anterior.

𝒚′ = 𝒕𝒈 𝝋 =

𝑺𝑹 𝑷𝑹

=

𝑺𝑹 ∆𝒙

o sea,

𝑺𝑹 = 𝒚′ . ∆𝒙 Consecuentemente el segmento SR es el diferencial de la función. Como se ve en la figura el diferencial de la función puede ser mayor, menor o igual que el incremento de la función, QR = Δy.

Matemáticas 2 Profesor: Ing. Jorge Isaac Molina

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Universidad Nacional del Nordeste Instituto de Ciencias Criminalísticas y Criminología A pesar de esto, se puede demostrar que, en el límite, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero, ambos, dy y Δy, son infinitésimos equivalentes. Es decir que el cociente entre ambos tiende a la unidad: 𝒅𝒚

∆𝒙 → 𝟎 ⟹

∆𝒚

→𝟏

Demostración: 𝒅𝒚 ∆𝒚

=

𝒚′ .∆𝒙 ∆𝒚

=

𝒚′ ∆𝒚 ∆𝒙

En el límite cuando Δx tiende a 0:

𝒍𝒊𝒎

∆𝒙→𝟎

𝒚′ ∆𝒚 ∆𝒙

𝒚′

= 𝒚′ = 𝟏

La derivada como cociente de diferenciales Por definición:

𝒅𝒚 = 𝒚′ . ∆𝒙 Entonces:

𝒅(𝒔𝒆𝒏 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙. ∆𝒙 𝒅(𝒙𝟑 ) = 𝟑 𝒙𝟐 . ∆𝒙 𝒅(𝒙) = 𝟏. ∆𝒙 = ∆𝒙 Esta última identidad permite reemplazar en la definición de diferencial a Δx por dx, con lo que resulta:

𝒅𝒚 = 𝒚′ 𝒅𝒙 o sea:

𝒚′ =

𝒅𝒚 𝒅𝒙

A esta expresión algebraica llamaremos “derivada como cociente de diferenciales”.

Matemáticas 2 Profesor: Ing. Jorge Isaac Molina

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