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Ejercicios de derivación de cálculo...

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Julián Moreno Mestre www.juliweb.es

Academia las Rozas www.academialasrozas.com

Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f (x ) = k → f ' ( x ) = 0

f ( x ) = ax → f ' ( x) = a

f (x ) = ax n → f ' ( x ) = anx n −1

f ( x ) = u ( x ) + v ( x ) → f ' ( x) = u '+ v'

Ejemplos: f (x ) = 4 → f ' (x ) = 0

f ( x) = x → f ' ( x) = 1

f ( x) = 3 x 2 → f ' ( x) = 6 x

f (x ) = x 4 + 4 → f ' ( x) = 4 x 3 9x 8 7 x 6 x9 x 7 f ( x) = − → f '( x) = − 7 7 5 5

f ( x ) = 3x 5 − x 3 → f ' ( x) = 15 x 4 − 3 x 2

Ejercicios:

1º Derive las siguientes funciones polinómicas: x b) f ( x) = + 7 x4 a) f ( x) = x 3 + 5 x 20 + 2 x 5 2 d) f ( x ) = x + 4 e) f ( x ) = 6 x 7 + 5x 2 + 5

5x 6 − 3x 5 − 2 6 j) f ( x) = x − 2 + 4 x − 5 5 4 m) f ( x ) = + x 5 Sol: g) f ( x) =

x4 + x5 − 2 x 2 4 k) f ( x) = x −1 − x −2 1 5 n) f ( x) = 3 + 2 x x

h) f ( x) =

x4 − 3 x 4 5 f) f (x ) = 4x + x 3 + 4 c) f ( x) =

i) f (x ) = π x 2 + 3x 3

l) f ( x) = x −4 + 2 x −3 1 1 ñ) f ( x) = 2 + 10 x x 3 4

d) f ' ( x) = 2 x

1 b) f '( x) = + 28 x3 5 e) f '( x) = 42 x6 +10 x

g) f '( x) = 5 x 5 −15 x 4 − − j) f '(x ) = − 2x 3 − 20x 6

h) f '( x) = x3 + 5 x4 − 4 x − − k) f '( x) = − x 2 + 2 x 3

f) f ' ( x) = 20 x 4 + 3 x 2 i) f '( x) = 2 π x + 3 3 x 2 − − l) f '( x) = −4 x 5 − 6 x 4

− m) f ' ( x) = −5 x 2

− − n) f '( x) = −3 x 4 − 10 x 3

− − ñ) f '(x ) = − 2x 3 − 10x 11

a) f '( x ) = 3x 2 + 100 x 19 + 2

2º Derive, con un poco de ingenio, las siguientes funciones: a) f ( x) = 7 x 5/ 4 − 8 x1/ 2 b) f ( x ) = x 2 / 3 + 4 x 5 / 4

d) f ( x) = x 2 + 5 x

e) f ( x) = −2 7 x2 + 9 x2

c) f '( x) = x 3 −

c) f ( x) = 3 x1/ 3 + 4 x1/ 4 f) f ( x) =

3 4 5

x

Sol:

35 1/ 4 x + 4 x − 1/ 2 4 x −4 / 5 d) f ' ( x) = 1 + 5

a) f '( x) =

2 −1/ 3 c) f '( x) = − x− 2 / 3 + x− 3 / 4 x + 5 x1/ 4 3 4 x−5 / 7 2 x− 7 / 9 x −119/120 + f) f '(x ) = e) f '( x) = − 120 7 9

b) f '( x) =

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Derivación de potencias de funciones Reglas de derivación. f (x ) = au n → f ( x) = anu ' u n −1

Ejemplos: f (x ) = ( x2 + x ) → f '(x ) = (6x + 3) (x 2 + x ) 3

2

f ( x) = (3x + x2 )100 → f '( x ) = 100(3 + 2 x )(3x + x 2 )99 f ( x ) = ( x3 + x2 + 1)6 → f '( x ) = 6·(3x2 + 2x )·(x3 + x 2 + 1)5 f ( x ) = (4 x 3 + 5x 2 + 7)15 → f '( x ) = 15·(12 x 2 + 10x )·(4x 3 + 5x 2 + 7)15

( x + 4 x + 6) f ( x) = 5

3

14

→ f '( x) =

8

(x f ( x) =

3

− 2x)

3

4

( 2x +

3

− 2)

8

3·( 3x − 2)·( x − 2x )

6

5

15·( 5 x4 + 12 x2 )·( x5 + 4 x3 + 6)

15

2

→ f '( x) =

3

4

2

6·( 6x 2 )( 2x 3 − 2 )

5

+

5

Ejercicios: 3º Derive las siguientes funciones con paréntesis: 4

2

7

a) f ( x ) = ( x + 1)

d)

(x f (x ) =

4

− 3x 2 )

b) f ( x ) = ( x + 3 x + 5) 2

e) f ( x ) = ( 4 x 7 / 2 + 3)

3 −5 g) f ( x) = (2 x + 7 x ) 3

j)

+ 7 x2 − 5)

6

m) f ( x) = (5 x − 3x )

(5 x f ( x) =

4

k)

7

2

+ 3 x− 2 )

5

12

n) f ( x) = (4 x − x)

5/ 2

6

Sol: a) f '( x ) = 7( x + 1)6

(

e) f ' (x ) = 5 (14x 5 / 2 )(4 x 7 / 2 + 3)

g) f '(x ) = − 5·( 6x 2 + 7)( 2x 3 + 7x )

d) f '(x ) =

3⎛ x 1 ⎞ l) f ( x) = ⎜ + ⎟ 5⎝ 4 x ⎠

8

3

3

h) f '( x ) = 7 (6 x2 − 12 x−5 )( 2 x3 + 3x −4 + 2)

−6

5( 20 x − 6x

−3

6

) ·( 5x

4

7

4

+ 3x

12 3/ 2 5 m) f '(x ) = ·( 10x − 3) ·( 5x 2 − 3x ) 2

2 ( 4x 3 − 6x )( x 4 − 3x 2 ) 3

f) f ' ( x) = e( 2 x − π x π −1 )( x2 − x π ) e−1

5 −1

i) f '( x) = 8 ( 6 x + 12 x − 5 )( x + 3x − 5 x ) j) f '(x ) = k) f '(x ) =

i) f ( x) = ( x6 + 3 x4 − 5 x)

7/3

3

)

3

7

b) f ' ( x ) = 3(2 x + 3)( x 2 + 3 x + 5) 2

7 ⎞ 6 2 ⎛ x f x x x = + c) '( ) 4 3 3 ⎜ + 3x 3 ⎟ ⎝ 7 ⎠

5

f) f ( x) = ( x 2 − xπ ) e

5

h) f ( x ) = (2 x 3 + 3x −4 + 2 )

3

(x f ( x) =

⎛ x7 ⎞ c) f ( x) = ⎜ + 3 x 3 ⎟ ⎝7 ⎠

3

)

−2 4

6· (3 x 2 +14 x)· ( x 3 + 7 x 2 −5 )

7 2 9⎛1 1⎞ −2 ⎞ ⎛ x f x x l) '( ) = ·⎜ − ⎟ ·⎜ + ⎟ 5⎝4 ⎠ ⎝ 4 x⎠ 4/3 7 n) f '(x ) = ·( 24x 5 − 1) ·( 4x 6 − x) 3

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Derivación de raíces cuadradas y raíces de orden superior Reglas de derivación. f ( x) = n u → f ' ( x) =

u' n · n u n−1

Ejemplos: 2x − 3

f ( x) = x 2 − 3x → f '( x ) = f ( x) =

f ( x) = 3 x 2 + 1 → f '( x ) =

2 x 2 − 3x 3

(x

2

− 3 x ) → f '( x) = 2

2x 3· 3 ( x2 + 1)

2·( 2x − 3)·( x 2 − 3x ) 3· 3 ( x2 − 3 x )

4

Ejercicios: 4º Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) f ( x ) = 3 2x + 4 b) f ( x) = 10 x 3 + 10 x

d) f ( x ) =

x + x 2 + x3

g) f ( x) = 1 + 3 x j) f ( x ) = Sol: a) f ' ( x ) = c) f '( x) =

x+ x +3 x 2

x

e) f '( x) =

g) f '(x ) =

i) f '(x ) =

2 x

h) f ( x ) =

6

k) f ( x) =

5 3

x + 3 10 x

x5 + x

10 3· (10 x )2 3

4· 4 ( x + 3 10x )3 1

h) f ' ( x) =

8·8 x

(

2

)

x2 + 1 + 7

1 + 2x + 3 x2

)

1 2 x

x + x) 5 1 1 + 1+ 3 2 x 3 x2 j) f '( x) = 2 x+ x+ 3 x

7

3

5 3

10·10 (x 3 + 10x )9

4

–3–

6· 6 ( 5

x + 3x x x x

3x 2 + 10

5x 4 +

· 3 2 2 1 + 3 x 3· x

5· 5

l) f ( x) =

(

2x

k) f '( x) =

i) f ( x) =

2 x + x2 + x3 1 +3 2 x f) f '( x) = 2 3· 3 x + 3 x

1

3· 3 ( x2 + 1)

f) f (x ) = 3

x2 + 1 + 7

d) f '(x ) =

x2 + 3 +

4

b) f '(x ) =

33 (2x + 4)2

1

e) f ( x ) =

c) f ( x ) = x2 + 3

x 2 +1 + 7

2

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Derivación de producto de funciones Reglas de derivación. f ( x ) = uv → f ' ( x) = u' v + v' u

Ejemplos:

f ( x ) = u (v (x )) → f ' ( x ) = u ' (v( x))v' ( x)

f ( x) = ( x − 1 )( x + 1)→ f '( x ) = 2 x ( x − 1) + ( x − 1) 2

2

f (x )= (x + 4x 2 )( x + 1) → f '(x )= ( 1+ 8x ) (x + 1)+ ( x + 4x 2 ) f ( x) = ( x + x7 ) ( x2 − 1 ) → f '( x) = 5·(1 + 7 x6 )( x + x7 ) ( x2 − 1) + 14 x( x2 − 1) 5

7

4

7

6

( x+ x )

Ejercicios: 5º Derive las siguientes funciones: a) f ( x ) = ( x 2 − 1)( x − 1)

b) f ( x ) = x 2 ( 7 x 7 + 8)

2 3 c) f ( x ) = ( x ) (x + 1 )

d) f ( x ) = ( x − 1) −1 ( x + 1)

4

⎛ x ⎞ ⎛ 4x ⎞ e) f ( x) = ⎜ +1⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

3

f) f ( x) = ( x 2 − 3)−5 ( x − x 2 )

g) f ( x) = ( x − 1 − 2 )− 2 (1 + x 2 )

h) f (x ) = x ( x − 1) 2 ( x − 2) 3

i) f (x ) = ( x 2 + x )(x + 2x 2 )( x + 1)

j) f ( x) = x3 + 7 x x7 + 5 x2

(

)(

)

l) f (x ) = x x 2 + 1 ( x + 1) 4

k) f ( x ) = x + 1 3 x − 1 Sol: a) f ' (x ) = 2 x ( x − 1) + ( x 2 − 1)

b) f ' ( x ) = 2 x(7 x 7 + 8) + 49 x 8

c) f ' ( x ) = 6 x 5 ( x + 1) + x 6

d) f ' ( x ) = −( x − 1) −2 ( x + 1) + ( x − 1) −1

3

3

4

2

4⎛ x ⎛ x ⎞ ⎛ 4x ⎞ ⎞ ⎛ 4x ⎞ ⎜ + 1⎟ ⎜ ⎟ + 4⎜ + 1⎟ ⎜ ⎟ 3⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 2 −6 f) f '( x ) = −10 x( x − 3) ( x − x ) + (1 − 2 x )(x 2 − 3) −5

e) f ' ( x ) =

g) f ' ( x ) = 2 x −2 ( x −1 − 2) −3 (1 + x 2 ) + 2 x( x −1 − 2) −2 h) f ' (x ) = (x − 1) 2 (x − 2) 3 + 2x (x − 1)(x − 2) 3 + 3x ( x − 1) 2 (x − 2) 2 i) f ' (x ) = ( 2x + 1)(x + 2x 2 )( x + 1) + ( x 2 + x )(1 + 4 x )( x + 1) + ( x 2 + x)( x + 2 x 2 ) j) f '( x) = ( 3 x2 + 7 )( x7 + 5 x2 ) + ( x3 + 7 x ) (7 x6 + 10 x )

(x − 1)−2 / 3 x +1 3 x2 l) f '(x ) = x 2 + 1(x + 1)2 + (x + 1)2 + 2x x 2 + 1(x + 1) 2 2 x +1 k) f '( x) =

(x + 1)−1/ 2 2

3

x −1 +

–4–

7

5

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Funciones racionales Reglas de derivación. f (x ) =

v' 1 → f '(x ) = − 2 v v

f ( x) =

u u ' v − v' u → f ' ( x) = v v2

Ejemplos: 1 −2 x → f '( x) = 2 1 +x (1 + x 2 ) 2 2 x( x100 + 4 x) − (100 x 99 + 4) x 2 x2 f ( x) = 100 → f '( x) = ( x100 + 4x )2 x + 4x 2 x( x 3 + 1) − 3 x 2( x 2 + 1) x 2 +1 f ( x) = 3 → f '( x) = ( x 3 + 1) 2 x +1 f ( x) =

Ejercicios: 6º Derive las siguientes funciones: 1 1 b) f (x ) = 5 a) f ( x) = 3 x −2x x − 6 x2

c) f (x ) =

1

(4x − x )

Sol:

a) f ( x) = −

3 x2 − 2

(x

3

− 2 x)

2

b) f '(x ) = −

5x 4 − 12x

(x

5

− 6x 2 )

2

c) f (x ) = −

2

3

5·( 4 − 2x )

( 4x − x ) 2

5

7º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: 3 x −3 x3 ( x + 3)2 d) f ( x ) = x 2 a) f ( x) = 2 b) f ( x ) = 2 c) f ( x ) = x −1 x −2 x +1 x2 −1 i x ( x − 1) 3 x +1 3x f) f ( x ) = h) f ( x) = e g) f ( x ) = e) f (x ) = 3x x −2 x 3x Sol: 3x 2 ·(x 2 − 1) − 2x ·(x 3 − 3) 3x 2 ( x2 +1) − 2 x4 f x f x = = b) '( ) a) '( ) 2 2 ( x2 −1) (x 2 + 1)

2( x + 3) (x − 2) − ( x + 3)

2

c) f '( x) = e) f ' ( x ) =

( x − 2)2 9 x( x − 1) 2 − 3( x −1) 3

9x 2 1⎛ 3 ⎞ − 3x ⎟ g) f '(x ) = 2 ⎜ x x ⎝ 2 3x ⎠

d) f '( x) =

2 x (x 2 −1 ) − 2 x 3

(x

2

−1 )

2

1⎛ 3 ⎞ 3x − x ⎜ ⎟ 3x ⎝ 2 3x ⎠ ix i (x e − 2) − ex e (x i + 1) h) f '( x) = e ( x −2) 2 f) f '( x) =

8º Demostrar que las siguientes funciones tienen por derivada: x 4 + 3x 3 + x 2 x4 − 1 a) f ( x) = 2 b) f (x ) = 2 → f '( x) = 2 x → f '(x ) = 2x x +1 x + 3x + 1 x 4 + 3x 3+ 3x 2 + x 1 x2 c) f ( x) = → f '( x) = 1 h) f ( x) = 2 → f '( x ) = 3 2 x +2x + x ( x + 1)2 x + 2x +1 –5–

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Funciones exponenciales Reglas de derivación. f ( x) = a u → f ' ( x) = u ' a u ln a

f ( x ) = e u → f ' ( x) = u' e u

Ejemplos: f ( x) = e x 2 + 3x

f ( x) = e

4x + 3

→ f '( x ) = 4e 4x+ 3

→ f '( x ) = ( 2x + 3) ex

2

2

+ 3x

2

f ( x ) = 2 x → f ' ( x) = 2 x·2 x ln 2 f ( x) = 2

f (x ) =

x +2

x3 + 5 x2

x 5x 2 → f '( x ) = ( 3x + 10 x ) 2 + ln 2 3

2 =2 x

x x +2

⎛ 2 → f '(x ) = ⎜ ⎜ ( x + 2 )2 ⎝

2

⎞ x ⎟ 2x +2 ln 2 ⎟ ⎠

Ejercicios: 9º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: 7 6 3 2 b) f ( x) = e2 x +1 d) f ( x) = e x + 5x + 3 a) f (x ) = e x + 2 x c) f (x ) = e − x 3

2

f) f (x ) = 32 x +1

e) f (x ) = 2x + 2 x Sol:

3

a) f '(x ) = (3x 2 + 2)·e x

b) f '(x ) = 2e 2 x+ 1

+2 x 7

d) f '( x) = (7 x 6 + 30 x 5)·e x f) f '(x ) = 2·32 x+1 ln 3 h) f '( x) = (7 x 6 + 30 x 5)·π

+ 5x6 + 3

x7

h) f ( x) = π x

g) f (x ) = 4− x

c) f '( x) = −2 xe − x

e) f '( x) = (3 x2 + 2)·2 x g) f '(x ) = −2x ·4

+

5 x6

−x2

3 2x +

7

+ 5x 6 + 3

2

·ln 2

·ln 4

·ln π

+3

10º Derive las siguientes funciones: 2

a) f (x ) = e x + e x +1 + 5 x +1

4 3x

d) f ( x) = x e + xe g) f ( x) = 4 x + 7 x 3

2

+3x

6

j) f (x ) = 4x + e x + 1 Sol:

2

( )) h) f ( x) = ( 2 )

⎛ e) f ( x) = ⎜ (ex ⎝

x2 −3

2

⎞ ⎟ ⎠

x

2

f) f ( x ) =

x 6 x+1

e

x

i) f ( x) = 10 e

x

x

l) f ( x) = e 5 + xe + e 2

7

x x x b) f '(x ) = (2x − 2)e − 2 + 2 ln 2 x 1 x 1 3 3x 3x 4 d) f '( x) = 4 x e + 3e x + e + + xe +

4

e) f '(x ) = 4x3e x

x

x x

k) f ( x) = x e + x− 2 2

a) f '(x ) = 2xe x + e x +1 c) f '( x) = 2 ex + xex

g) f '( x) = 4 x ·ln 4 + (2 x + 3)·7

c) f ( x ) = xe x + e x + e

b) f ( x) = e x −2 x + 2 x

f) f '(x ) = x2

i) f '( x) = ex10e ln10 e1/ x 21/(x − 2) ln 2 k) f '( x) = − 2 − ( x − 2) 2 x

+3 x

·ln 7

2 x2

e

−

6 x+ 1 x 3 −3x

h) f '(x ) = (3x 2 − 3)2 x 3

2 x 5 x j) f '(x ) = 3x 4 ln 4 + 6x e x

5 1/e e l) f ( x) = − 2 x ln 5 + e·x −1 e

–6–

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Funciones logarítmicas Reglas de derivación. f (x ) = loga u → f ' ( x ) =

u' log a e u

f (x ) = ln u → f ' ( x ) =

u' u

Ejemplos: 8 + 3 x2 log4 e 8x + x 3 12 x3 f ( x) = ln(3 x 4 + 7 ) → f ' ( x) = 4 3x + 7

f (x ) = log 4 (8x + x 3 ) → f ' (x ) =

Ejercicios: 11º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( x ) = ln(3 x − 1) c) f (x ) = ln(x 3 − 2x 4 ) b) f ( x) = ln( x2 − 3x) d) f ( x) = log(6 x − 5) f) f (x ) = log(2x5 − x −2 ) e) f ( x) = log(2 x2 − x)

h) f ( x) = log 3 (3 x 2 − x 6)

g) f ( x) = log 2 (6 x − x2 ) Sol: 3 a) f '(x ) = 3x − 1 6 d) f '( x) = log e 6x − 5 6 − 2x g) f '( x) = log2 e 6x − x 2

2x − 3 x 2 − 3x 2x − 1 log e e) f '( x) = 2 2x − x 6 x − 6 x5 log3 e h) f '(x ) = 2 3x − x 6 b) f '(x ) =

12º Derive las siguientes funciones: ⎛ x3 ⎞ a) f ( x) = ln ⎜⎜ ⎟⎟ b) f ( x ) = x ln( x + 1) ⎝5 ⎠

d) f ( x) =

1 ln x

g) f ( x) = log 50

(

+ x j) f (x ) = e1 ln

)

h) f ( x ) =

3 x 2 −8 x 3 x 3 − 2 x4 10 x 4 + 2 x −3 log e f) f '(x ) = 2x5 − x−2 2 x− 8 i) f '( x) = 2 log 5 e x −8x

c) f '(x ) =

⎛ x+ 2⎞ c) f (x ) = ln⎜ 2 ⎟ ⎝ x ⎠

3

( )

f) f (x ) = log2 x

e) f ( x ) = ln x − 2 4 x3 + 5

i) f ( x) = log 5( x2 − 8 x)

(

ln x

7

i) f ( x) = ln 1 + ex

3x ⎛ x2 −x ⎞ k) f ( x) = ln ⎜ 2 ⎟ ⎝ x +4 ⎠

4 1 +

)

l) f ( x) = ln (ln (ln x ))

Sol:

a) f '( x ) =

3 x

b) f '(x ) = ln(x + 1) +

d) f '( x) =

−2 x (ln x)2

e) f '( x) =

g) f '( x) =

6 x2 log 50 e 4 x3 + 5

j) f '( x) =

1 1 +ln x e =e x

1 2( x − 2)

x x +1

3 6 − x +2 x 7 log 2 e f) f '(x ) = x

c) f '(x ) =

4

3−x 4x3 e x +1 −x '( ) 3 ln 3·ln x f x = − i) 4 x 1 + ex + 1 1 x2 + 8 x − 4 l) f '( x) = k) f '(x ) = 2 2 x·ln( x)·ln (ln x ) (x + 4)·( x − x ) h) f '( x ) =

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Funciones trigonométricas Reglas de derivación. f ( x ) = sin u → f '(x ) = u '·cos u

f ( x) = cos u → f '( x ) = −u '·sin u

f ( x) = tan u → f '( x) =

u' 2 cos u

Ejemplos: f ( x) = cos( x 2 ) → f '( x ) = − 2 x sin( x 2 ) − cos x f ( x) = tan(sin( x)) → f '( x) = cos 2 (sin( x))

f ( x) = sin(4 x2 ) → f '( x) = 8 x cos(4 x 2 ) f ( x) = tan( x3 − x) → f '( x ) =

3x2 − 1 cos2 ( x3 − x)

Ejercicios: 13º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( x ) = cos(3x ) c) f ( x) = 4sin x − 3cos x b) f ( x ) = sin(3x2 − 2)

d) f ( x) = sin(3 x + 5)

e) f ( x) = cos(sin x)

f) f ( x) = sin ( 2 x6 + 7)

g) f ( x ) = tan (x 3 + 2 )

h) f ( x) = tan (2 x7 + 2 x )

i) f ( x) = tan ( x − cos x)

b) f '( x) = 6 x·cos(3 x2 − 2)

c) f '( x) = 4 cos x + 3sin x

e) f '( x) = − cos x sin(sin x)

f) f '( x ) = 12 x5 ·cos ( 2 x6 + 7)

Sol: a) f '( x) = −3sin(3 x)

d) f '( x ) = 3cos(3x + 5) g) f '( x) =

3 x2 2 3 cos ( x + 2)

14 x6 + 2 2 7 cos ( 2x + 2 x )

h) f '(x ) =

i) f '( x) =

1 + sin x cos ( x − cos x ) 2

14º Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible:

a) f ( x) = sin

(

3 x2 − 5 x

)

b) f ( x) = sin 2 ( x)

c) f ( x ) = 3sin2 (2 x − 3)

d) f ( x) = 5 sin(3 x)

e) f ( x) = cos 2 ( x 3 )

f) f ( x ) = cos 4 (3 x 4 )

g) f ( x) = sin( x2 ) cos( x)

h) f ( x) = cos 2 x − sin 2 x

i) f ( x) = tan x cos x

k) f ( x) = 6 tan x

l) f ( x ) = co tan( x )

j) f ( x) = 2 tan xsin(2 x) Sol: 6x − 5 a) f '(x ) = cos 2 3 x2 − 5 x

(

3x2 − 5x

)

b) f '( x) = 2 sin x cos x 3cos(3 x)

c) f '(x ) = 12sin(2x − 3) cos(2 x − 3)

d) f '(x ) =

e) f '(x ) = − 6x2 sin x3 cos x3

f) f '(x ) = − 48x3 sin(3x4 ) cos3 (3x4 ) − sin(2 x ) h) f '(x ) = cos(2 x ) j) f '(x ) = 4 cos(2x )

g) f '( x) = 2 xcos( x2 ) cos x −...