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Ejercicios de Dinamica de Estructuras...

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541233: DINAMICA EJERCICIOS DE EVALUACIONES ANTERIORES

GABRIEL BARRIENTOS RIOS DPTO. INGENIERIA MECANICA Universidad de Concepci´on

18 de marzo de 2019

2

Gabriel Barrientos R.

´Indice general 1. Cinem´ atica

5

2. Ley de Newton

19

3. M´ etodo Trabajo Energ´ıa

21

4. Impacto

25

5. Tensor de Inercia

35

6. Dinamica de cuerpos rigidos

43

7. Ecuaciones del movimiento

51

8. Material de apoyo

79

3

4

Gabriel Barrientos R.

Cap´ıtulo 1

Cinem´ atica

5

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Gabriel Barrientos R. 1. Si la velocidad angular Ω2 del cuerpo 2 es 100 rad/s en sentido horario y R = 20 cm y L = 30 cm, determine: la velocidad angular del cuerpo 3, la aceleraci´on del punto A2 perteneciente al semi disco 2 la aceleraci´on del punto A3

Figura 1.2: Velocidad angular de la barra recta AB velocidad del punto A aceleraci´on del punto A Figura 1.1: 2. La barra BD desliza sobre la superficie curva fija. Si la barra AB gira con una velocidad angular constante en sentido horario de 10rad/s, determine:

La velocidad angular de la barra BD La veocidad del punto D. D se encuentra en ese instante en la posici´on horizontal la aceleraci´on del centro de la barra BD 3. Considerando que la barra CB gira con una velocidad angular constante de 4 rad/s en sentido horario, determine:

Figura 1.3: 4. El disco rueda por la superficie curva sin deslizar. La velocidad angular del disco es de 10 rad/s, constante y en sentido horario. Si la barra recta que en el instante estudiado se ubica en forma vertical y se mueve con una velocidad angular ω2 = 4 rad/s tambi´en en sentido horario, determine la velocidad del pasador A que conecta a ambas gu´ıas.

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Gabriel Barrientos R.

Figura 1.4: 5. La barra OD gira con velocidad angular constante de 4 rad/s en sentido horario. La barra DB es compuesta (soldada) y en el extremo B tiene una gu´ıa que permite el deslizamiento de la barra recta AC. Determine la velocidad angular de la barra AB y las velocidades de los puntos A y C.

Figura 1.6: 7. La barra DE desliza sobr ela barra curva AC con centro de curvatura en C Dada la geometr´ıa de la figura y conocida la velocidad angular ω2 = 3 rad/s, constante, determine la velocidad y aceleraci´on angular de la barra DE.

Figura 1.5: 6. Los discos 2 y 3 ruedan sin deslizar sobre la superficie inclinada 45o respecto a la horizontal. Si la velocidad angular del disco 2 es de 5 rad/s en sentido horario y la aceleraci´on angular de 0,5 rad/s2 , determine la velocidad y aceleraci´on del punto P del disco 3.

Figura 1.7: 8. La barra AD desliza sobre la superficie curva fija de radio R = 1 m con centro en C. Si se conoce la velocidad del extremo A seg´ un

8

Gabriel Barrientos R. se indica en la figura, determine la velocidad angular de la barra AD.

Figura 1.8:

9. La barra recta AD desliza en la superficie curva de la barra BD. Figura 1.10: Conocida la geometr´ıa de las barras y para la posici´on mostrada determine la velocidad y aceleraci´on 11. El disco 2 rueda sin deslizar sobre angular de la barra AD si se conoce el plano curvo 1. Para el instante la velocodad angular constante de de la figura determine la velocila barra curva. ω2 = 10 rad/s en dad y aceleraci´on angular de la sentido antihorario. barra recta 3 si ω = 10 rad/s y la aceleraci´on angular α = 1 rad/s2 .

Figura 1.9:

10. El cilindro 2 rueda sin deslizar sobre el plano curvo 1 empujando al cilindro 3. Para el instante dado en la figura determine la velocidad y aceleraci´on angular si ω = 2,5 rad/s.

Figura 1.11: 12. Determine la velocidad y aceleraci´on de la part´ıcula de masa M = 2 kg si R = 1 m y L = 1,5 m y la velocidad relativa a la barra es de 2 m/s y aumenta a raz´ on de 1 m/s cada dos segundos. La velocidad angular de la barra para

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Gabriel Barrientos R. el instante en que θ = 30o es de 2 rad/s y su aceleraci´on de 3 rad/s2 , ambas en sentido antihorario.

A y el punto P para el instannte de la figura. Determine la velocidad angular de la barra curva.

Figura 1.14: Figura 1.12: 13. Si R = 1 m y la velocidad angular constante del cilindro 2 que rueda sin deslizar respecto del plano horizontal es de 3 (rad/s) en sentido horario, determine las aceleraciones angulares de los cuerpos 3 y 4 para el instante mostrado en la figura.

15. Los cilindros de iguales dimensiones de la figura ruedan sin deslizar por las superficies planas indicadas con velocidades angulares en sentido horario. Para los c´ alculos considere que R1 = R2 = R3 = 1 m. La distancia C2 C2 = 3R/2. (a) Determine la relaci´on entre las velocidades angulares de los dos cilindros si vP = 10i − 2j b) Calcule la velocidad angular de la barra AP En A y P existe un pasador que permite que ellos deslicen libremente por las gu´ıas de los cilindros respectivos.

Figura 1.13: 14. El carro del extremo izquierdo de la figura se mueve con una velocidad lineal v0 = 1 m/s hacia la izquierda. En el punto B arrastra una barra curva que est´a en contacto con un disco que se desplaza con una velocidad de su centro de giro v0 hacia la derecha. La barra curva y el disco est´an en contacto en el punto P. El disco rueda sin deslizar sobre el punto

Figura 1.15:

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Gabriel Barrientos R.

16. Si el cilindro superior rueda sin deslizar sobre la superficie curva tal que la velocidad del punto superior A es vA (constante y horizontal), determine la velocidad y aceleraci´on del punto B de la barra r´ıgida que se apoya sobre la superficie curva para la posici´ on mostrada en la figura.

ga que los radios R3 y R4 son iguales a R = 1 m. El disco 4 y el yunque 2 deslizan respecto a este pivote. Los discos 3 y 4 ruedan sin deslizar sobre el plano horizontal. Si la velocidad del yunque es v = 10 m/s seg´ un lo mostrado en la figura. Determine: (a) Velocidad angular del disco 3 (b) Velocidad angular disco 4 (c) Aceleraci´on anular disco 3 (d) Aceleraci´on angular disco 4

Figura 1.16: 17. El disco de radio r = 0,5 m gira en sentido horario y en su centro arrastra una barra AC que desliza en el punto B. Determine para el instante de la figura la velocidad del punto C si L = 3 m.

Figura 1.17: 18. El pivote que se indica en la figura est´ a fijado al disco 3. Supon-

Figura 1.18: 19. La figura representa un pasador que desliza simult´ aneamente por las gu´ıas. Determine la velocidad y aceleraci´on del pasador para el instante mostrado. L = 0,5 m, R = 0,25 m. La velocidad angular constante de la barra recta es 1,8 (r/s) en sentido antihorario y la velocidad angular de la barra con curvatura (tambi´en constante) es de 1,2 rad/s en sentido horario. 20. El disco D de radio R = 5 cm. Est´ a sujeto de un brazo de longitud L = 10 cm. Este brazo rota alrededor de un eje vertical a una velocidad angular 1 = 100 r/s. Si

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Gabriel Barrientos R.

Figura 1.19: el disco D gira a una velocidad angular 2 = 50 r/s. Determine: (a) La aceleraci´on del punto P y, (b) la velocidad y aceleraci´on angular del disco D. Figura 1.21:

Figura 1.20: 21. El brazo OA gira con velocidad angular de 6 rad/s y aceleraci´on angular de 10rad/s2 , ambas en sentido horario en el instante que se muestra. Calcule la aceleraci´on angular de AB 22. El cuerpo (part´ıcula) 3 desliza en las ranuras de la barra 2 y del disco 4 simult´ aneamente. Para la posici´ on mostrada en la figura y con R = 1 m y el disco rueda sin deslizar, determine la velocidad de la part´ıcula 3.

Figura 1.22:

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Gabriel Barrientos R.

23. Determine para el instante mostrado la aceleraci´on del punto P del disco A de la figura. El disco A tiene un radio de 2R y el anillo B un radio de 4R. Se conocen las velocidades angulares del disco A (2 rad/s) y del anillo B (3 rad/s) en la direcci´on mostrada en la figura. Use R = 1 m.

determine la aceleraci´on angular de la barra 2. Considere R = 2 m.

Figura 1.25:

Figura 1.23: 24. Si la velocidad angular del disco de radio R = 1 m es de 2 rad/s en sentido antihorario, determine la velocidad angular de la barra 2 que est´ a apoyada sobre el disco mayos. Los discos ruedan sin deslizar respecto al plano horizontal.

Figura 1.24: 25. Si la magnitud de la velocidad de la part´ıcula 3 (que desliza entre las dos gu´ıas) es de 10 m/s, constante (movi´endose hacia abajo),

26. El disco peque˜ no de radio R gira en sentido horario sobre el circulo mayor de radio 3R. En los puntos D y B existe rodadura pura. Los centros E y F est´an alineados sobre una vertical. La barra ABC est´ a apoyada sobre el disco peque˜ no en el punto B que corresponde al punto medio de la barra y para el instante de la figura la distancia AB = 2R. Si el disco peque˜ no gira con una velocidad angular de -10k rad/s, constante y el punto A siempre desliza sobre la superficie curva, determine la aceleraci´on lineal del punto C. R=1 m. 27. (T1-2013). El disco circular de radio R = 1m rueda sin deslizar con respecto al punto de contacto con el plano horizontal (punto A). Si la velocidad del centro del disco es de 3i m/s (direcci´on horizontal hacia la derecha del dibujo), determine las velocidades angulares de las barras 3 y 4 para el

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Gabriel Barrientos R.

Figura 1.28:

Figura 1.26:

aceleraci´on de P si la rueda gira sin deslizar en el plano horizontal con una velocidad angular constante de 5rad/s2 en la direcci´on indicada. El radio de la rueda es de 1,5m.

instante de la figura. El extremo derecho de la barra 4 desliza sobre el plano horizontal y nunca se separa de ´el.

Figura 1.29: Figura 1.27: 28. (R-2013). El cuerpo rectangular de masa m = 1kg y longitud 2R desliza sobre la superficie horizontal a velocidad constante v = 2m/s, empujando al disco de masa 2m y radio R = 1m en el punto A. El disco rueda si deslizar en el punto B. Determine la velocidad y aceleraci´on del punto D. 29. (C1-PLEV-2013). La part´ıcula P rueda por ambas gu´ıas. Para la posici´ on de la figura determine la

30. (C1-PLEV-2013). La barra 2 gira con una velocidad angular de −10k. Si el disco rueda sin deslizar en el contacto con la barra 4 (punto B), determine la velocidad angular de la barra 4. R = 1m. 31. (C1-2012). La barra 2 de longitud 10 gira con una velocidad angular de 2rad/s en la direcci´on mostrada en la figura. Considerando que el disco rueda sin deslizar sobre la superficie curva, determine la velocidad angular de los cuerpos 3 y 4.

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Gabriel Barrientos R. 32. (C1-2012). El disco de radio 3R descansa sobre discos 2 y 3, ambos de radio R que giran con velocidad angular constante seg´ un los sentidos mostrados en la figura. Si los cilindros de radio R ruedan sin deslizar sobre la superficie recta seg´ un las direcciones mostradas, determine la velocidad y aceleraci´on del centro C del cilindro 4 superior para el instante de la figura

Figura 1.30:

Figura 1.32: 33. (R-2012). El disco de radio 3R descansa sobre discos 2 y 3, ambos de radio R que giran con velocidad angular constante seg´ un los sentidos mostrados en la figura. Si los cilindros de radio R ruedan sin deslizar sobre la superficie recta seg´ un las direcciones mostradas, determine la velocidad y aceleraci´on del centro C del cilindro 4 superior para el instante de la figura

Figura 1.31:

34. (R-2011). El disco de radio R = 1m rueda sin deslizar sobre el plano inclinado con una velocidad angular constante de ω − 2rad/s k (en sentido horario). El punto B3 tiene una velocidad relativa respecto al cuerpo 2 igual a 2,4m/s i y una aceleraci´on relativa de α = 0,4m/s2 i. Si para el instante de

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Gabriel Barrientos R.

Figura 1.35:

Figura 1.33: la figura la barra 3 est´a horizontal, determine su velocidad y aceleraci´ on angular.

dad angular de la barra 4. ω2 = 1,5rad/s, ω3/2 = 0,5rad/s, ambas en las direcciones indicadas en la figura 1.36. En el punto B existe rodadura pura. El disco nunca se separa de las barras. R = 1 m,

Figura 1.34: 35. (C1-2014). El aro 4 de radio R = L/2 gira en sentido horario con velocidad angular constante de 2rad/s, rodando sin deslizar sobre la superficie horizontal en el punto A. La barra 2 se apoya sobre la periferia del aro unido en todo momento por la argolla 3 que desliza sobre ambas superficies, tal como se indica en la figura 1.35. La velocidad relativa de la argolla 3 respecto a la barra CB es de 0,5m/s en direcci´on CB y su aceleraci´on relativa de 0,03m/s2 en direcci´on BC. Determine la velocidad y aceleraci´on de la argolla 3. Datos: L = 2m, CD = L 36. (T1-2014). Determinar la veloci-

Figura 1.36: 37. (C1-2017). En el sistema de la figura 1.37, el disco 2 gira con

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Gabriel Barrientos R. velocidad y aceleraci´ on angular seg´ un se indica en la figura. Determine: a) La velocidad del punto C que pertenece al cuerpo 3 b) La velocidad angular del cuerpo 4 c) La velocidad de D d) La velocidad relativa en C entre los cuerpos 3 y 4 e) La aceleraci´ on angular del cuerpo 4 f ) La aceleraci´on de D

Figura 1.38: en la figura 1.39, la velocidad angular de la barra AB es 5rad/s, determine la velocidad del punto C si la barra DE gira con velocidad angular 2rad/s en el sentido horario. Datos geom´ e tricos: AB = 1m BE = 1,5m DE = 1m BC = 2,5m

Figura 1.37: 38. (C1-2016). Para el problema de la figura 1.38: R = 1m, ω2 = 0, 8rad/s (constante), ω3/2 = 1,5rad/s α3/2 = −0, 5krad/s2 , determine: a) Velocidad de C3 b) Aceleraci´on de B3 39. (R-2016). El sistema de la figura est´a compuesto por cinco cuerpos. Los cuerpos giran en pasadores ubicados en los puntos A, B, DyE . Si en el momento que se muestra

Figura 1.39:

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Gabriel Barrientos R. 40. (C1-2015). Datos: Angulo entre la horizontal y la barra 2 = 30o Barra 4 es perpendicular a barra 2 Distancia O2 P = L = 1m Radio disco = L/3 Velocidad angular de 3 respecto de 2 = ω3/2 = 0,4rad/s = constante Velocidad de 2 respecto de 1 = ω2 = 0,3rad/s = constante

contacto entre la barra y el disco (punto A) es liso (sin roce). a) Para la posici´on en que el punto C y el punto D est´en en un l´ınea vertical, determine la velocidad absoluta del punto A de la barra si la velocidad del punto C del disco es −5i(m/s). Considera R = 1m. b) Determine la(s) ecuaci´on(es) del movimiento del sistema. Use el m´etodo que estime conveniente. Linealice para peque˜ nos desplazamientos.

La argolla P desliza a lo largo de las barras 2 y 4 simult´ aneamente. El disco 3 rueda sin deslizar en el punto A de la barra 2. Determine: a) La velocidad angular de la barra 4 b) La velocidad de la argolla P, c) Si ω2 = 0, Determine la aceleraci´ on de la argolla P.

Figura 1.40: 41. (P2-Ex-2015). La barra esbelta de masa m y longitud 5R/3, se apoya sobre el disco que rueda sin deslizar en el punto B sobre la superficie curva de radio R (figura 1.41). El

Figura 1.41:

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Gabriel Barrientos R.

Cap´ıtulo 2

Ley de Newton

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Gabriel Barrientos R. 1. El bloque A de masa =10 kg descansa sobre la cu˜ na B de masa 22 kg. Sabiendo que el sistema se libera del reposo y despreciando el roce hallar: (a) la aceleraci´on de A, (b) la velocidad de A respecto B en t=0.5 s.

Figura 2.1: 2. Para el sistema de la figura 2.2, determinar: a) Ecuaci´on(es) del movimiento b) Expresi´on de la fuerza sobre el piso c) Expresi´on de la fuerza de m1 sobre el carro M (la gu´ıa tambi´en es lisa)

Figura 2.2:

Cap´ıtulo 3

M´ etodo Trabajo Energ´ıa

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Gabriel Barrientos R. 1. El bloque A de masa m tiene una velocidad inicial v0 y comienza a deslizar sobre el cuerpo B de masa 3m. Inicialmente el bloque B est´ a detenido. El coeficiente de roce entre las superficies de los cuerpos A y B es µ. Determine la distancia relativa que recorre el cuerpo A sobre el B hasta que ambos comienzan a deslizar juntos sobre el suelo liso. Figura 3.2:

Figura 3.1: 2. Un martillo compuesto por un disco delgado A de radio R = 0, 4 m y masa de 15 kg y una varilla delgada B de longitud 2, 4 m y masa de 12 kg es utilizado para deformar l´aminas de metal por su impacto. Se une a la varilla un resorte de constante el´ astica k = 300 N/m conectado al apoyo F y est´a sin deformar cuando su longitud es de 0, 5 m. Determine la reacci´on horizontal en el apoyo C, inmediatamente ANTES del impacto 3. La figura representa un semi disco de masa M . Si se suelta desde la posici´ on mostrada a la izquierda, determine la velocidad angular cuando el semi disco (que rueda sin deslizar) pasa por la posici´ on mostrada a la derecha de la figura. Considere IG = M R2 /2 4. El sistema de la figura est´a formado por una barra AC de lon-

Figura 3.3: gitud L y un disco hueco, ambos de masa M . El disco rueda sin deslizar. La barra est´a unida al disco por los pasadores A y B . La distancia AB = L/3, L = 3R y r = 0, 9R (a) Determine la m´axima altura que alcanza la barra en el lado derecho si es soltada desde la posici´ on mostrada, (b) Determine cuales son las posiciones extremas horizontales alcanzadas por el punto A (c) Determine la m´axima velocidad angular de la barra. 5. Una barra delgada de 4 Kg puede rotar en un plano vertical en torno al eje B. Sujeto a ella como se muestra en la figura hay un resorte de constante k = 400 N/m y longitud natural 150 mm. Sa-

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Gabriel Barrientos R.

Figura 3.4: biendo que la barra se suelta en reposo en la posici´ on representada, encuentre su velocidad angular tras haber rotado 90o .

Figura 3.6:

Figura 3.5:

6. La masa del disco es de 5 kg y su di´ ametro de 80 mm. La barra AB de masa 4 kg mide 320 mm de longitud entre A y B y est´ a articulada al centro del disco en A y unida al pasador B que se desliza libremente por una ranura vertical lisa. Si el sistema se abandona del reposo con θ = 60o , calcule la velocidad del centro del disco cuando θ = 0o . El disco rueda sin deslizar. 7. (C1-2014). Cuando la cuerda de

longitud l = 0,8m que sostiene la esfera est´a en un a´ngulo α = 30o , la esfera de 0,5kg tiene una rapidez de 1,2m/s (ver figura 3.7). El coeficiente de restituci´ on entre la esfera A y la cu˜ na B de 0,9kg es 0,7. La constante del resorte tiene un valor de 500N/m y θ = 20o . Determine la velocidad de A y B inmediatamente despu´es del impacto.

Figura 3.7: 8. El disco de masa M y radio R

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Gabriel Barrientos R. de la figura 4.15 se suelta desde la posici´ on inicial en que est´a detenido y en contacto con el suelo. En esa posici´ on, un tope del disco ubicado a una distancia d del centro comprime un resorte vertical una distancia l0 /3, donde l0 es su largo natural ((AC) es horizontal). El disco NO est´a fijo al resorte (es decir, se pueden separar). Determine: (a) La altura m´axima que alcanza el disco y (b) La velocidad (lineal y angular) del disco cuando alcanza su altura m´axima 2 ; Datos: IC,xx = IC,yy = MR 4 IC,zz =

MR 2 2

Figura 3.8:

Cap´ıtulo 4

Impacto

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Gabriel Barrientos R. 1. Los carros 1 y 3 son similares y est´ an r´ıgidamente unidos por una barra, tal que la masa total entre ambos es de 4 kg. El carro 2 tiene una masa de 1 kg. Inicialmente 1 y 3 tienen una velocidad de 5 m/s y 2 est´ a detenido, como se muestra en la figura. Desprecie el roce. (a) Suponga que el c...