Ejercicios resueltos - Análisis de sistemas de control PDF

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Ejercicios resueltos, útiles para repasar para el parcial....

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Análisis de Sistemas de Control Ejercicios resueltos - 2016-1 Nicanor Quijano Silva, Oscar Iván Torres

Universidad de los Andes

Contacto: [email protected] Fecha de entrega: Marzo 17 Representación de sistemas en espacio de estados

1.

I Considere el siguiente sistema en espacio de estado     1 −2 1 0     x˙ =  0 −6 1  x +  0 u 0 0 0 −1 h i y= 1 0 0 x h iT Encuentre la función de transferencia del sistema y resuelva para y(t) con x(0) = 0 0 0 y u(t) es el escalón unitario. (Use el método de solución de la Ayuda) Ayuda: recuerde que la solución de la ecuación de estado está dada por x(s) = Φ (s)(x(0) + Bu), donde Φ (s) es la Matriz de Transición de Estados.

Linealización

2. Control del VIH/SIDA El virus VIH inflige su daño al infectar células CD4 + T sanas (un tipo de célula blanca de la sangre) que son necesarias para combatir la infección. A medida que el virus se incrusta en una célula T y el sistema inmune produce más de estas células para combatir la infección, el virus se ira propagando. A continuación se desarrolla un modelo simple para este fenómeno, remítase a la figura 1. Normalmente las células T son producidas a una tasa s y mueren a una tasa d. El virus VIH está presente en el flujo sanguíneo en el individuo infectado. Estos virus en el flujo sanguíneo, llamados virus libres, infectan células sanas T a una tasa β. Además, los virus se reproducen a través del proceso de multiplicación de la célula T o de otra manera a una tasa k. Los virus libres mueren a una tasa c. Células T infectadas mueren a una tasa µ. Un simple modelo matemático que ilustra estas interacciones está dado por las siguientes ecuaciones (Craig, 2004) dT dt = s − dT − βT v dTi dt = βT v − µTi dv dt = kTi − cv

Donde T es el número de células T sanas, Ti es el número de células T infectadas y v es el número de virus libres. Taller № 2

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Figure 1: Esquema ilustrativo del modelo (©IEEE 2014) • Encuentre los puntos de equilibrio de este sistema. Actualmente aún no se conoce una cura para la enfermedad, y el VIH no puede ser completamente eliminado en un individuo infectado. La combinación de medicinas puede ser utilizada para mantener el virus en niveles bajos, que ayuda a prevenir que el SIDA se desarrolle. Un tratamiento común para el VIH es la administración de dos tipos de drogas: Inhibidores de la Transcriptasa Inversa (RTIs) e Inhibidores de la Proteasa (PIs). La cantidad en la que cada una de estas drogas es suministrada varía de acuerdo a la cantidad de virus del VIH hay en el cuerpo (Craig, 2004). Si se aplica este tratamiento, el modelo anterior puede ser modificado de la siguiente manera (Craig, 2004) dT dt = s − dT − (1 − u1 )βTv dTi dt = (1 − u1 )βTv − µTi dv dt = (1 − u2 )kTi − cv

Donde 0 ≤ u1 ≤ 1, 0 ≤ u2 ≤ 1 representan la efectividad del RTI y el PI, respectivamente. • Si u10 = u20 = 0. ¿Cuáles son los puntos de equilibrio del sistema? • Linealice el sistema alrededor del punto dado a continuación, considerando que es de interés saber el número de virus libres de VIH. cµ (T0 , Ti , v0 ) = ( βk ,

s µ

−

cd sk βk , cµ

− dβ )

Demuestre que el sistema resultante está dado por     βT0 v0 0 −(d + βv0 ) 0 −βT0     x˙ =  βv0 −µ βT0  x +  −βT0 v0 0 u 0 −kTi 0 k −c h i y= 0 0 1 x Sistemas de segundo orden

3. I Encuentre la función de transferencia para cada una de las respuestas al escalón unitario presentadas de la figura 2 a la 4 Taller № 2

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Figure 2: Primera respuesta para el ejercicio 5.II

Figure 3: Segunda respuesta para el ejercicio 5.II

Taller № 2

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Figure 4: Tercera respuesta para el ejercicio 5.II

Figure 5: Sistema para el ejercicio 5 4. El sistema de la figura 5 puede ser modelado por medio de la siguiente función de transferencia. X(s) T (s)

=

4 (5+4M )s2 +8s+K

Encuentre un valor para M y K de tal manera que x(t) tenga un Máximo Pico Porcentual del 10% y un tiempo de establecimiento de 15 segundos (utilice el criterio del 2%). Verifique que su respuesta sea correcta ya por medio de una simulación o por medio del comando stepinf o de MATLAB Estabillidad

5. I Utilice el criterio de Routh-Hurwitz para encontrar el rango de K para el cual el sistema de la figura 6 sea estable, el valor de K para que el sistema oscile y la frecuencia de oscilación del sistema para dicho valor. II Se tiene el siguiente sistema en representación en espacio de estado

Taller № 2

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Figure 6: Tercera respuesta para el ejercicio 6.II    1 0 1 0     x˙ =  0 1 3  x +  0 u 0 −3 −h4 −5 i y= 1 1 0 x 

Determine si el sistema es estable.

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