Ejercicios resueltos basados en el principio de Trabajo PDF

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Ejercicios resueltos de Dinámica basados en el principio de Trabajo, sacados de diferentes libros, espero te sirvan. Explico a detalle el procedimiento y coloco cada paso....

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DINÁMICA

Evaluación de sesión.

Tema:

Objetivo específico: Deducir ecuaciones para calcular el trabajo y energía cinética o potencial, a partir de su definición: 𝑑𝑊 ≡ 𝐹 · 𝑑𝑟. Nombre del estudiante: Gustavo Uriel Lazo Espejel TRABAJO.

Entrega# 10. Fecha: 30 de junio del 2021 Grupo: IAM 37B

Instrucciones: Conteste correctamente lo que se indica, redactando los pasos específicos del procedimiento. 1. Demuestre que el trabajo de una fuerza constante es 𝑊 = 𝐹 · ∆𝑟: 

Partiendo de la definición de trabajo: 𝑊

󰇍 · 𝑑𝑟 󰇍 𝑑𝑊 ≡ 𝐹 𝑟󰇍𝑓󰇍 󰇍󰇍

󰇍󰇍 · 𝑑𝑟 󰇍 ∫ 𝑑𝑊 = ∫ 𝐹



𝑊0

Considerando a la fuerza como una constante:

󰇍󰇍𝑟󰇍𝑖

󰇍󰇍󰇍 𝑟𝑓

𝑊 = 𝐹 ∫ 𝑑𝑟 → 𝑊 = 𝐹[󰇍𝑟󰇍𝑓 − 󰇍𝑟𝑖] 

󰇍󰇍 𝑟𝑖

Recordamos la fórmula del producto punto y cambiamos esa diferencia por un símbolo matemático: 𝑾 = 󰇍𝑭 ∙ ∆𝒓󰇍

2. Demuestre que el trabajo de una fuerza constante paralela al desplazamiento es: 𝑊 = 𝐹𝑑 

Partiendo de la definición de trabajo cuando la fuerza es constante, transformamos nuestros vectores en escalares con la fórmula de producto punto a través de sus normas respectivas: 𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑟 󰇍 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴 ∙ 𝐵

||𝐹|| = 𝐹 ∧ ||∆𝑟|| = 𝑑 

Considerando que la fuerza es paralela al desplazamiento, sustituimos nuestros valores: 𝑊 = 𝐹𝑑𝑐𝑜𝑠(0°) → 𝑾 = 𝑭𝒅

3. Demuestre que el trabajo de una fuerza constante NO paralela al desplazamiento es: 𝑊 = 𝐹𝑑 cos 𝛼 

Realizamos el mismo procedimiento hasta llegar a la siguiente ecuación: 𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑟



Si partimos de la mismo producto punto 𝐴 ∙ 𝐵󰇍 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼, y consideramos que la fuerza ya no es paralela al desplazamiento, entonces ya existe un angulo de inclinación que afecta directamente a la función: → 𝑾 = 𝑭𝒅𝒄𝒐𝒔𝜶

4. Utilizando la definición de trabajo y cálculo integral, calcule una ecuación para el trabajo debido al peso, a la fuerza gravitacional, a la fuerza hecha por un resorte y a la fuerza aplicada a un resorte. Ec. Para el trabajo debido al peso  · 𝑑𝑟󰇍 𝑑𝑊 ≡ 󰇍𝐹 𝑟󰇍𝑓󰇍 󰇍󰇍

𝑊

󰇍󰇍𝑟󰇍 𝑓󰇍

∫ 𝑑𝑊 = ∫ 𝐹 · 𝑑𝑟󰇍 → 𝑊 = 𝐹 ∫ 𝑑𝑟 󰇍 → 𝑊 = 𝐹[𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 ] 󰇍𝑟𝑖

𝑊0

󰇍𝑟𝑖

𝑊 = 𝑚𝑎[𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 ] → 𝑊 = − 𝑚𝑔[𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 ] → 𝑾 = −𝒎𝒈𝒉

𝑊

Ec. Para la fuerza gravitacional  · 𝑑𝑟󰇍 𝑑𝑊 ≡ 󰇍𝐹 𝑟󰇍𝑓󰇍 󰇍󰇍

󰇍 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 󰇍 ∶ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴 ∙ 𝐵 ∫ 𝑑𝑊 = 𝐹 ∙ ∫ 𝑑𝑟 𝑊0

𝑟󰇍󰇍󰇍𝑓󰇍

󰇍󰇍𝑟𝑖

𝑟󰇍󰇍󰇍𝑓󰇍

𝑟󰇍󰇍󰇍𝑓󰇍

𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑟 cos(180°) → 𝑊 = ∫ −𝐹𝑑𝑟 → 𝑊 = − ∫ 󰇍𝑟𝑖

󰇍󰇍𝑟󰇍𝑖

𝑊 = −𝐺𝑚𝐴 𝑚𝐵 [−

𝑊

󰇍𝛿 𝑓

󰇍𝑟𝑖󰇍

𝐺𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑟2

𝑟󰇍𝑓󰇍 󰇍󰇍

𝑑𝑟 → 𝑊 = −𝐺𝑚𝐴 𝑚𝐵 ∫

󰇍𝑟𝑖

1 1 𝑮𝒎𝑨 𝒎𝑩 + ]→𝑾= 𝑹 𝑟𝑓 𝑟𝑖

Ec. Para la fuerza echa por un resorte  · 𝑑𝑟󰇍 𝑑𝑊 ≡ 󰇍𝐹 𝑟󰇍𝑓󰇍 󰇍󰇍

󰇍 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 󰇍 ∶ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴 ∙ 𝐵 ∫ 𝑑𝑊 = 𝐹 ∙ ∫ 𝑑𝑟 𝑊0

󰇍󰇍𝑟𝑖

𝛿

𝛿2 𝑓 𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝛿 cos(180°) → 𝑊 = ∫ −𝐾𝛿𝑑𝛿 → 𝑊 = −𝐾 ∫ 𝛿𝑑𝛿 → 𝑊 = −𝐾 [ ] 2 𝛿 󰇍󰇍𝛿 𝛿𝑖 𝑖 𝛿𝑓

𝑖

𝟏 𝛿𝑓2 𝛿𝑖2 𝑊 = −𝐾 [ − ] → 𝑾 = − 𝑲(𝜹𝒇𝟐 − 𝜹𝟐𝒊 ) 2 2 𝟐

Ec. Para la fuerza aplicada a un resorte

𝑊

󰇍𝛿 𝑓

𝑟󰇍𝑓󰇍 󰇍󰇍

 · 𝑑𝑟󰇍 𝑑𝑊 ≡ 󰇍𝐹

󰇍 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫ 𝑑𝑊 = 𝐹 ∙ ∫ 𝑑𝑟 󰇍 ∶ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴 ∙ 𝐵 󰇍󰇍𝑟𝑖

𝑊0

𝛿𝑖

𝛿𝑖 𝛿2 𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝛿 cos(180°) → 𝑊 = − ∫ −𝐾𝛿𝑑𝛿 → 𝑊 = 𝐾 ∫ 𝛿𝑑𝛿 → 𝑊 = 𝐾 [ ] 2 𝛿 󰇍 𝑖 𝛿 𝛿𝑓

𝛿𝑖2

𝑊 = 𝐾[

2

−

𝛿𝑓2 2

𝟏 ] → 𝑾 = 𝑲(𝜹𝒊𝟐 − 𝜹𝒇𝟐 ) 𝟐

5. Demuestre matemáticamente el teorema de trabajo y energía cinética. 𝑊 = ∆𝐾 𝑑𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝑊 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝑣 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝑊 = 𝑚 𝑑𝑡 Por la propiedad asociativa se puede realizar lo siguiente: 𝑑𝑟 𝑑𝑊 = 𝑚𝑑𝑣 ∙ 𝑑𝑡

𝑓

1

𝑟2

𝑑𝑟

𝑑𝑊 = 𝑚𝑑𝑣 ∙ 𝑣 󰇍 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴 ∙ 𝐵 𝑑𝑊 = 𝑚𝑣𝑑𝑣𝑐𝑜𝑠0 𝑑𝑊 = 𝑚𝑣𝑑𝑣 𝑊

𝑣

∫ 𝑑𝑊 = 𝑚 ∫ 𝑣𝑑𝑣 0

𝑊=

𝑣0 1 𝑣 𝑚 𝑣 2|

2

𝑣0

1 1 𝑊 = 𝑚𝑣 2 − 𝑚𝑣0 2 2 2 𝑊 = 𝐾 − 𝐾0 𝑾 = ∆𝑲 6. Demuestre que la energía potencial gravitacional está dada por: Forma Física: 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ De las ecuaciones de tiro vertical usaremos las siguientes formulas: 𝑣 =𝑔∗𝑡 1 ℎ = 𝑔𝑡 2 2  Despejando t en la primera fórmula y sustituyéndola, tenemos: 𝑣 1 𝑣 2 𝑡 = → ℎ = 𝑔( ) 𝑔 2 𝑔 2 𝑣 𝑣2 2ℎ = 𝑔 ( 2 ) → 2ℎ = 𝑔 𝑔 2 2ℎ𝑔 = 𝑣 𝒗 = √𝟐𝒈𝒉  La ecuación anterior es la velocidad con la que llegará al suelo en caída libre desde la altura h.  La energía cinética que adquirirá al llegar al suelo el cuerpo si se soltase desde la altura h sería: 1 𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2 2  Sustituyendo dicha velocidad en la formula en Energía cinética, tendremos: 1 2 1 𝐸𝑐 = 𝑚(√2𝑔ℎ) = 𝑚2𝑔ℎ 2 2 𝑼 = 𝒎𝒈𝒉 Forma Matemática:  Partiendo de la definición de trabajo: 

󰇍𝑟󰇍𝑓

󰇍󰇍 · 𝑑𝑟󰇍 → 𝑈 = − ∫ 𝐹 󰇍 𝑑𝑟󰇍 𝑑𝑊 ≡ 𝐹



󰇍𝑟󰇍𝑖

Suponiendo que la fuerza es constante y que la fuerza de gravedad es negativa en el eje Y: 󰇍󰇍󰇍 𝑟󰇍 𝑓

𝑈 = −𝐹 ∫ 𝑑𝑟 → 𝑈 = −𝑚(−𝑔)[𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 ] 󰇍𝑟󰇍𝑖



Como se trata de un movimiento de tipo tiro vertical, la posición se basa en el eje Y, por lo que se reescribe como altura: 𝑼 = 𝒎𝒈𝒉

7. Demuestre que la energía potencial de un sistema de dos masas que ejercen una fuerza gravitacional entre ellas está dada por 𝑈=− 

𝐺𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑅

Para un sistema de dos masas del que nos valemos para calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio para llevar una partícula suponiendo que va desde el infinito hasta el punto genérico A. 𝑑𝑊 ≡ 𝐹 · 𝑑𝑟 𝑊∞→𝐴 = −∆𝐸𝑃 𝑊∞→𝐴 = 𝐸𝑃 − 𝐸𝑃𝐴 𝑊

𝑅

𝑊0 𝑅

∞

𝑈 = − ∫ 𝑊 = − ∫ 𝐹 · 𝑑𝑟 𝐺𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑈 = −∫ 𝑟 · 𝑑𝑟 𝑟 𝑟2 ∞ 1 𝑅 ] 𝑈 = −[𝐺𝑚𝐴 𝑚𝐵 [ ] 𝑟 ∞ 𝑮𝒎𝑨 𝒎𝑩 𝑼=− 𝑹

8. Demuestre que la energía potencial aplicada por un resorte es 𝑈 = 

1 𝑘(𝛿22 2

Usamos la definición de potencia:

− 𝛿12 ):

󰇍𝑟󰇍𝑓

󰇍󰇍 · 𝑑𝑟󰇍 → 𝑈 = − ∫ 𝐹 󰇍 𝑑𝑟󰇍 𝑑𝑊 ≡ 𝐹



󰇍𝑟󰇍𝑖

Consideramos que la fuerza aplicada es en dirección opuesta al desplazamiento del resorte: 󰇍󰇍 󰇍𝛿󰇍󰇍 𝑓

𝑈 = − ∫ (−𝐹) 𝑑𝛿 󰇍𝛿󰇍𝑖



Usando la ley de Hooke sustiuimos a la fuerza por: 𝐹 = −𝑘𝛿 󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

𝛿

𝛿𝑓 𝛿𝑓 𝛿𝑓2 𝛿 2 𝛿2 𝑓 ∴ 𝑈 = − ∫ (−𝑘𝛿)𝑑𝛿 → 𝑈 = 𝑘 ∫ 𝛿 𝑑𝛿 → 𝑈 = 𝑘 [ ] → 𝑈 = 𝑘 [ − 𝑖 ] 2 2 2 𝛿 󰇍𝛿󰇍𝑖 󰇍𝛿󰇍𝑖 𝑖



Por último, simplificamos la ecuación y queda demostrado la función inicial: 𝟏 𝑼 = 𝒌(𝜹𝟐𝟐 − 𝜹𝟏𝟐 ) 𝟐...