Ejercicios resueltos de Matematica II PDF

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Ejercicios Resueltos de Integración Doble y mas ...

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

FUNCIONES DE ASIGNATURA: Cálculo ll

DOCENTE: INTEGRANTES: SEMESTRE ACADÉMICO:

-Pimentel, 22 de Mayo 2019-Pimentel, 22 de Mayo 2019-

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁLCULO 2 TRABAJO FUNCIONES DE 2 VARIABLES

1. Determine el dominio, graficarlo y calcular f(a, b) y f(p, q) para las siguientes funciones, donde (a, b) y (p, q) pertenecen al dominio de f: 1.1. f ( x, y) 3 x  2 y  5 Dom( f ) {( x, y)  R2 / x e y  R}

Dom( f )  R2

1.2. f ( x, y) 3  ln(3 x  y  2) Dom( f ) {( x , y)  R 2 / 3 x  y  2  0}

Dom( f ) {( x, y)R 2 / y  2  3x}

1.3.

f ( x, y )  6  2 x  y Dom( f ) {( x, y)  R / 6  2 x  y 0} 2

Dom( f ) {( x, y)  R 2 / 2 x  y 6}

1.4. f ( x , y )  y cos x Dom( f ) {( x, y )  R 2 / y cos x 0}

Dom( f ) {( x, y )  R 2 / ( y 0  cos x 0)  ( y 0  cos x 0)}

1.5. f ( x, y) e

x2  y

Dom( f ) {( x, y)  R 2 / x 2  y 0} Dom( f ) {( x, y)  R 2 / y x 2}

1.6

f ( x, y ) 

1 1 x2  y2

Dom( f ) {( x, y)  R 2 /1  x 2  y 2  0} Dom( f ) {( x, y  R2 / x2  y 2  1}

1.7

f ( x, y ) ln(

x 1 ) y

Dom ( f ) {(x , y )  R / 2

x 1  0} y

Dom ( f ) {(x , y )  R 2 / (x  1  0  y  0)  (x  1  0  y  0)}

1.8

f ( x, y ) 

x y xy Dom ( f ) {( x , y )  R 2 / xy  0} Dom ( f ) {( x, y )  R 2 / (x  0)  ( y 0)}

f  x, y   y  x 

1.9.

Domf { x, y   R 2 / x 0  y 0}

f  x, y  arcsen

1.10.

x  x y

Domf {(x , y )  R2 / [



Si:

  , ]  x  y  0} 2 2

  x y     x  y 0 2 x y x y 2

xy 0 

  (x  y )  x  (x  y ) 2 2

 y (  2)(x )  (2   )( x )  y x  y  0    ( x  y ) 2 x  2 x  ( x  y )   y (2   )( x)  (2   )( x)  y

Entonces:

  2  2  Domf  ( x, y)  R2 / ( y   x  y   ( x)  y         2    2   ( x)  y   ( y   x  y    ( x)      

2. Demostrar que los limites no existen: 2.a)

f ( x, y ) 

x2 , en(0,0) x  y2 2

x2 1 1 lim  2   x 0 2x x 0 2 2

y  x  lim



x2 1 1  lim  x  0 5x2 x0 5 5

y  2x  lim

  



2.b)

lim

( x, y)  (0,0)

f ( x, y) 

x 4 3 x 2 y 2  2 xy 3 , en(0, 0) (x 2  y 2 ) 2

y x  lim 

x2 x2  y2

x 0

x 4  12 x 4  2 x 4 6x4 6 3 lim   2 4  x 0 4x 4 2 (2x 2 )

  ( x) 

x 4 12 x 4 16 x 4 29x 4 29 lim   x 0 x  0 25x 4 (x 2  4x 2 ) 2 25

y  2x  lim



 



lim

( x, y)  (0,0)

f ( x, y ) 

2.c)

y x  lim x 0



x 4 3 x 2 y 2  2 xy 3 (x 2  y 2 )

xy 3 , en(0,0) x2  y 6 x4 x2 lim 0 6 x 0 1  x 4 x y 2

x  y 3  lim

y6 y6 1 lim   y6  y 6 x0 2 y 6 2

 

xy 3 x2  y6

x 0





lim

( x, y) (0,0)

3. Utilizando la definición de limite demuestre los siguientes límites:

3.a )  

lim ( x 2  y 2  2x  4 y ) 10

(x ,y ) (3,1)

e 0,  0 / ( x, y)  ( x0, y0 )    f ( x, y)  L  e

Comenzamoscon:

f ( x, y )  L

 x2  y2 2 x  4 y  10  x2 2 x  5  ( y2  4 y  5)

 ( x  5)( x  3)  ( y  1)( y  5)  

( x  3)  ( x, y)  (3,1)  1   1  x  3 1 7  x  5  9 9  7  x  5  9 ( y  1)  ( x, y)  (3,1)   1   1  y 1  1 5  y  5  7 7  5  y  5  7 e (x  5) (x  3)  ( y  1) (y  5)  (x  5)  (y  5)  9  7 16 e   16

3.b )

lim

2 2 (3 x  4 y )  4

( x , y ) (2, 2)

   

f ( x, y)  L 3 x2  4 y2 4 3 x2 12  4 y2 16) 3( x2  4)  4( y2  4) 3 ( x  2) ( x  2)  4 ( y  2) ( y  2) ( x  2)   1   1  x  2  1 3  x  2  5  5  3  x 2 5

( y  2)   1   1  y  2  1 5  y 2   2 y 2  5

3 ( x  2) 4 ( y  2)  15 ( x  2)  20 ( y  2)  15  20 35  e  





3.c )

lim ( x 2  2x  y )  4

(x ,y ) ( 2,4)

f ( x , y )  L  x 2  2x  y  4    

( x  2)  ( x 4)  ( y  4) ( x  2) ( x 2)  ( x  2) ( y  4)

( x  2)   1   1  x  2  1 1   1  x  2  1 ( x)   1  1 x  1 3 x 4 5 5 3 x 4 5

 ( x  4)    5   6  e   

e 6

e 35

d) 3.

Lim

( x , y )   0,0 

| f ( x, y ) | |

x3  y3 0 x2  y 2 x3  y 3 | x2 | | y2 | x y | | | ( ) | | ( ) | x |  | y |   x2  y 2 x2  y2 x2  y2

0 x 2  y 2  x 2  y 2 0  y 2  x 2 x 2  y 2 | x |  | y |    2 e



e 2

4. Analice los puntos en los que la función es continua

3 x 3 4 y 3 , Si ( x, y) (0, 0) a ) f (x , y )  x 2  y 2 Si (0,0) , ( x, y) (0,0)

Veamos si existe:

3 x3  4 y3  0? ( x , y )  (0,0) x2  y2 lim

Desarrollo:

4.a)

|

3 x3  4 y3 3 | x | x2 4 | y | y 2     3 | x | 4 | y | 0 | x2  y2 x2  y 2 x 2  y 2 2

| x |  x2  y 2  x 2 x 2  y 2 

x 1 2 x y2

2 2 2 2 2 | y | x  y  y x  y 

y2 1 x2 y2

|

3x3  4 y3 |3 | x |  4 | y | 3  4  7 e x2  y2



e 7

3 x3  4 y3 0 ( x , y )  (0,0) x 2  y 2 lim

Luego f es continua en (0,0)

4.b)

x 2 Sen( x 2  y 2) x2  y2 f ( x, y) 

, Si ( x, y) (0,0) , Si ( x, y) (0,0)

0

Desarrollo:

x2 sin( x2  y2 ) 0 2 2 ( x , y )  (0,0) x y lim

sin x  x  tan x

1

x 1  sin x cos x

cos x 

sin x 1 x

 | sin x || x |,x  C  0,

  0,1.7 2

| sin x || x |,x  0,1.7 | x | | ( x , y ) |   1  | sin(x2  y2 ) x2  y2



2 2 | sin(x  y ) 1 2 2 x y

donde :|

  e

x2 sin( x2  y2 ) |x2 1 | x |    e 2 2 x y

5. Obtener todas las derivadas parciales de primer orden.

5.1

z=x 2 y 3 +2 xy

zx 2 xy 3  2 y z y 3 y 2  2 x

z= 5.2

x y − y 2 x2

1 1 2y  2 yx  3  2  3 2 y y x 1  2x 1 z y  2 xy  3  2  2  2 x y x zx 

5.3

z=sen 2x cos 4 xy

z x 2cos 2 x cos 4xy  4 y sin 2x sin 4xy z y  4 xsen 2 x sin 4xy

5.4

x z=arctan ( ) y

1 y y zx   2 2 1  ( x )2 x  y y  x

2 x y zy   2 2 x  y2 1 ( x ) y

5.5

z=e x / y +e y / x

x 1 1 x y y y y z x e y ( )  2 e x  e y  2 e x y x y x x x 1 y zy e y ( 2 )  e x y x

5.6

 z ln   

x2  y2  x  x 2  y 2  x 

x x2  y 2

zx 

1

zx 

x y 2

2



x2  y 2





x2  y 2  x

 

x y x

ln

x

 1

x2 y 2  x





ln



x 2 y 2





1

x 2 y 2  x 1

x  y2 2

2

zx 

x2 y2

y x  y2 2

zy 

zy 

x2 y2  x



y x y  x 2

2



x y 2

5.7) y y x Zx   y x x2  y2 1 ( )2 x 1 x x Zy   2 y x  y2 1 ( )2 x 



2

y 2

2





x2  y 2  x x

5.8) y

f ( x, y )  (t 2  1)dt x

x

fx 

d 2 2 2 ( (t  1)dt )  (x  1) 1 x dx y y

d fy  (t2  1) dt  y2  1 dy x

5.9) y

x

f ( x, y) (2 t 1) dt  (2 t  1) dt x

y

fx  (2 x 1) (2 x  1) 2 5.10) fy 2 y 1  (2 y  1) 2 g ( x, y )  ln xy

1 g ( x, y )  (ln x  ln y ) 2 1 gx  2x 1 gy  2y

6  a) x y  xy  y z 2

2

2

2 2 2 E (x , y ) x y  xy  y  z 0 dE (2 xy  y 2 ) dy  dx y 2  2 xy   2  2 dE dx x  2 xy  2 y x  2 xy  2 y dy

y' 

y 2  2 xy x2  2 xy  2 y

6. Derivar implícitamente:

6  b) y 3  y 2  5y  x 2  4 0 E ( x, y)  y 3  y 2  5 y  x 2  4 0 dy dE 2x   2 dx 3y  2y  5 dx dE dy

6  c) a  x 6  2x 3 y  y 7 x  10  0 E ( x, y) ax6  2 x3 y  y7 x  10 dy dE  6ax5  6 x2 y  y7   dx dx 2 x3  7 y 6 x dE dy

7 Hallar la pendiente de la curva que se obtiene por intersección de la superficie y el plano dado en el punto indicado

7.1

SUPERFICIE : z  49  x2  42 plano : x  2 puntos : (2,3,6) Desarrollo :  x 2 z  49  4  y 2 z  45  y 2 dz y  dy 45  y 2 dz 3 1 m  (3)   dy 45  9 2

m

7.2

SUPERFICIE : z x  4 y plano : y 1 puntos: (2,1,8) 2

2

Desarrollo : y 1  : SUPERFICIE 2 z x  4 2 dz2 z m 9 x 2y x dx: y  3 plano dz : (1,3,0) mpuntos  (8) 4 dx

Desarrollo : 7.3  y 3

z 9 x2  9 dz m  18 x dx dz m  (1) 18 dx

7.4

SUPERFICIE : z 9 x2  y2 plano : x 1 puntos: (1,3,0) Desarrollo :  x 1 z 9  y2 dz  2 y dy dz m  (3)  6 dy m

8. Obtener fxx, fyy, fxy, fyx. 8-1

8-2

8-3

8-4

8-5

8-6

9. Averiguar si c/función dada satisface la:

a) ECUACIÓN DE LAPLACE

9-1

9-2

9-3

b) ECUACION DE ONDAS

9-4

z=cos( 4 x−4 ct )

9.5.

z x =−4 sin ( 4 x+4 ct ) → z xx=−16 cos (4 x + 4 ct ) z t=−4 c sin (4 x + 4 ct ) → z tt =−16 c 2 cos(4 x +4 ct ) z tt −c 2 z xx =−16 c2 cos (4 x+4 ct )− c2 (−16 ) cos ( 4 x+ 4 ct )=0

9.6.

z=ln ( x +ct )

zx=

−1 1 → z xx= x+ ct (x +ct)2 2

z t=

c −c → z tt = x +ct (x+ct)2 2

2 −c 2 c =0 z tt −c z xx = + 2 2 (x +ct ) (x +ct)

9.7.

z=sin ct∗sin wx

z x =w sin ct∗cos wx → z xx =−w 2 sin ct ∗sin wx z t=c cos ct∗sin wx → z tt =−c 2 sin ct ∗sin wx z tt −c 2 z xx =− c2 sin ct ∗sin wx+w 2 c 2 sin ct∗sin wx=( w2−1) sin ct∗sin wx ≠ 0

C) ECUACION DEL CALOR

9.8.

x z=e−t cos ( ) c

zx=

() x cos( ) c

−t −t x −e −e x cos → z xx= 2 cos( ) c c c c

z t=−e−t

z t−c2 z xx =−e−t cos

9.9.

zx=

( xc ) + e cos( xc )=0 −t

x z=e−t sin( ) c

−t

−t

−e x e x cos( )→ z xx =z xx = 2 sin( ) c c c c

x −t z t=−e sin( ) c z t−c2 z xx =−e−t sin

( xc ) +e sin( xc )=0 −t

10. En los siguientes ejercicios:

a) Evaluar f(1,2) y f(1.05,2.1) y calcular desviación Z b) Utilizar la diferencial total dz para aproximar

10.1.

Z

2 2 f ( x , y )=9−x − y

z=f (1 , 2 ) =9 −12 −22 =4 z=f (1.05 , 2.1 )= 9− (1.05 ) − (2.1 ) =9−1.1025 −4.41 =9−5.5125=3.4875 2

2

∆ z = f (1.05 , 2.1 )−f (1 ,2 ) =3.4875−4=0.5125

∂f =

∂f ∂f ∂y ∂ x+ ∂y ∂x

∆ x=∂ x=0.05

∆ y=∂ y=0.1

∂f ∂f =2 x ; =−2 y ∂x ∂y ∂ f =(−2 x )∆ x+(−2 y )∆ y ∂ f ( 1 ,2 )= ( −2) ( 0.05 )−4 ( 0.1 )=− 0.1−0.4 =− 0.5

10.2

2 2 f ( x , y ) =√ x + y

f ( 1 , 2 )=√ 1 + 2 = √5=2.2235 2

2

f ( 1.05 , 2.1)= √ ( 1.05) +(2.1 )2=2.3479 2

∆ z=2.3479 −2.2235= 0.1244 x ∂z y ∂z = 2 2; = 2 2 ∂ x √x + y ∂ y √ x + y ∂ f ( x , y )= ∂ f ( 1 ,2 )=

10.3

x∆x

√x + y 2

2

+

y∆ y √ x2 + y2

1 2 0.25 0.25 = √ 5=0.05 √ 5 (0.05) + ( 0.1)= 5 √5 √5 √5

f ( x , y )=

x y

1 f ( 1 , 2 )= =0.5 2 f ( 1.05 , 2.1 )=

1.05 =0.5 2.1

−x 1 f x= ; f y= 2 y y

−x 1 ∂ f ( x , y )= ∂ x+( 2 ∂ y ) y y 1 1 ∂ f ( 1 ,2 )= ( 0.05 ) − (0.1) =0.025−0.025=0 2 4

11. Hallar z=f (x , y ) y utilizar la diferencia total para aproximar la cantidad.

11.1

 5.05 

2

  3.1  2

5 3 2

2

p   5, 3 

f  x, y   x 2  y 2

x 0, 05 y 0,1

df  x , y   df 5,3  



11.2

f f x y dx  dy  dx  dy 2 2 2 x y x y x  y2 5 3 0.25 0.3 0.55  0.05    0.1    34 34 34 34 

 2.03 2  1  8.9 3  2 2  1  9  3 p   2,9  f  x, y  x (1  y ) 2

3

x 0,03 y  0,1

f 3 2 x 1  y  x

f 2 x 2 3 1  y  y

df  x , y  2x  1 y  dx  3x 2  1 y  dy 3

2

df  2,9  4  10   0,03   3  2   10    0,1 3

2

2

4000  0,03  1200   0,1  120  120 0

12. Aplica la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales requeridas.

12.1

w x 2  y 2  z 2 , x st , y s cost , z ssent ,

w w , cuando s 0, t 1 s t

x 0, y 0, z 0 w w x  w  y  w  z    s x s y s z  s  2 x  t   2 y  cos t   2 z  sent   2 xt  2 y cos t  2 zsent w  0,1 2  0  1   2  0  cos1  2 0  sen1 0 s w w x  w  y  w  z    t x t y t z t  2 xs  2 y   ssent   2 z  s cos t  w  0,1 2  0   0   2  0    0   sen1   2 0 t

 0  cos1  0

w x 2  y 2  z 2 ,x st , y est , z t 2,

w w , , cuando s 0,t 1 s t

12.2 x 0, y  e0 1, z 12 1 w w x w y w z    s x s y s      z s  2 x  t   2 y  e stt   2z  0  w 0 (0,1) 0  2  e  1  2  1  0  2 s w w x w y w z    t x t y t z t  2 x  s   2 y  se st   2 z  2t  w  0,1 0  2  0 e0  2  2 4 t

12.3

w y3  3x2 y , x e s , y e t ,

w w , , cuando s  0, t  1 s t

x e0 1, y e1 e ws wx xs  wy y s   6 xy   es    3 y 2  3 x 2   0  ws  0,1  6  1  e  e0  0  6e wt wx xt  wy yt   6 xy   0    3 y 2  3 x 2   et  wt  0,1  0   3 e 2  3  e 3e 3  3e

13. Aplicar derivada implícita para obtener las derivadas parciales de primer orden De z .

2 2 2 13.1 x  y  z 25

E  x , y , z   x 2  y 2  z 2  25  0 Zx  Zy 

 E x   2 x  x   Ez z 2z  Ey Ez



  2y   y  z 2z

x 13.2 z e sen( y  z)

E  x , y , z   z  e x sen  y  z  0 Zx  Zy 

13.3

 e x sen  y  z   Ex  x Ez 1  e cos  y  z   Ey Ez



 e x cos  y  z  1 ex cos y  z

xz  yz  xy 0 E  x , y , z   xz  yz  xy 0 Zx  Zy 

13.4

 Ex   z  y   z  y   Ez x y x y  Ey Ez



  z  x x y



z x x y

tan( x  y )  tan( y  z ) 1

E  x, y, z  tan  x  y  tan  y  z   1 Zx  Zy 

2  E x  sec  x  y   sec2  y  z  Ez

 Ey Ez



 sec 2  x  y   sec 2  y  z  2 sec  y  z 

14. Hallar el gradiente de las siguientes funciones.

2

2

14.1 f (x , y)=4 x −3 xy+2 y  f f  f ( p )  ( p ), ( p )  (8 x  3 y ,  3y  4 y ) y  x 

x

14.2 g( x, y )=e tan y  g g  g ( p )  ,   e x tan y , e x sec2 y   x y 

 14.3 h( x , y )= y cos( x− y )  h h  h  p   ,    ysen ( x  y ),cos(x  y )  ysen (x  y )   x y  2

−x 14.4 g( x, y )= ye 2 2  g  g g ( p )  ( p ), ( p )    2xye  x ,e  x y  x 



√ 3

2

2



14.5 f (x , y )=ln x + y 1  f ln(x 2  y 2 ) 3   f    2x 2y f , f ( p)  ( p), ( p )   2 2 2 2  y  x   3(x  y ) 3(x  y )  

14.6

h( x , y )= y √ x

 h h   y  h (p )   p  , (p )  , x y  x  2 x 

15. Hallar la derivada direccional de cada una de las funciones, en las direcciones indicadas.

f (x , y)=3 x−6 y , v=(

1 1 , ) √2 √2

15.1 f  f f  ( p) f ( p).v  ( p ), ( p )  v y  x    1  3 6 9 9 2  1 , (3,  6),      2 2 2 2 2  2 

3

15.2 f (x , y)= x +xy , v =( 1,−1 )

 f  f f ( p ) f ( p ).v  ( p ), ( p )  .v v y  x  1   1 , (3x  y , x ).  2  2 3 x2  y x 3x2  x  y 2    2 2

15.3

f (x , y )= x 2 − y 2 , v =

√2 (i+ j) 2

f  f f  ( P) f ( P) v  ( P ), (P )  v 1, v 2  v y  x   2 x,  2 y  

2

2 2x 2y  2  x  y  1,1  2 2

2

15.4 f (x , y)= x +4 y , v =( 1,−1 )

f 1 v ( x, y ) f (P )    2 x ,8 y   1,  1  v v 2 

2 x 8 y 2x  8y    x  4 y  y 2 2 2

16. Calcular la tasa de variación de la densidad en el punto (3.2) en la dirección del

1 3 u=(− , √ ) 2 2 . Si la densidad en cualquier punto de una placa vector unitario rectangular situada en el plano xy es ρ=( x, y) kilogramos por metro 1 ρ( x , y )= √x 2 + y2 +3 . cuadrado, donde

ρ( x , y )=

x y   1 ,    x x2  y2  3 y x2  y2  3 √x 2 + y2 +3

   1 3 x y   x, y    x, y u  2 2 , 2 2    ,  2 2  u  x  y 3 x  y 3  

  3 2   1 3 ,  3, 2       , u  16 16   2 2  3 1 2  3 3 2 3  3 2 3    3, 2              u 8 8 8  4  2  4 2 

17. El radio de un cono circular recto crece a ritmo de 3 cm por segundo y la altura decrece a un ritmo de 2cm por segundo ¿A qué ritmo cambia el volumen del cono en el instante en el que la altura del cono es de 20 cm y el radio es de 14 cm?