Ejercicios resueltos Estatitica comparativa Slutsky y Hicks PDF

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Ejemplo 1.- Ejercicio Estática Comparativa [Cobb-Douglas] Enunciado - Aina es vegetariana, consume tofu (𝑥1 ) y cereales (𝑥2 ). La función de utilidad que representa las preferencias de Aina es: 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 𝑥22 . Inicialmente dispone de una renta (m) de 100€ para gastar en tofu y cereales. Además, se conoce que el precio del tofu (𝑝1 ) es 1€ y el precio de los cereales (𝑝2 ) es 2€. Inesperadamente, el precio del tofu aumenta (𝑝1′) a 2,5€. Se pide: a) Calcula las funciones de demanda de Aina. b) Antes de la variación del precio ¿cuánto tofu y cereales consumía? c) Si después de la variación del precio, la renta de Aina variara de tal forma que le permitiera adquirir exactamente su cesta de consumo inicial ¿cuál deberá ser su nueva renta? Con esta nueva renta y los nuevos precios ¿cuánto consumiría Aina? Representa gráficamente la recta presupuestaria (“imaginaria”) y señala la cesta que Aina hubiera elegido en este caso. d) Calcula el efecto-renta, efecto-sustitución y efecto-total de Aina considerando el enunciado del apartado anterior, c). Gráficamente indica dónde están los efectos y su dirección. e) Si después de la variación del precio, la renta de Aina variara de tal forma que le permitiera adquirir exactamente su satisfacción inicial (utilidad inicial) ¿cuál deberá ser su nueva renta? Con esta nueva renta y los nuevos precios ¿cuánto consumirá Aina? Representa gráficamente la recta presupuestaria (“imaginaria”) y señala la cesta que Aina hubiera elegido en este caso. f) Calcula el efecto-renta, efecto-sustitución y efecto-total de Aina considerando el enunciado del apartado anterior, e). Gráficamente indica dónde están los efectos y su dirección. Solución:

max 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 𝑥22 𝑥1 ,𝑥2

{ 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑚 = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0; 𝑚 ≥ 0; 𝑝1 , 𝑝2 > 0 𝑥22 𝑝1 𝑝1 = 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: |𝑅𝑀𝑆| = | | → → 𝑝2 𝑥2 = 2𝑝1 𝑥1 𝑝2 𝑥1 2𝑥2 𝑝2 Funciones de demanda: 𝑚 𝟐𝒎 𝒎 𝑝1 𝑚 = 𝑝1 𝑥1 + 2𝑝1 𝑥1 = 3𝑝1 𝑥1 → 𝒙𝟏∗ = )= ; 𝒙∗ = 2 · ( 𝟑𝒑𝟐 𝑝2 3𝑝1 𝟑𝒑𝟏 𝟐 Elección óptima antes de la variación del precio: 100 200 , ) = (33, 3 , 33, 3) 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑝1 = 1 𝑦 𝑝2 = 2: (𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖) = ( 3 6 Elección óptima después de la variación del precio: 100 200 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑝1′ = 2,5 𝑦 𝑝2 = 2: (𝑥1𝑓 , 𝑥2𝑓 ) = ( ) = (13, 3 , 33, 3) , 7,5 6

Método de Slutsky Para resolverlo, debemos responder a la siguiente pregunta: ¿cuál será la recta presupuestaria imaginaria que, con los nuevos precios, permitirá al consumidor consumir la cesta inicial? 𝑚′ = 𝑝1′𝑥1𝑖 + 𝑝2 𝑥2𝑖 = 2,5 · 33, 3 + 2 · 33, 3 = 150 RP “imaginaria”: 150 = 2,5𝑥1 + 2𝑥2 Consumo de Aina: 2 · 150 150 = 20; 𝑥2𝑠𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 = 𝑥1𝑠𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 = = 50 3 · 2,5 3·2

Efectos:

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑥1 − 𝑥1𝑠𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 = 13, 3 − 20 = −6, 6 { 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑥1𝑠𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 − 𝑥1𝑖 = 20 − 33, 3 = −13, 3 𝑓

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑥1𝑓 − 𝑥1𝑖 = 13, 3 − 33, 3 = −20

Representación gráfica:

5

33, 3 CI intermedia CI inicial CI final 13, 3

33, 3

RP final

RP “imaginaria”

RP inicial

ER ES ET

𝑥1

Método de Hicks En general, el método de Hicks se puede resolver mediante dos métodos alternativos mutuamente válidos. Normalmente, resolvemos el ejercicio mediante una de las siguientes formas, dependiendo de la información disponible. A modo de ejemplo, vamos a resolver este ejercicio de dos formas diferentes. min 𝐸 = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2

Î Alternativa a)

𝑥1 ,𝑥2

{ 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑈 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 𝑥22 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0; 𝑚 ≥ 0; 𝑝1 , 𝑝2 > 0 𝑝1 𝑝1 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: |𝑅𝑀𝑆| = | | → 𝑥2 = 2 𝑥1 𝑝2 𝑝2 2  𝒑𝟐𝟐 𝟑 𝑼 𝑝1 𝑝12 𝑈 = 𝑥1 (2 𝑥1 ) = 𝑥13 4 2 → 𝒙𝟏𝒉∗ = √ 𝟐 𝑝2 𝑝2 𝟒𝒑𝟏 1/3 1/3 𝑝22/3 𝑝1 3 𝑈 𝑝1 𝑈 𝑈1/3 𝑝1 )=2 = 2√ ( 2/3 1/3 4𝑝2 𝑝2 41/3 𝑝 41/3 𝑝2 1 2 𝑈𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 33, 3 · (33, 3 ) = 37.037,03704

𝑥2ℎ∗ = 2

Consumo de Aina:

3 37.037,03704 · 22 3 37 .037,03704 · 2,5 √ (𝑥1ℎ∗ , 𝑥2ℎ∗ ) = ( √ , 2 ) = (18,09611744 , 45,240293) 4 · 2,52 4·2

Î Alternativa b)

3 37.037,037 · 27 · 2,5 · 22 4(𝑚′)3 𝑚′ 2𝑚′ ′ √ → 𝑚 ) = = = 135,7208808 )·( 27𝑝1 𝑝22 3𝑝2 4 3𝑝1 RP “imaginaria”: 135,7298808 = 2,5𝑥1 + 2𝑥2 Consumo de Aina: 135,7208808 135,7208880 (𝑥1ℎ∗ , 𝑥2ℎ∗ ) = ( ) = (18,09611744 , 45,240293) , 3·2 3 · 2,5

 𝑈 = 𝑥1 𝑥22 = (

2

Efectos:

𝑥2

𝑓 ℎ∗ ℎ∗ 𝑖 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑥= 3 − 18,0961174 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑥1𝑥1− = 𝑥1 13, = 18 ,0961174 − 33= , 3 −4, = −762784 15,237216 1 − 𝑓 𝑖   𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑥 − 𝑥 = 13, 3 − 33, 3 = −20 { 1 1 Representación gráfica:

67,86

45,24 33, 3

CI inicial CI final 33, 3 13, 3 18,09 ER ES ET

RP final

RP “imaginaria”

54,028

RP inicial

𝑥1

Ejemplo 2.- Ejercicio Estática Comparativa [Sustitutivos Perfectos]

Enunciado - Carolina tiene unas preferencias entre bien 1 (𝑥1 ) y bien 2 (𝑥2 ) que pueden representarse mediante la siguiente función de utilidad: 𝑈(𝑥1 , 𝑥2 ) = 3𝑥1 + 𝑥2 . Carolina dispone de una renta (m) de 400€, el precio del bien 1 (𝑝1 ) es 40€ y el precio del bien 2 (𝑝2 ) es 20€. Se pide: a) Calcule las funciones de demanda de los dos bienes y determine la elección óptima. b) Determine el impacto de un incremento de 10€ en el precio del bien 1 sobre la cantidad demandada de los dos bienes. Descomponga el efecto-sustitución, efecto-renta y el efecto-total utilizando el método de Hicks y el método de Slutsky. Represente los resultados de las descomposiciones en el mismo gráfico, además indique con una flecha la dirección del efecto. Solución: max 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 3𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 ,𝑥2 { 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑚 = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2

Método Slutsky

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0; 𝑚 ≥ 0; 𝑝1 , 𝑝2 > 0 400 𝑚 |𝑅𝑀𝑆| = 3 𝑝1 = 10 = 𝑥1∗ = 40 𝑝1 40 } → |𝑅𝑀𝑆 | > | | → { 𝑝1 | |= =2 𝑝2 𝑝2 20 𝑥2∗ = 0 𝑐𝑒𝑠𝑡𝑎 𝐴 (10,0) 𝑝1′ = 50 |𝑅𝑀𝑆| = 3 𝑚 400 𝑝1 ′ 𝑥1∗ = =8 = 50 𝑝1 ′ | → { | | } → 𝑅𝑀𝑆 > | 50 𝑝1 ′ = 2,5 𝑝2 | |= 𝑥2∗ = 0 20 𝑝2 𝑐𝑒𝑠𝑡𝑎 𝐵 (8,0) 𝑚′ = 𝑝1′𝑥1𝑖 + 𝑝2 𝑥2𝑖 = 50 · 10 + 20 · 0 = 500 Cesta C: (𝑥1

𝑆𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦

Elección óptima: Efectos: {

, 𝑥2𝑆𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 ) = (10,0)

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑥1𝑆𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 − 𝑥1𝑖 = 8 − 10 = −2 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑥1𝑓 − 𝑥1𝑆𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 = 10 − 10 = 0

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑥1𝑓 − 𝑥1𝑖 = 8 − 10 = −2 𝑈𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 3 · 10 + 0 = 30 𝑅𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 : 400 = 40𝑥1 + 20𝑥2 𝑈𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 3 · 8 + 0 = 24 𝑅𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 : 400 = 50𝑥1 + 20𝑥2 𝑈𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 3 · 10 + 0 = 30 𝑅𝑃𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 : 500 = 50𝑥1 + 20𝑥2

Método de Hicks Î Alternativa a)

min 𝐸 = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 𝑥1 ,𝑥2

{ 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑈 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 3𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0; 𝑚 ≥ 0; 𝑝1 , 𝑝2 > 0

𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 será: El gasto mínimo que me permite obtener 𝑈 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 3(10) + 0 = 30 𝑈 𝐸 ∗ = 𝑝1′𝑥1ℎ∗ + 𝑝2 𝑥2ℎ∗ = 50 · 10 + 20 · 0 = 500 Î Alternativa b) 𝑚′ 𝑚′  = 3𝑥1∗ + 𝑥2∗ → 120 = 3 ( ′ ) + 0 = 3 ( ) → 𝑚′ = 500 𝑈 𝑝1 50 Elección óptima: (𝑥1ℎ∗ , 𝑥2ℎ∗ ) = (10,0) Efectos: 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑥1ℎ∗ − 𝑥1𝑖 = 10 − 10 = 0 𝑓 { 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑥1 − 𝑥1ℎ∗ = 8 − 10 = −2 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑥1𝑓 − 𝑥1𝑖 = 8 − 10 = −2

Representación gráfica: 𝑥2

ER=ET Leyenda: RP inicial: 400 = 40𝑥1 + 20𝑥2 RP final: 400 = 50𝑥1 + 20𝑥2 RP imaginaria: 500 = 50𝑥1 + 20𝑥2 Curva de indiferencia final que pasa por la cesta (8,0) de nivel 24 Curva de indiferencia inicial que pasa por la cesta (10,0 ) de nivel 30

𝑥1

Ejemplo 3.- Ejercicio Estática Comparativa [Complementarios Perfectos] Enunciado - Una empresa compra dos bienes: bien 1 (𝑥1 ) y bien 2 (𝑥2 ). Necesita combinar 1 unidad del bien 1 con 2 unidades del bien 2. La empresa compra el bien 1 a 120€ la unidad y el bien 2 a 90€ la unidad. El presupuesto de la empresa para la compra de ambos bienes es de 3.000€. a) Defina la función de utilidad de la empresa y obtenga las funciones de demanda para ambos bienes. b) Si el bien 1 disminuye en 50€. Determine el impacto del descuento sobre el bien 1 y el bien 2 y descompóngalo en efecto-sustitución y efecto-renta según Slutsky y según Hicks. Represente los resultados de las descomposiciones en el mismo gráfico. c) Representa una curva de Engel y una curva de demanda que sea coherente con los datos del ejercicio. Solución: a)

b)

max 𝑈(𝑥1 , 𝑥2 ) = min{2𝑥1 , 𝑥2 } 𝑥1 ,𝑥2

{ 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑚 = 𝑝 𝑥 + 𝑝 𝑥 1 1 2 2 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0; 𝑝1 , 𝑝2 > 0

𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛: 2𝑥1 = 𝑥2 2𝑚 𝑚 ; 𝑥2∗ = 𝑚 = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 (2𝑥2 ) = 𝑥1 (𝑝1 + 2𝑝2 ) → 𝑥1∗ = 𝑝1 + 2𝑝2 𝑝1 + 2𝑝2

Elección óptima con los precios iniciales y renta: 𝑝1 = 120, 𝑝2 = 90, 𝑚 = 3000 𝑥1𝑖 =

2 · 3000 3000 = 20 = 10; 𝑥2𝑖 = 120 + 2(90) 120 + 2(90)

Elección óptima con los precios finales y renta: 𝑝1′ = 70, 𝑝2 = 90, 𝑚 = 3000 𝑥1𝑓 =

2 · 3000 3000 = 24 = 12; 𝑥2𝑓 = 70 + 2(90) 70 + 2(90)

Método de Slutsky Considera la RP “imaginaria” que, con los nuevos precios, permite obtener la cesta inicial. 𝑚′ = 𝑝1′𝑥1𝑖 + 𝑝2 𝑥2𝑖 = 70 · 10 + 90 · 20 = 2500

𝑥1𝑆𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 =

2 · 2500 2500 = 10; 𝑥2𝑆𝑙𝑢𝑡𝑠𝑘𝑦 = = 20 70 + 2(90) 70 + 2(90)

Método Hicks Considera la RP “imaginaria” que, con los nuevos precios, permite obtener la utilidad inicial. Podemos resolver por el método de Hicks de dos formas (las dos son válidas) normalmente solo hace falta hacer una de las dos alternativas siguientes, pero vamos a ilustrar ambos métodos para que se vea que dan la misma respuesta. Î Alternativa a) Resolver mediante el problema de minimización del gasto.  = min{2(10), 20} = 20 El nivel de utilidad inicial es: 𝑈 min 𝐸 = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 𝑥1 ,𝑥2

{ 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑈 (𝑥1 , 𝑥2 ) = min{2𝑥1 , 𝑥2 } 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0; 𝑝1 , 𝑝2 > 0 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛: 2𝑥1 = 𝑥2  20 𝑈 = 10 𝑈 = min{2𝑥1 , 2𝑥1 } = 2𝑥1 → 𝑥1ℎ∗ = = 2 2  𝑈  = 20 𝑥2ℎ∗ = 2𝑥1ℎ∗ = 2 = 𝑈 2

Î Alternativa b) Encontrar el nivel de renta a través de la función de utilidad y las funciones de demanda del problema primal. 𝑈  = min {2 ·

(𝑝1′ + 2𝑝2 ) 20[70 + 2(90)] = 2500 2𝑚′ 𝑈 2𝑚′ 2 = }= ′ → 𝑚′ = , ′ ′ 𝑝1 + ′2𝑝2 2 𝑝1 + 2𝑝2 𝑝1 + 2𝑝2 𝑚 2500 𝑥1ℎ∗ = = 10 = 70 + 2(90) 𝑝1′ + 2𝑝 ′ 2 2𝑚 2 · (2500) 𝑥2ℎ∗ = ′ = 20 = 70 + 2(90) 𝑝1 + 2𝑝2 𝑚′

Efectos (para el bien 1) [son los mismos para el método de Slutsky y el método de Hicks] 𝐸𝑅 = 𝑥1𝑓 − 𝑥1𝑚 = 12 − 10 = 2 { 𝐸𝑆 = 𝑥1𝑚 − 𝑥1𝑖 = 10 − 10 = 0 𝐸𝑇 = 𝑥1𝑓 − 𝑥1𝑖 = 12 − 10 = 2

Todo el impacto sobre el consumo del bien 1 es debido al efecto-renta, ya que el abaratamiento relativo del bien respecto al bien 2 no provoca retribución del consumo entre ambos bienes. Gráficamente: 𝑥2

ER=ET Leyenda: RP inicial: 3000 = 120𝑥1 + 90𝑥2 RP final: 3000 = 70𝑥1 + 90𝑥2 RP imaginaria: 2500 = 70𝑥1 + 90𝑥2 Curva de indiferencia final que pasa por la cesta (12,24) de nivel 24 Curva de indiferencia inicial que pasa por la cesta (10,20 ) de nivel 20

𝑥1

c) La curva de Engel:

𝑚 = 𝑥1 (𝑝1′ + 2𝑝2 ) Para representar la curva de Engel hemos de tener presente que el precio debe ser el mismo en todos los puntos de la curva, es decir, por ejemplo si representamos la curva de Engel siguiente (ver gráfico) vemos que podemos obtener 10 unidades de 𝑥1 con una renta de 2500€ y podemos obtener 12 unidades de 𝑥1 con una renta de 3000€ a un precio de 70€ la unidad. El precio de 𝑥2 se mantiene también constante en 90€ la unidad. Comprobamos, por lo tanto, que un aumento de 500€ en la r enta le permite obtener 2 unidades del bien 1 más, manteniendo el precio del bien 1 y del bien 2 constantes. Gráficamente:

m

∆𝑚 = 500

La curva de demanda: La pendiente de la curva, dados dos puntos, es:

∆𝑝1

∆𝑥1

=

70−120 12−10

= −25

∆𝑥1 = 2

𝑥1

Podemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos de la forma siguiente: Si definimos una función inversa de demanda de tipo lineal como: 𝑝1 = 𝑎 − 𝑏𝑥1 donde la pendiente será b, en este caso 25. Una vez hemos encontrado la pendiente, la única incógnita que nos queda es encontrar el valor del parámetro a (ordenada en el origen). Si sustituimos en cualquiera de los puntos de la recta, por ejemplo, en (10,120): 120 = 𝑎 − 25 (10) → 𝑎 = 370, por lo tanto la función inversa de demanda será: 𝑝1 = 370 − 25𝑥1 ..

La curva de demanda de un bien muestra la cantidad demandada de este bien a cada nivel de precios, manteniendo fijos la renta y el precio de los demás bienes. En este caso cuando la renta se mantiene constante en 3000€ y el precio de 𝑥2 se mantiene en 90€, puede conseguir 10 unidades de 𝑥1 a un precio de 120€ y 12 unidades de 𝑥1 a un precio de 70€ la unidad. Por lo tanto, al variar el precio del bien 1 de 120€ a 70€ la cantidad de unidades del bien 1 que puede obtener cambia de 10 a 12. Gráficamente:

∇𝑝1 = 50

∆𝑥1 = 2

𝑥1...