Nominal Y Efectiva - Ejercicios resueltos PDF

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CAPÍTULO 4

Tasas de interés nominales y efectivas

O B J E T I V O S

D E

A P R E N D I Z A J E

Propósito: Efectuar cálculos de tasas de interés y flujos de efectivo para periodos diferentes a un año.

SECCIÓN

TEMA

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

4.1

Enunciados

• Comprender los enunciados de las tasas de interés que incluyan las tasas nominal y efectiva.

4.2

Tasa efectiva anual

• Deducir y aplicar la fórmula de la tasa de interés anual efectiva.

4.3

Tasa efectiva

• Calcular la tasa de interés efectiva para cualquier periodo declarado.

4.4

Periodo de pago y periodo de capitalización

• Determinar el periodo de pago (PP) y el periodo de capitalización (PC) de los cálculos de equivalencia.

4.5

Flujos de efectivo únicos con PP ≥ PC

• Realizar cálculos de equivalencia para flujos de efectivo únicos y PP ≥ PC.

4.6

Flujos de series de efectivo con PP ≥ PC

• Efectuar cálculos de equivalencia para series y gradientes de flujos de efectivo y PP ≥ PC.

4.7

Cantidades únicas y series con PP < PC

• Hacer cálculos de equivalencia para flujos de efectivo con PP < PC.

4.8

Capitalización continua

• Deducir y utilizar la fórmula de la tasa de interés efectiva para las tasas de interés de capitalización continua.

4.9

Tasas variables

• Efectuar cálculos de equivalencia para tasas de interés que varían de un periodo a otro.

E

rés ha sido un valor constante anual. En un alto porcentaje los proyectoslaevaluados en n todas las relaciones de la ingeniería económica hasta ahorade desarrolladas, tasa de intela práctica por ingenieros profesionales, la tasa de interés compuesto se calcula con mayor frecuencia para periodos diferentes a un año; los periodos semestrales, trimestrales y mensuales son frecuentes. De hecho, en algunas evaluaciones de proyectos llegan a presentarse cálculos de interés compuesto semanal, diario e incluso continuo. Asimismo, en nuestra vida personal, muchos de nuestros movimientos financieros —préstamos de todo tipo (hipotecas para vivienda, tarjetas de crédito, automóviles, embarcaciones), cuentas de cheques y de ahorro, inversiones, planes de acciones, etcétera— poseen tasas de interés compuesto para periodos menores de un año. Esto requiere dos términos nuevos: tasas de interés nominales y efectivas. En este capítulo se explicará y se mostrará cómo aplicar las tasas de interés nominal y efectiva tanto en la práctica de la ingeniería como en situaciones de la vida diaria. También se llevan a cabo cálculos de equivalencia de frecuencias de capitalización en combinación con frecuencias de flujo de efectivo.

EP El caso del ofrecimiento de una tarjeta de crédito: El día de hoy, Dave recibió una oferta especial para obtener una nueva tarjeta de crédito del Chase Bank en alianza con una gran aerolínea con la que vuela frecuentemente. Le ofrecen un paquete generoso de beneficios si la firma en cierta fecha dentro de 60 días. El paquete incluye puntos adicionales en la línea aérea (una vez hecha la primera compra), prioridad al documentar sus vuelos en el aeropuerto (durante un año), permitir gratis el exceso de equipaje (hasta un máximo de 10 ocasiones), puntos adicionales por ser viajero frecuente en la aerolínea, acceso a salones especiales de la línea (siempre y cuando utilice la tarjeta con frecuencia), más otras ventajas (descuentos en la renta de automóvil, cruceros y

descuentos en la compra de arreglos florales). La tarifa anual es de $85 por la membresía y no comienza hasta el segundo año, y las transferencias desde otras tarjetas de crédito tienen un cobro reducido si se hacen en el plazo de la membresía inicial. Dave ya tiene una tarjeta de crédito con un banco que planea dejar debido a su mal servicio para los clientes y sus altas comisiones. Si acepta el ofrecimiento, transferirá a la nueva tarjeta el saldo de $1 000 que hay en la actual. En un folleto que acompaña a la carta de ofrecimiento se incluye “información sobre precios”. Ahí aparecen tasas de interés, cobros de interés y comisiones. A continuación se presenta el resumen de algunos de dichos conceptos.

TPA (tasa porcentual anual) para compras y transferencias de saldo*

14.24% anual (suma del 3.25% de la tasa prime actual en Estados Unidos más 10.99% de la TPA agregada para determinar la TPA de la transferencia de saldo a Chase Bank)

TPA por disposiciones de efectivo y sobregiros*

19.24% anual

TPA de castigo por retraso en el pago mínimo, exceder el límite de crédito y pagos no realizados por rechazo de cheques*†

29.99% anual (TPA máxima de castigo)

Las comisiones son las siguientes: Membresía anual: Transferencias de saldo: Disposiciones de efectivo: Pago retrasado: Exceder el límite de crédito: Cheque o pago rechazado:

$85; gratis el primer año $5 o 3% de cada transferencia, lo que sea mayor $10 o 3% de cada disposición, lo que sea mayor $39 por cada atraso, si el saldo supera $250 $39 por cada ocasión $39 por cada vez que ocurra

* Todas las TPA son variables, con base en la tasa prime de 3.25% más 10.99% para determinar la TPA por compras o saldo; más 15.99% para determinar la TPA por disposición de efectivo o exceder el crédito; más 26.99% para determinar la TPA de castigo. † La TPA de castigo se aplica en forma indefinida a futuras transacciones. Si no se recibe el pago mínimo antes de 60 días, la TPA se aplica a todos los saldos insolutos y todas las transacciones futuras en la cuenta.

(continúa)

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Capítulo 4

Tasas de interés nominales y efectivas

Este caso se utiliza en los temas (y secciones) siguientes de este capítulo: Enunciados de las tasas de interés nominal y efectiva (4.1)

Tasas de interés anual efectivas (4.2) Relaciones de equivalencia: series con PP ≥ PC (4.6)

4.1 Definiciones de las tasas de interés nominal y efectiva En el capítulo 1 aprendimos que la diferencia fundamental entre el interés simple y el interés compuesto consiste en que el interés compuesto incluye el interés sobre el interés ganado en el periodo anterior, mientras que el interés simple no lo incluye. Aquí analizaremos las tasas de interés nominal y efectiva, que implican la misma relación básica. En este caso la diferencia estriba en que los conceptos de nominal y de efectivo se deben aplicar cuando se calcula el interés compuesto más de una vez al año. Por ejemplo, si una tasa de interés es de 1% mensual, deben tomarse en cuenta los términos nominal y efectivo para las tasas de interés. Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de la ingeniería y de las finanzas personales. Los proyectos de ingeniería, según se estudiaron en el capítulo 1, se financian por medio de deuda y de capital propio. Los intereses por préstamos, hipotecas, bonos y acciones se basan en tasas de interés compuesto para periodos menores a un año. Un estudio de ingeniería económica debe tomar en cuenta esos efectos. En nuestras finanzas personales, administramos la mayoría de nuestros desembolsos e ingresos de efectivo para periodos distintos a un año. De nuevo, se presenta el efecto de los cálculos de interés compuesto para periodos más frecuentes que un año. Primero analicemos una tasa de interés nominal. La tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que no considera la capitalización de intereses. Por definición, r = tasa de interés por periodo × número de periodos

Tasa de interés nominal r

(4.1)

Una tasa nominal puede calcularse para cualquier periodo mayor que el periodo establecido con la ecuación (4.1). Por ejemplo, la tasa de interés de 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas:

Periodo

24 meses 12 meses 6 meses 3 meses

Tasa nominal según la ecuación (4.1)

¿Qué es?

1.5 × 24 = 36% 1.5 × 12 = 18% 1.5 × 6 = 9% 1.5 × 3 = 4.5%

Tasa nominal por 2 años Tasa nominal por 1 año Tasa nominal por 6 meses Tasa nominal por 3 meses

Observe que ninguna de estas tasas nominales menciona nada sobre la capitalización del interés; todas son de la forma “r% por periodo”. Estas tasas nominales se calculan en la misma forma que las tasas simples con la ecuación (1.7), es decir, la tasa de interés se multiplica por el número de periodos. Una vez calculada la tasa nominal, debe incluirse en la definición de la tasa de interés el periodo de capitalización (PC). Como ejemplo, de nuevo consideremos la tasa nominal de 1.5% mensual. Si se define el PC como un mes, el enunciado de la tasa nominal es de 18% anual compuesto mensualmente, o 4.5% trimestral compuesto mensualmente. Ahora estamos en posición de definir una tasa de interés efectiva.

Tasa de interés efectiva i

La tasa de interés efectiva i es aquella en que se toma en cuenta la capitalización del interés. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva, pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

La forma más común de enunciar la tasa de interés cuando la capitalización ocurre en periodos más cortos que un año es “% por periodo, capitalizable PC-mente”, por ejemplo, 10% por año capitalizable mensualmente, o 12% anual capitalizable semanalmente. Una tasa efectiva no siempre incluye en su enunciado el periodo de capitalización. Si no se menciona el PC, se da por entendido que es el mismo que el periodo

4.1

Definiciones de las tasas de interés nominal y efectiva

citado con la tasa de interés. Por ejemplo, una tasa de interés de “1.5% mensual” significa que el interés se capitaliza cada mes; es decir, se asume que el PC es un mes. Entonces, un enunciado equivalente de la tasa de interés efectiva sería 1.5% por mes capitalizado mensualmente. Todos los enunciados siguientes son de tasas de interés efectivas porque enuncian que son efectivas o porque no se menciona el periodo capitalizable. En este último caso, el PC es el mismo que el periodo de la tasa de interés. Enunciado

PC

Significado

i = 10% anual i = 10% efectivo anual con capitalización mensual i =11_2 % mensual

PC no estipulado; PC = año PC estipulado; PC = mes

Tasa efectiva por año Tasa efectiva por año

PC no estipulado; PC = mes

i =11_2 % efectivo mensual, con capitalización mensual

PC estipulado; PC = mes

i = 3% efectivo trimestral, con capitalización diaria

PC estipulado; PC = día

Tasa efectiva por mes Tasa efectiva por mes; los términos efectiva y con capitalización mensual son redundantes Tasa efectiva por trimestre

Todas las tasas nominales de interés pueden convertirse a tasas efectivas. La fórmula para hacer esto se estudia en la sección siguiente. Todas las fórmulas de interés, factores, valores tabulados y funciones de hojas de cálculo deben usar una tasa de interés efectiva para incluir en forma apropiada el valor del dinero en el tiempo.

El término TPA (tasa porcentual anual) con frecuencia es el que se establece como la tasa de interés anual para las tarjetas de crédito, préstamos e hipotecas inmobiliarias. Es la misma que la tasa nominal. Una TPA de 15% es la misma que 15% nominal por año o 1.25% nominal mensual. Asimismo, el término RPA (rendimiento porcentual anual) es el que suele establecerse como tasa de rendimiento de inversiones, certificados de depósito y cuentas de ahorro. Es la misma que la tasa efectiva. Los nombres son diferentes pero las interpretaciones son idénticas. Como veremos en las secciones siguientes, la tasa efectiva siempre es mayor o igual que la tasa nominal, y en forma similar, RPA ≥ TPA. Con estas descripciones, siempre hay tres unidades de tiempo asociadas al enunciado de una tasa de interés. Tiempo (o periodo) (t), es el periodo en que se expresa el interés. Ésta es la t del enunciado de r% por periodo t; por ejemplo, 1% mensual. La unidad de tiempo de un año es por mucho la más común, de ahí que se suponga así cuando no se especifica otra unidad. Periodo de capitalización (PC), es la unidad de tiempo más corta durante la que se paga o gana interés. Se identifica por el término capitalización en el enunciado de la tasa de interés, por ejemplo, 8% anual compuesto mensualmente. Si no se especifica, entonces se supone que es de un año. Frecuencia de composición (m), es el número de veces que la capitalización ocurre dentro del periodo t. Si los periodos de capitalización PC y de tiempo t son los mismos, la frecuencia de capitalización es 1, por ejemplo, 1% mensual, compuesto mensualmente. Considere la tasa (nominal) de 8% anual, capitalizable mensualmente. Tiene un periodo t de un año, un periodo de capitalización PC de un mes, y una frecuencia de capitalización m de 12 veces por año. Una tasa de 6% por año, capitalizable en forma semanal, tiene t = 1 año, PC = 1 semana y m = 52, con base en el estándar de 52 semanas por año. En capítulos anteriores, todas las tasas de interés tenían valores de t y PC de un año, por lo que la frecuencia de capitalización era siempre m = 1. Esto significa que todas las tasas eran efectivas en virtud de que el periodo de interés y el de capitalización eran el mismo. Ahora será necesario expresar una tasa nominal como una tasa efectiva sobre el mismo tiempo que el periodo de capitalización. La tasa efectiva se determina a partir de una tasa nominal por medio de la fórmula siguiente: Tasa efectiva por PC =

r% por tiempo t r = m periodos de capitalización por t m

(4.2)

Como ejemplo, suponga que r = 9% anual, compuesto mensualmente; entonces, m = 12. Con la ecuación (4.2) se obtiene la tasa efectiva de 9%/12 = 0.75% mensual, con un periodo de capitalización

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Capítulo 4

Tasas de interés nominales y efectivas

mensual. Es importante observar que el cambio del periodo del interés t no altera el periodo de capitalización, que en este caso es un mes. Por tanto, dos expresiones equivalentes de la misma tasa de interés son: r = 9% por año, con capitalización* mensual, y r = 4.5% por semestre, con capitalización mensual.

EJEMPLO 4.1 A continuación se listan las diferentes tasas de préstamo bancario para tres proyectos de equipo de generación de electricidad. Determine en cada inciso la tasa efectiva considerando el periodo de capitalización de cada tasa. a) 9% anual, compuesto trimestralmente. b) 9% anual, compuesto mensualmente. c) 4.5% semestral, compuesto semanalmente.

Solución

Con la ecuación (4.2) calcule la tasa efectiva por PC para diferentes periodos de composición. La gráfica de la fi gura 4-1 indica la tasa efectiva por PC y su distribución en el tiempo.

3

4

Trimestre .75%

2

.75%

1

.75%

2.25%

.75%

2.25%

.75%

0.75%

2.25%

.75%

12

2.25%

.75%

Mes

2.25%

.75%

b) 9% por año

4

( )

.75%

Trimestre

Tasa efectiva por r PC — Distribución en los periodos t m

.75%

a) 9% por año

Frecuencia de capitalización ( m)

.75%

Periodo de capitalización (PC)

.75%

r % nominal por t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Mes

0.173%

c) 4.5% por semestre

Semana

26

0.173% 1

12 14 16

26 Semana

Figura 4-1 Relaciones entre el periodo de interés t, el periodo de capitalización PC y la tasa de interés efectiva por PC.

A veces no es evidente si la tasa establecida es nominal o efectiva. Básicamente existen tres formas de expresar las tasas de interés, como lo indica la tabla 4-1. La columna de la derecha contiene el enunciado relativo a la tasa de interés efectiva. Para el primer formato, se da una tasa de interés nominal y se estipula el periodo de capitalización. Debe calcularse la tasa efectiva (lo cual se analiza en las siguientes secciones). En el segundo formato, la tasa establecida se identifica como efectiva (también se le denomina RPA), así que la tasa se utiliza directamente en los cálculos. En el tercer formato no se identifica el periodo de capitalización; por ejemplo, 8% anual. En tal caso, dicha tasa es efectiva exclusivamente durante el periodo (de capitalización) de un año. Para cualquier otro periodo, debe calcularse la tasa efectiva.

TABLA 4-1

Diversas formas de expresar las tasas de interés nominal y efectiva

Formato en que se enuncia la tasa

Ejemplo de enunciado

Se estipula la tasa nominal y tam- 8% anual, con capitalización bién el periodo de capitalización trimestral Se estipula la tasa efectiva 8.243% efectivo por año, con capitalización trimestral Se estipula la tasa de interés pero 8% anual no el periodo de capitalización

Comentarios sobre la tasa efectiva

Se calcula la tasa efectiva para cualquier periodo (se estudia en las siguientes dos secciones) Se utiliza la tasa efectiva de 8.243% por año directamente para los fl ujos de efectivo anuales La tasa es efectiva para un PC igual al periodo estipulado de un año; se calcula la tasa efectiva para todos los periodos

* N. del T.: Las expresiones “capitalizable” o “compuesto” se usan en forma indistinta en español.

4.2

Tasas de interés efectivas anuales

EJEMPLO 4.2 El caso del ofrecimiento de una tarjeta de crédito Como se dijo en la introducción de este caso, a Dave le ofrecen una tarjeta de crédito que, según la carta del Chase Bank, no podía rechazar. La TPA por la transferencia de saldo es de 14.24% anual, sin mención del periodo de capitalización. Por tanto, se deduce que se trata del tercer formato de la tabla 4-1; es decir, se estipula la tasa de interés pero no el PC. Entonces, debemos concluir que éste es de un año, lo mismo que el periodo anual de la TPA. Sin embargo, Dave sabe lo que todos nosotros, que los pagos de tarjeta de crédito se requieren cada mes. a)

b)

En primer lugar, determine las tasas de interés efectivas para periodos de capitalización de un año y un mes, de modo que Dave conozca las tasas efectivas que pagará cuando transfi era el saldo de $1 000 de su tarjeta actual a la nueva. En segundo lugar, suponga que inmediatamente después de aceptar la tarjeta y transferir los $1 000, Dave compra un boleto por pagar un mes después. ¿Cuál es el saldo total de su adeudo?

Después, Dave observa con detalle la “información sobre el precio” y descubre una cláusula en letra pequeña que dice que el Chase Bank utiliza el método del saldo diario (inclusive para las transacciones nuevas) para determinar el saldo con que se calcula el interés que se adeuda en el momento del pago. c)

Pospondremos lo que implica esta nueva observación, y por ahora ayudaremos a Dave a determinar la tasa de interés efectiva diaria con que se calcula el interés que adeuda al fi nal de un mes si el PC es de un día.

Solución a)

El periodo de interés es un año. Se aplica la ecuación (4.2) para ambos valores del PC de 1 año (m = 1 periodo de capitalización por año) y un mes (m = 12 periodos de capitalización por año).

PC de 1 año: Tasa efectiva por año = 14.241 = 14.24% PC de 1 mes: Tasa efectiva por mes...