Ejercicios Resueltos - Vectores PDF

Preview

Summary

Download Ejercicios Resueltos - Vectores PDF

Description

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

Darío David Zurita Franco [email protected]

01 – Vectores Ejercicio 01

Determine el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud, cuando su resultante tiene: a) 20 unidades de longitud y b) 12 unidades de longitud. Dibuje la figura apropiada.

1. Ley del coseno:

𝑅 2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠(𝛼) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =

𝑅 2 − (𝐴2 + 𝐵 2 ) −2𝐴𝐵

𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = −0.25 ⟶ 𝛼 = 104.47° 𝑏) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 0.603 ⟶ 𝛼 = 52.91°

2. Ángulos suplementarios:

𝛼 + 𝛽 = 180°

3. Respuesta

𝛽 = 180° − 𝛼 𝑎) 𝛽 = 75.53°

𝑏) 𝛽 = 127.08°

1

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

Ejercicio 04 Dados

los

vectores

𝐴: (5𝑢, 45°, 30°)

esféricas. Determine: a) b) c)

𝐴 + 𝐵󰇍 𝐴 − 𝐵󰇍 𝐴 ∙ 𝐵󰇍

Darío David Zurita Franco [email protected]

y

𝐵󰇍: (10𝑢, 30°, 70°)

en

coordenadas

Transformación a coordenadas rectangulares:

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘󰇍 𝐴𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃)

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 |𝐴 𝑥𝑧 | = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝐴𝑧 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜃)cos (𝜑)

𝐴𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜃)sen (𝜑)

1. Transformar 𝐴: (5𝑢, 45° , 30°) a coordenadas rectangulares: • 𝐴𝑥 = 5𝑢 𝑠𝑒𝑛(30°) sen(45°) = 1. 76𝑢 • 𝐴𝑦 = 5𝑢 𝑐𝑜𝑠(30°) = 4.33𝑢 • 𝐴𝑧 = 5𝑢 𝑠𝑒𝑛(30°) cos(45°) = 1.76𝑢 𝐴 = 1.76𝑖 + 4.33𝑗 + 1.76𝑘󰇍 2. Transformar 𝐵󰇍 : (10𝑢, 30° , 70°) a coordenadas rectangulares: • 𝐵𝑥 = 10𝑢 𝑠𝑒𝑛(70°) sen(30°) = 4.69𝑢 • 𝐵𝑦 = 10𝑢 𝑐𝑜𝑠(70°) = 3.42𝑢 • 𝐵𝑧 = 10𝑢 𝑠𝑒𝑛(70°) cos(30°) = 8.13𝑢 𝐵󰇍 = 4.69𝑖 + 3.42𝑗 + 8. 13𝑘󰇍

2

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

3. Suma:

4. Resta:

5. Producto punto:

Darío David Zurita Franco [email protected]

𝐴 + 𝐵󰇍 = 6.45𝑖 + 7.75𝑗 + 8.89𝑘󰇍 𝑢 𝐴 − 𝐵󰇍 = −2.93𝑖 + 0.91𝑗 − 6.36𝑘󰇍 𝑢 𝐴 ∙ 𝐵󰇍 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝐴 ∙ 𝐵󰇍 = 37.38 𝑢2

3

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

Darío David Zurita Franco [email protected]

Ejercicio 07

Determine la distancia entre los puntos 𝑃1 (4,5, −7) y 𝑃2 (−3,6,12). También escribir la ecuación de la recta que pasa por estos puntos

1. Posición relativa:

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑟𝑃󰇍2 − 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑟𝑃󰇍2 𝑃󰇍1󰇍󰇍𝑃 2 = 󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍 󰇍𝑃󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 1 𝑃2 = (−3 − 4)𝑖 + (6 − 5)𝑗 + (12 − (−7))𝑘 2. Módulo:

󰇍󰇍󰇍󰇍1󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃 𝑃2 = −7𝑖 + 𝑗 + 19𝑘󰇍

2 2 2 |𝑃󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 1 𝑃2 | = √(−7) + (1) + (19)

󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍2| = √411 = 20.27 |𝑃 1󰇍𝑃

3. La posición de cualquier punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧): 󰇍 1󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑃2 𝑟󰇍 𝑃󰇍 = 𝑟󰇍󰇍󰇍𝑃󰇍󰇍1 + 𝑚𝑃 • 𝑥 = 4 + 𝑚(−7) • 𝑦 = 5 + 𝑚(1) • 𝑧 = −7 + 𝑚(19) 4. Finalmente, despejando 𝑚: 𝑚=

4−𝑥 𝑧+7 = 𝑦−5 = 19 7

4

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

Darío David Zurita Franco [email protected]

Ejercicio 13

Descomponer un vector 𝑣 = 3𝑖 + 3𝑗 + 3𝑘󰇍 en las direcciones de los vectores 󰇍 y 𝑐 = 𝑘󰇍 + 𝑖 𝑎 = 𝑖 + 𝑗, 𝑏󰇍 = 𝑗 + 𝑘 Forma fácil:

1. Es evidente que:

𝑎 + 𝑏󰇍 + 𝑐 = 2𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘󰇍

2. Entonces, para calcular 𝑣 a partir de la resultante de 𝑎, 𝑏󰇍 y 𝑐: 𝑣 =

3. Módulo y unitario:

3

2

(𝑎 + 󰇍 𝑏 + 𝑐)

3 𝑣 = (𝑎𝑢 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑎+ 𝑏𝑢 󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑐 ) 𝑏 + 𝑐𝑢 2 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = √2

4. Respuesta:

3 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑏 + √2𝑢 󰇍󰇍󰇍󰇍) 𝑣 = (√2𝑢󰇍󰇍󰇍 𝑐 𝑎 + √2𝑢 2 𝑣 =

3√2 3√2 3√2 󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑏 + 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑢 𝑢 𝑢 𝑎 + 2 2 2 𝑐

Nota Ahora intente resolver el ejercicio anterior utilizando el concepto de la proyección de un vector sobre otro: 󰇍󰇍𝑣󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑎 𝑎 )𝜇 𝑎 = (𝑣 ∙ 𝜇

5

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

Darío David Zurita Franco [email protected]

Ejercicio 16

a) Demuestre que 𝑎 ∙ (𝑏󰇍 × 𝑐) es igual al valor absoluto del volumen del paralelepípedo de aristas 𝑎 ,𝑏󰇍 y 𝑐

1. Volumen del paralelogramo

2. Módulo del producto cruz

𝑉 = ℎ𝑆 𝑆 = |𝐴 × 𝐵󰇍|

󰇍| 𝑉 = ℎ|𝐴 × 𝐵

3. Altura

ℎ = |𝐶|𝑐𝑜𝑠𝜃

󰇍||𝐶|𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑉 = |𝐴 × 𝐵

󰇍||𝐶|𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐶 ∙ (𝐴 × 𝐵󰇍) = |𝐴 × 𝐵

4. Producto escalar

𝑉 = 𝐶 ∙ (𝐴 × 𝐵󰇍)

b) Compruebe que

1. Determinante 𝑎𝑥 | 𝑏𝑥 𝑐𝑥

𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦

2. Producto cruz:

𝑖 󰇍 × 𝑐 = | 𝑏𝑥 𝑏 𝑐𝑥

𝑎𝑥 󰇍  𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) = | 𝑏𝑥 𝑐𝑥

𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑐𝑦

𝑎𝑧 𝑏 𝑏𝑧 𝑏𝑥 𝑏𝑧 | = | 𝑦 𝑐𝑦 𝑐𝑧 | 𝑎𝑥 − |𝑐𝑥 𝑐𝑧 𝑗 𝑏𝑦 𝑐𝑦

𝑎𝑧 𝑏𝑧| 𝑐𝑧 𝑏 𝑏𝑦 𝑏𝑧 | 𝑎𝑦 + | 𝑥 𝑐𝑥 𝑐𝑦 | 𝑎𝑥 𝑐𝑧

𝑘󰇍 𝑏𝑦 𝑏𝑧 𝑏 | 𝑖 − | 𝑥 𝑏𝑧| = | 𝑐 𝑐 𝑐𝑥 𝑦 𝑧 𝑐𝑧

𝑏 𝑏𝑦 𝑏𝑧 󰇍 | 𝑗 + | 𝑥 𝑐𝑥 𝑐𝑦 | 𝑘 𝑐𝑧 6

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

Darío David Zurita Franco [email protected]

3. Producto punto 𝑎 ∙ (𝑏󰇍 × 𝑐) = 𝑎𝑥 (𝑏󰇍 × 𝑐) + 𝑎𝑦 (𝑏󰇍 × 𝑐) + 𝑎𝑧 (𝑏󰇍 × 𝑐) 𝑥 𝑦 𝑧

󰇍× 𝑐) = |𝑏𝑦 𝑎 ∙ (𝑏 𝑐

4. Respuesta:

𝑦

𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧 𝑏𝑥 𝑏𝑧 𝑐𝑧 | 𝑎𝑥 − | 𝑐𝑥 𝑐𝑧 | 𝑎𝑦 + | 𝑐𝑥 𝑐𝑦 | 𝑎𝑥

Al desarrollar la tesis por ambos lados de la ecuación se llega a la misma expresión

7

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

Darío David Zurita Franco [email protected]

Ejercicio 22 Utilizando métodos vectoriales, encuentre: a) b) c) d)

La longitud de las diagonales de un cubo de lado 𝑎. Sus ángulos con los lados adyacentes. Sus ángulos con las caras adyacentes. El ángulo entre las diagonales.

La longitud de las diagonales de un cubo de lado 𝑎. 1. Posición relativa

2. Módulo

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 󰇍󰇍 𝑟𝐴󰇍 − 𝑟󰇍󰇍󰇍𝐷 𝐷𝐴

󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝑎𝑗 + 𝑎𝑘󰇍 − (𝑎𝑖) = −𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 + 𝑎𝑘 󰇍 𝐷𝐴 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 | = √(−𝑎)2 + (𝑎)2 + (𝑎)2 |𝐷𝐴 󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍| = √3𝑎 |𝐷𝐴

Sus ángulos con los lados adyacentes. 3. Ángulo entre vectores

) = 𝑐𝑜𝑠 (𝐴𝐷𝐶

󰇍󰇍𝐷𝐴 󰇍󰇍󰇍 ∙ 󰇍󰇍 󰇍󰇍 𝐷𝐶 𝐷𝐴 ∙ 𝐷𝐶

󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍 = −𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 + 𝑎𝑘󰇍 𝐷𝐴 󰇍󰇍󰇍󰇍 = 0𝑖 + 0𝑗 + 𝑎𝑘󰇍 𝐷𝐶

) = 𝑐𝑜𝑠 (𝐴𝐷𝐶

(−𝑎)(0) + (𝑎)(0) + (𝑎)(𝑎) √3𝑎 ∙ 𝑎

) = 𝑐𝑜𝑠 (𝐴𝐷𝐶

√3 3

8

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA FÍSICA

Darío David Zurita Franco [email protected]

 𝐴𝐷𝐶 = 54.73°

Sus ángulos con las caras adyacentes 4. Ángulo entre vectores

 𝑐𝑜𝑠 (𝐴𝐷 𝐸)=

󰇍󰇍𝐷𝐴 󰇍󰇍󰇍 ∙ 󰇍󰇍 󰇍 󰇍 𝐷𝐸 𝐷𝐴 ∙ 𝐷𝐸

󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍 = −𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 + 𝑎𝑘󰇍 𝐷𝐴 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 = −𝑎𝑖 + 0𝑗 + 𝑎𝑘 𝐷𝐶

 𝑐𝑜𝑠 (𝐴𝐷 𝐸) =

𝐷𝐶 = √2𝑎

(−𝑎)(−𝑎) + (𝑎)(0) + (𝑎)(𝑎) √3𝑎 ∙ √2𝑎

2  𝑐𝑜𝑠 (𝐴𝐷 𝐸) = √ 3

El ángulo entre las diagonales

 𝐴𝐷𝐸 = 35.26°

(planteado)

9...