Elementi Di Geometria Descrittiva PDF

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Elementi di Geometria descrittiva...

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ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA

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Il problema della rappresentazione Il problema fondamentale della rappresentazione è quello di riprodurre, in un ambiente bidimensionale (foglio da disegno) degli oggetti tridimensionali. Il disegno dunque, inteso come rappresentazione di uno o più oggetti, consiste in una trasformazione 3D -> 2D.

2D

3D

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1

Definizioni e proposizioni fondamentali Introduciamo alcuni concetti fondamentali della geometria proiettiva, che è alla base della scienza della rappresentazione. Definizioni

Proposizioni fondamentali

Il punto, la retta ed il piano si dicono

Due punti individuano una retta a cui essi appartengono

Un insieme di punti, rette, piani dicesi figura o

Due piani individuano una retta a cui essi appartengono

Si dice che due elementi si appartengono quando uno sta sull’altro (o lo contiene)

Tre punti, non appartenenti ad una stessa retta, individuano un piano a cui essi appartengono

elementi fondamentali forma geometrica

Tre piani, non appartenenti ad una stessa retta, individuano un punto a cui essi appartengono Un punto ed una retta che non si appartengono, individuano un piano a cui essi appartengono Una retta ed un piano che non si appartengono individuano un punto cui essi appartengono

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Forme geometriche fondamentali Si dicono figure o forme geometriche elementari le seguenti: Elemento generatore

Punto

Forme di 1 a specie

Forme di 2 a specie

Retta punteggiata

Piano punteggiato

Figura formata dai punti appartenenti ad una retta

Figura formata dai punti appartenenti ad un piano

Fascio di rette

Stella di rette

Figura formata dalle rette appartenenti ad uno stesso piano e ad uno stesso punto

Figura formata dalle rette dello spazio appartenenti al medesimo punto

Forme di 3 a specie Spazio punteggiato Figura formata dello spazio

dai

punti

Piano rigato

Retta

Figura formata dalle rette appartenenti ad un piano

Piano

Fascio di piani

Stella di piani

Spazio di piani

Figura formata dai piani che appartengono ad una medesima retta

Figura formata dai piani dello spazio appartenenti al medesimo punto

Figura formata dai piani dello spazio

Le forme fondamentali si dicono di 1 a, 2 a o 3 a specie a seconda che i loro elementi si possano mettere in corrispondenza biunivoca e continua con gruppi ordinati d 1, 2 o 3 parametri. Appunti di Disegno Tecnico Industriale

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2

Legge di dualità nello spazio Confrontando tra loro le definizioni date nella trasparenza precedente si osserva che ciascuna di esse, o rimane inalterata, o si muta in una delle altre scambiando tra di loro le parole punto e piano e lasciando inalterata la parola retta. Tali forme, che si ottengono l’una dall’altra con tali scambi, vengono dette duali. Forme di 1 a specie Retta punteggiata

Fascio di piani

Fascio di rette

Fascio di rette

a

Forme di 2 specie Stella di piani

Piano punteggiato Piano rigato

Stella di rette Forme di 3 a specie

Spazio punteggiato

Spazio di piani

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Elementi impropri Gli elementi impropri sono concetti utili a definire l’intersezione di enti tra loro paralleli. Per definizione un punto improprio è il punto che appartiene a ciascuna retta di un fascio di rette parallele. In questo modo due rette qualsiasi si intersecano sempre: l’intersezione può essere un punto proprio o improprio. r1

r1

r2

P

P r2

Due rette incidenti si intersecano in un punto proprio dello spazio.

Due rette parallele si intersecano in un punto improprio dello spazio.

Analogamente una retta impropria è quella retta che appartiene a ciascun piano di una fascio di piani paralleli. Due piani qualsiasi dunque si intersecano sempre:l’intersezione può essere una retta propria o impropria.

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3

L’operazione di proiezione Introduciamo in questa trasparenza e nella successiva i concetti base della geometria descrittiva, ossia le operazioni di proiezione e sezione. Proiezione di un punto da un punto

Proiezione di una retta da un punto

Proiettare da un punto S (detto centro di proiezione) un punto P significa costruire la retta (SP), detta retta proiettante (o proiettante)

Proiettare da un punto S (detto centro) una retta r significa costruire il piano (Sr), detto

piano proiettante

Proiezione di un punto da una retta Proiettare da una retta r (detta asse di proiezione) un punto S significa costruire il piano (Sr), detto piano proiettante

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L’operazione di sezione Sezione di un piano con un piano Sezionare con un piano un piano costruire la retta di intersezione di Tale intersezione è detta traccia .

significa con .

Sezione di una retta con un piano Sezionare con un piano una retta r significa costruire il loro punto di intersezione. Tale punto è detto traccia .

r Sezione di un piano con una retta Sezionare con una retta r un piano significa costruire il loro punto di intersezione.

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4

L’operazione di proiezione su un piano L’operazione di proiezione di enti geometrici su un piano è molto importante nella scienza della rappresentazione. Essa consiste nell’applicare, in serie, le operazioni di proiezione e di sezione. Proiezione su un piano di un punto da un punto Proiettare da un punto S su un piano un punto A significa proiettare prima A da S, quindi sezionare la retta (SA ) con il piano .

Proiezione su un piano di una retta da un punto Proiettare da un punto S su un piano una retta r significa proiettare prima r da S, quindi sezionare il piano (Sr ) con il piano .

A’

r’

A S

S

r

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Proprietà invarianti delle proiezioni Ogni operazione che trasforma una figura in un’altra attraverso una proiezione viene detta trasformazione proiettiva. L’insieme delle proposizioni geometriche che non sono alterate da trasformazioni arbitrarie delle figure cui si riferiscono costituisce la geometria proiettiva. L’applicazione dei teoremi della geometria proiettiva ai problemi di rappresentazione costituisce la geometria descrittiva. Se una determinata proprietà K di una figura F si mantiene invariata nella figura proiettata F’, si dice che tale proprietà è un invariante proiettiva. Alcune invarianti proiettive sono le seguenti: 1.

se un punto P appartiene ad una retta r, la proiezione P’ di P appartiene ancora alla proiezione r’ di r (conservazione dell’appartenenza);

2.

se tre punti P, Q ed R sono allineati, allora le loro proiezioni P’, Q’ ed R’ sono ancora tre punti allineati (conservazione dell’allineamento);

3.

se tre rette r, s e t sono incidenti, allora le loro proiezioni r’, s’ e t’ sono anch’esse incidenti (conservazione dell’incidenza);

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5

Proprietà non invarianti delle proiezioni A seguito di un’operazione di proiezione molte proprietà di una figura F non si mantengono nella figura proiettata F’. Varie proprietà geometriche non sono, in generale, invarianti rispetto ad una proiezione. In generale non sono invarianti le proprietà in cui interviene il concetto di parallelismo e quelle in cui interviene il concetto di misura (proprietà metriche). Alcune proprietà in generale non invarianti sono le seguenti: 1.

il parallelismo;

2.

l’ortogonalità;

3.

le misure di lunghezze e di angoli;

4.

i rapporti tra le misure di lunghezze e di angoli;

5.

L’appartenenza di un punto ad un intervallo (betweenness), come mostrato nella figura seguente (il punto P appartiene all’intervallo [A,B], ma il punto P’ non appartiene all’intervallo [A’,B’]) A C P B P’

B’

A’

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Rapporto semplice di tre punti di una retta Fissati su di una retta r un’origine ed un verso, un segmento LM giacente su di essa si dice positivo o negativo secondo che un punto che lo descrive andando da L ad M si muova secondo il verso positivo o negativo della retta . Il rapporto k = LN/LM viene detto rapporto semplice C dei tre punti ed indicato con (LMN).

M r

N

L

m

l

Applicando il teorema dei seni si ha:

N’

M’

L’

s

Dati tre punti LMN, ed altri tre punti L’M’N’, proiezione dei precedenti secondo il centro C, si può vedere quale relazione intercede tra i rispettivi rapporti semplici (LMN) ed (L’M’N’).

n

( ) ; ( )

( ) ( )

Da cui, dividendo membro a membro:

(

)

( ) ;( ' ( )

' ')

' '

( ) ( )

Si osserva che, in generale, il rapporto semplice non è un invariante proiettiva. Lo diventa, tuttavia, se il centro di proiezione C diviene improprio. Appunti di Disegno Tecnico Industriale

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Birapporto di quattro punti di una retta Fissati su di una retta quattro punti L, M, N, ed O, si definisce birapporto, indicato con (LMNO) il rapporto tra i rapporti semplici definiti dalle terne (LNO) ed (MNO). Si ha quindi:

(

C

N

M

L’

s

N’

M’

o

n

m

l

) (

)

Il birapporto è indipendente dall’unità di misura e dall’orientamento della retta r, ma dipende dall’ordine con cui si considerano i quattro punti. O’ Risulta, infatti:

O

L

r

(

)

(

)

1 (

)

Il birapporto tuttavia non cambia se si scambiano tra loro due qualunque dei punti ed in pari tempo anche gli altri due:

(

) (

) (

) (

)

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Proprietà del birapporto Considerata la definizione di rapporto semplice di tre punti su una retta e quella di birapporto di quattro punti su una retta risulta:

( ( '

) ' ' ')

( ) ( ' ' ')   ( ' ' ') ( ) 

'   

'

'

  '

1

Tale relazione rappresenta la proprietà fondamentale del birapporto: Il birapporto di quattro punti su una retta non si altera quando essi si proiettano da un punto su un’altra retta. Sussiste pure la seguente proprietà: Due birapporti i quali differiscano per lo scambio dei primi due punti (o dei due ultimi) hanno per prodotto l’unità. Infatti si ha:

(

)

( (

) ;( )

)

( (

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) )

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Teorema di Desargues Una dei cardini della geometria proiettiva è questo famoso teorema dovuto a Desargues:

se i vertici di due triangoli (DEF) e (D’E’F’) si corrispondono in una proiezione (le rette congiungenti i vertici concorrono in un unico punto C – centro di proiezione), allora i lati corrispondenti, prolungati, si incontrano in tre punti allineati (LMN).

Risulta valido anche il teorema duale: se i lati corrispondenti di due triangoli (DEF) e

(D’E’F’), prolungati, si incontrano in tre punti allineati (LMN), allora i vertici dei due triangoli si corrispondono in una proiezione. Appunti di Disegno Tecnico Industriale

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Teorema di Pappo Un altro teorema fondamentale della geometria proiettiva è presumibilmente ascrivibile al matematico greco Pappo (vissuto nel III secolo a.C.): se (A, B, C) e (A’, B’, C’) sono due

terne di punti allineati, allora i punti che risultano dall’intersezione dei segmenti AB’ con BA’, AC’ con CA’ e BC’ con CB’ sono allineati.

C B A

A' B' C'

Risulta valido anche il teorema duale: se a, b, c e a’, b’, c’. sono due terne di rette

incidenti, r, s, t le rette definite dai punti intersezione rispettivamente delle rette (ac’, ca’); (ab’, ba’); (bc’,cb’) allora le rette r, s e t sono incidenti. Appunti di Disegno Tecnico Industriale

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Geometria proiettiva e rappresentazione Uno degli aspetti particolarmente interessanti della geometria proiettiva è che ad essa è riconducibile la percezione delle immagini che si ha nella realtà. Il meccanismo di visione dell’occhio umano è in effetti schematizzabile attraverso uno schema proiettivo in cui il centro di proiezione è rappresentato dal punto interno all’occhio in cui cristallino e cornea focalizzano i raggi luminosi, mentre la superficie di proiezione è rappresentata dalla retina (approssimativamente sferica).

Cornea Retina C

Cristallino

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Cenni storici: l’Ottica di Euclide Il primo tentativo di formalizzare i problemi legati alla rappresentazione è probabilmente legato alle riflessioni sulle modalità di visione dei matematici Greci, che trovarono sistemazione nell’opera di Euclide. Proposizione IV: uguali lunghezze poste su una medesima retta, quelle che si vedono a distanza maggiore appaiono minori. Proposizione V: oggetti uguali, ma inegualmente distanti appaiono ineguali e maggiore quello più vicino all’occhio. Proposizione VI: rette parallele viste da lontano, appaiono non equidistanti. Proposizione VI: oggetti uguali posti su di una stessa retta, ma tra loro distanti, appaiono disuguali. Da notare che, secondo l’impostazione data da Euclide, il concetto di maggiore o minore deve intendersi come “visto sotto un angolo maggiore o minore”, ossia le grandezze sono intese in termini di angoli visivi.

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Cenni storici: arte romanica Dopo la fine del mondo classico la scienza della rappresentazione si è evoluta in modo lento, e senza uno sviluppo sistematico. Le rappresentazioni pittoriche normalmente non affrontano il problema della resa spaziale.

Paliotto d'altare della Seu d'Urgell con Cristo e gli apostoli, prima metà sec. XII (Barcellona, Mudeo d’Arte Catalana) Appunti di Disegno Tecnico Industriale

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Cenni storici: il Medioevo Occorre arrivare ai pittori pre-rinascimentali per trovare i primi tentativi sistematici di resa spaziale. Il risultato appare come qualcosa di ibrido tra assonometria e prospettiva.

Ambrogio Lorenzetti (1290 - 1348): Giotto (1267 - 1337): particolare da San Francesco che Veduta di città sul mare (Siena, dona il mantello (Assisi, Basilica Pinacoteca) superiore) Appunti di Disegno Tecnico Industriale

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Cenni storici: il Rinascimento (1) Il rinascimento rappresenta il punto di svolta per l’evoluzione delle tecniche di rappresentazione. Con la messa a punto di regole precise per la rappresentazione del reale codificate in trattati sistematici, si cerca di superare l’empirismo delle tecniche di rappresentazione medievali. In questo studio del Brunelleschi il problema della rappresentazione dello spazio viene risolto intersecando i raggi proiettanti, passanti per il punto di vista, con il piano di riquadro, e utilizzando, a questo scopo, la pianta e l’alzato dell’elemento da rappresentare. Si tratta, in pratica, dell’esecuzione della prospettiva attraverso il metodo di intersezione.

Filippo Brunelleschi (1377 - 1446): studio del battistero(Firenze)

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Cenni storici: il Rinascimento (2) Leon Battista Alberti (1404 - 1472) semplifica la costruzione prospettica introducendo il metodo che oggi chiamiamo del punto di distanza. Si basa sulla convergenza verso un punto di fuga unico di tutte le rette perpendicolari al piano della rappresentazione e la progressiva diminuzione delle dimensioni apparenti degli elementi al crescere della loro distanza, da valutarsi attraverso la costruzione di un punto laterale detto punto di distanza. Il metodo abbreviato forniva un criterio per la costruzione della prospettiva molto efficace e fu utilizzato dagli artisti dell’epoca per mettere in scorcio una pianta quadrettata o per realizzare un vero e proprio reticolo spaziale di riferimento per la realizzazione della prospettiva .

Leon Battista Alberti Prospettiva Appunti di Disegno Tecnico Industriale

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Cenni storici: il Rinascimento (3) Il De prospectiva pingendi (1475) di Piero della Francesca (1416 ca. - 1492) costituisce il primo trattato organico della prospettiva rinascimentale. La rappresentazione figurativa è riferita a un sistema di leggi e procedimenti matematici che devono consentire una verosimile traduzione dello spazio attraverso opportune deformazioni prospettiche avvertite dall’occhio umano. Mentre l’Alberti aveva concentrato la sua attenzione nel rappresentare sul piano del dipinto figure sul piano del pavimento, Piero affrontò il problema di dipingere nel piano oggetti tridimensionali.

Piero

della

Francesca

Flagellazione (Urbino, Galleria

nazionale delle Marche)

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Cenni storici: il Rinascimento (4) In questa stampa di Albrecth Dürer (1471 - 1528) è ben esemplificato il concetto di proiezione che sta dietro alle tecniche di rappresentazione. I raggi di luce che vanno dalla scena all’occhio costituiscono una proiezione intersecando il quadro.

Albrecht Durer Disegnatore della donna sdraiata

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Cenni storici: il cinquecento ed il seicento. Dalla pittura alla matematica. È a partire dal XVI secolo che le tecniche di rappresentazione passano da un piano tecnicopittorico ad un piano teorico-matematico. Guidobaldo dal Monte (1545 - 1607) pubblica nel 1600 un trattato sulla prospettiva (Perspectivae Libri VI). Riprende in esame le tecniche utilizzate dagli artisti per arrivare ad interessanti astrazioni. Pare che sia stato il primo a dimostrare che: la proiezione centrale di un fascio di rette parallele è costituita da un fascio di rette concorrenti in un punto; più fasci di rette parallele tra loro e tutte parallele allo stesso piano hanno i “punti in concorso” sulla stessa retta Girard Desargues (1591 - 1661) è stato uno dei massimi teorizzatori della geometria proiettiva. Per teorizzare sul piano geometrico le tecniche della prospettiva introduce elementi ideali (punto e retta impropri) compatibili con gli elementi fondamentali della geometria euclidea (retta e punto). Blaise Pascal (1623 - 1662) fu studioso notevole di geometria proiettiva. Si ricorda soprattu...