Definizioni Applicazione Geometria Descrittiva Mara Capone PDF

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Definizioni fondamentali per l'esame...

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DEFINIZIONI APPLICAZIONE GEOMETRIA DESCRITTIVA 1. La linea geometrica è un’entità invisibile: è la traccia del punto in movimento, dunque un suo prodotto. 2. La superficie è generata invece dal moto di una linea nello spazio. 3. Gli enti geometrici fondamentali della geometria euclidea sono: punto, retta e piano. 4. Il punto è un elemento adimensionale; 5. La retta è un insieme infinito di punti allineati ed ha una sola dimensione: la lunghezza. 6. Il piano ha due dimensioni: lunghezza e larghezza. 7. La geometria euclidea studia le proprietà metriche delle figure 8. La geometria proiettiva si occupa invece delle proprietà che le figure conservano dopo essere state sottoposte ad una serie di trasformazioni proiettive dette invarianti proiettive: appartenenza, collinearità ed incidenza. 9. Se un punto appartiene ad una retta la proiezione di un punto appartiene alla proiezione della retta. 10. Se tre punti sono allineati, le proiezioni dei tre punti sono allineate. 11. Se due rette sono incidenti in un punto P, la proiezione delle rette sarà incidente in un punto P1. 12. Gli enti all’infinito sono il punto, la retta e il piano improprii. 13. Il punto (improprio) è il punto all’infinito della retta che ne definisce la direzione. 14. Rette parallele si intersecano nello stesso punto improprio. 15. La retta impropria di un piano è l’insieme dei punti imp del piano e ne definisce la giacitura. 16. A partire dalle invarianti proiettive è possibile postulare le seguenti proposizioni fondamentali valide tanto per gli elementi improprii quanto per quelli proprii. 17. Due punti distinti individuano la retta alla quale appartengono. 18. Due piani distinti individuano la retta alla quale appartengono. 19. Tre punti non allineati individuano il piano di appartenenza. 20. Tre piani non appartenenti ad una retta individuano un punto. 21. Un punto e una retta che non si appartengono individuano il piano a cui apparegono. 22. Un piano e una retta che non si appartengono individuano un punto a cui appartengono. 23. Due rette incidenti individuano un punto ed un piano a cui appartengono.

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RELAZIONI TRA RETTE Due rette sono incidenti e quindi complanari quando hanno un punto in comune altriemnti sono sghembe. Due rette incidenti sono parallele quando si intersecano in un punto improprio (uguale direzione) Due rette incidenti sono perpendicolari quando formano 4 angoli uguali. Due piani sono paralleli quando si intersecano in una retta impropria. Una retta ed un piano sono paralleli quando esiste una retta parallela alla retta data appartenente al piano. Una retta ed un piano sono ortogonali quando esiste una retta del piano ortogonale alla retta data passante per il punto di incidenza.

30. Le due operazioni fondamentali della geometria descrittiva sono proiezione e sezione . 31. Si proietta da un punto, detto centro di proiezione, su un piano detto quadro. 32. Il centro di proiezione può essere un punto proprio o improprio, in tutti i casi definisce la direzione della proiezione.

33. Se il punto di proiezione è proprio è detta conica o centrale. 34. Se il punto è improprio e detta cilindrica o parallela. 35. In funzione della natura di questo centro si ottengono i diversi metodi di rappresentazione.In particolare sono proiezioni PARALLELE il metodo delle proiezioni ortogonali e assonometriche. La proiezione CENTRALE riguarda il metodo della prospettiva. 36. Proiettare un punto P da un centro O significa unire il punto con il centro di proiezione. La retta congiungente questi due punti è detta raggio proiettante. 37. Proiettare una retta r da un centro O che non appartiene ad r significa costruire un piano passante per O e per r detto piano proiettante.

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PROSPETTIVITA’ TRA PIANI ED OMOLIGIA Concetti di proiettività e prospettività: due figure si dicono PROIETTIVE quando dedotte l’una dall’altra mediante un numero finito di operazioni di sezione e proiezione; due figure invece si dicono PROSPETTIVE quando dedotte l’una dall’altra mediante una o due operazioni di sezione e proiezione. La prospettività tra piani è detta OMOGRAFIA. Considerando due piani alpha e pigreco il centro di proiezione è detto centro di prospettività. La corrispondenza tra i punti di alpha e di pigreco è detta prospettività ed è una corrispondenza biunivoca; l’intersezione dei due piani è l’asse di prospettività. I due piani sono prospettivi in quanto si deducono mediante due operazioni di sezione e proiezione. In una prospettività tra piani valgono le due proprietà fondamentali: punti corrispondenti sono allineati con il centro, rette corrispondenti si intersecano sull’asse. Considerando un piano pigreco1 sovrapposto a pigreco e considerando la stessa proiezione di alpha dal centro di prospettività, tra i due piani si stabilisce una relazione biunivoca detta OMOLOGIA PIANA. Un’omologia piana può definirsi come il prodotto di due prospettività. AFFINITA’ ORTOGONALE Un’omologia si dice affine quando il centro è improprio; se la direzione del centro è ortogonale all’asse, l’affinità si dice ortogonale, altrimenti è obliqua. Un’affinità è obliqua se la congiungente i due centri di prospettività è una retta parallela ai piani pigreco e pigreco1, ma la sua direzione non è ortogonale all’asse.

OMOTETIA 46. Quando l’asse è impropria (e ciò si verifica quando il piano alpha è parallelo ai piani pigreco e pigreco1). TRASLAZIONE 47. Quando sia l’asse che il centro sono improprii (la congiungente i due centri di prospettività è parallela al piano). RETTE LIMITI 48. In un’omologia si definiscono rette limiti le rette corrispondenti della retta impropria comune ai due piani.

PROIEZIONI CENTRALI

PROSPETTIVA 49. Fissato un centro di proiezione proprio V con un piano pigreco detto quadro, la proiezione centrale P1 di un generico punto P, si ottiene come intersezione con il quadro del raggio proiettante passante V, l’immagine r1 di una retta r si ottiene come intersezione con il quadro del piano proiettante indotto da V per la retta data e l’immagine d un piano si ottiene proiettando da V due rette caratteristiche del piano: la retta di intersezione con il quadro e la retta impropria del piano, detta FUGA. 50. Nel metodo della prospettiva, in analogia con la reale visione dello spazio, vengono introdotti alcuni elementi e restizioni: viene introdotto l’UNILATERALE CONO VISIVO (o ottico) avente vertice nell’occhio dell’osservatore (centro V). 51. Viene introdotto un piano orizzontale pigreco1 e si suppone che l’oggetto sia sempre posizionato nel semispazio opposto all’osservatore. 52. Il riferimento nello spazio è costituito da : V centro di proiezione o punto di vista, pigreco quadro o piano della rappresentazione, pigreco1 piano geometrale (piano orizzontale di riferimento), gamma piano visuale principale, r raggio visuale principale. Il riferimento sul quadro è costituito da Vo (punto principale e fuga di tutte le rette ortogonali al quadro), d (distanza principale tra Vo e V), f (retta fondamentale, traccia del geometrale), o (retta d’orizzonte). 53. A seconda della posizione del quadro rispetto al geometrale si possono avere diversi tipi di prospettiva: se il quadro è ortogonale rispetto al geometrale, la prospettiva è detta A QUADRO VERTICALE; se il quadro è inclinato, la prospettiva è A QUADRO INCLINATO; se il quadro è parallelo la prospettiva è A QUADRO ORIZZONTALE. 54. Un piano alpha si rappresenta mediante una coppia di rette tra loro parallele rispettivamente t di alpha, intersezione del piano con il quadro e f di alpha, fuga del piano, immagine della retta impropria del piano ed eventualmente da un’ulteriore retta s di alpha prospettiva della traccia geometrale. 55. Una retta r si rappresenta mediante la prospettiva di due punti caratteristici, la traccia e la fuga: la traccia t di r, punto di intersezione della retta con il quadro; la fuga è la traccia della retta t di r che è l’immagine del punto improprio della retta.

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PROIEZIONI PARALLELE ASSONOMETRIA Si consideri l’oggetto da rappresentare rispetto ad un sistema di riferimento costituito da una terna di assi cartesiani xyz, la proiezione da un centro improprio su un piano pigreco detto quadro è una proiezione assonometrica. Nel caso i cui il centro di proiezione è parallelo ad uno degli assi, ed il quadro coincida con il piano individuato dagli altri due, si ottiene una proiezione ortogonale. L’assonometria è quindi una proiezione parallela o cilindrica in funzione della posizione del centro di proiezione rispetto al quadro. E’ possibile distinguerne due tipi: se il centro è ortogonale, l’assonometria è ortogonale, altrimenti è obliqua. E’ possibile classificare ulteriormente in funzione delle deformazione che subiscono le unità di misura fissate sugli assi cartesiani per effetto della proiezione. Si definisce rapporto assonometrico il rapporto tra e unità di misura assonometriche e le unità di misura obiettive. Se i rapporti assonometrici sono tutti e tre uguali l’assonometria si definisce ISOMETRICA; è DIMETRICA se due rapporti sono uguali ed uno diverso ed è TRIMETRICA se tutti e tre sono diversi. ASSONOMETRIA CAVALIERA : è un’assonometria obliqua in cui uno dei piani verticali yz o xz è parallelo al quadro. ASSONOMETRIA MILITARE : si definisce militare quando il quadro è parallelo o coincidente con il piano xy, quindi tutto ciò che è contenuto in piani paralleli al quadro, si proietta in VERA FORMA E GRANDEZZA.

METODO DELLE DOPPIE PROIEZIONI ORTOGONALI 60. L’originalità del metodo di Monge consiste nell’aver introdotto un sistema di riferimento costituito da due piani: pigreco1 e pigreco2 tra loro ortogonali, due centri di proiezione impropri rispettivamente ortogonali ai due piani e soprattutto di aver introdotto il concetto di doppia proiezione: nessuna delle due proiezioni è sufficiente da sola a descrivere compitamente l’oggetto da rappresentare. Per passare dallo spazio al piano per convenzione si opera un ribaltamento del piano pi2 sul piano pi1 in senso antiorario. Il riferimento sul piano è quindi costituito dai due piani sovrapposti e dalla retta di intersezione dei due piani detta linea di terra. 61. Nel metodo di Monge un punto P è biunivocamente rappresentato dalle sue immagini P1 e P2 rispettivamente proiezioni ortogonali su pi1 e pi2. Si definisce QUOTA la distanza del punto dal piano orizzontale mentre la distanza del punto dal piano verticale si definisce AGGETTO. I due piani di riferimento dividono lo spazio in 4 diedri; se il punto si trova nel primo o nel terzo, l’immagine sarà opposta alla linea di terra; se si trova nel secondo o nel quarto, le immagini saranno dallo stesso lato della linea di terra. 62. Una retta r, che è biunivocamente rappresentata dalle sue immagini r1 ed r2, rispettivamente proiezioni ortogonali su pi1 e pi2, ed è individuata da due suoi punti particolari detti tracce sr e tr, rispettivamente intersezione della retta con pi1 e pi2. Particolari posizioni della retta : parallela a pi1 si dice orizzontale, qui la seconda traccia è impropria e dunque la seconda immagine è parallela alla linea di terra. Analogamente una retta parallela a pi2 si dice DI FRONTE ed ha la seconda traccia impropria e quindi la prima immagine parallela alla linea di terra. Un piano alpha si rappresenta mediante due sue rette dette tracce, s di alpha e t di alpha, rispettivamente intersezioni del piano con pi1 e pi2. Un piano ortogonale a pi1 si dice proiettante in prima proiezione ed ha la seconda traccia ortogonale alla linea di terra; analogamente un piano ortogonale a p2 si dice proiettante in seconda proiezione ed ha la seconda traccia ortogonale alla linea di terra. Le figure appartenenti ai piani proiettanti in prima o in seconda proiezione hanno la prima o la seconda immagine appartenente alla prima o alla seconda traccia del piano. Piani proiettanti particolari: piani paralleli ai due piani di riferimento detti piani orizzontali o piani di fronte che hanno una delle due tracce parallele alla linea di terra e l’altra impropria. Le figure che appartengono a piani orizzontali e a piani di fronte hanno rispettivamente la prima o la seconda immagine che non subisce deformazioni per effetto della proiezione e quindi si proietta in vera forma e grandezza.

LE LINEE SGHEMBE E LE LINEE PIANE 63. Il moto di un punto nel piano o nello spazio genera una linea: piana, nel primo caso, sghemba o gobba nel secondo. La linea generata dal moto rettilineo uniforme è la retta, in tutti gli altri casi è chiamata curva. 64. Si definisce tangente la retta che ha in comune con la curva un unico punto P che ne definisce la direzione. Generalmente una curva ammette un’unica tangente, se ne ammette più si dice nodo.

CONICHE 65. Le coniche vengono definite in funzione della legge di moto e sono considerate proiezione di un cerchio su un piano oppure come generate dalla sezione di un cono quadrico. Ponendo attenzione sulla genesi dinamica di queste curve si ha che: l’ellisse è generata dal moto di un punto in un piano in modo che sia costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. L’iperbole è generata dal moto in modo che sia costante la differenza tra due punti fissi detti fuochi.

La parabola è generata dal moto di un punto in modo che siano uguali le distanze da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. SPIRALE IPERBOLICA 66. La spirale iperbolica è una curva generata dal moto composto di un punto che si muove in modo che la distanza tra le spire aumenti con la legge iperbolica. Tale curva si può costruire assegnandone una equazione parametrica oppure si può ottenere come proiezione centrale di un’elica cilindrica da un punto O appartenente all’asse su un piano ortogonale all’asse. LINEE SGHEMBE 67. Sono curve sghembe le linee generate dal moto di un punto nello spazio secondo una specifica legge. Lo sono anche le intersezioni di alcune superfici come coni, cilindri e sfere. La spirale su una generica superficie di rotazione è la curva generata dal moto uniforme di un punto su un meridiano che ruota uniformemente intorno all’asse. 68. L’elica su una generica superficie di rotazione è la curva descritta dal moto di un punto che si sposta sulla superficie in modo che la pendenza della curva rispetto ad un piano dato sia costante. L’elica cilindrica è una linea sghemba generata dalla traslazione di un punto P lungo una retta r che ruota intorno ad un asse. Il punto si muove sulla generatrice di un cilindro circolare retto. La proiezione ortogonale dell’elica cilindrica sul piano ortogonale all’asse è una circonferenza. Si definisce passo la distanza tra due spire successive. Spirale conica è una linea sghemba generata dalla traslazione uniforme di un punto P lungo una retta g che ruota intorno ad un’asse z con cui ha in comune un punto V. La spirale si dice conica in quanto il punto si muove lungo la generatrice di un cono circolare retto che quindi forma con l’asse z un angolo alpha costante. La proiez ortogonale di una spirale conica è una spirale di archimede. SUPERFICI SUPERFICI DI ROTAZIONE 69. Le superfici possono essere considerate come generate da una linea che si muove nello spazio seguendo una determinata legge di moto. Sono generalmente clasisficate in funzione di quest ultima che è alla base della genesi geometrica della forma: superfici di rotazione, superfici di traslazione e superfici di rototraslazione. Ulteriore classificazione è data dalla natura della generatrice: se è una retta RIGATE, se è una curva NON RIGATE. Si definiscono superfici di rotazione, le superfici generate dalla rotazione di una qualsiasi linea intorno ad un asse. Se la linea è una retta, la superficie è una RIGATA. Sezionando una superficie di rotazione con un piano ortogonale all’asse si ottiene una circonferenza mentre sezionando una superficie con un piano verticale passante per l’asse, si otterrà la generatrice. Le sezioni con piani ortogonali all’asse si dicono paralleli, le sezioni con piani passanti per l’asse si dicono meridiani. Per ogni punto della superficie passa un meridiano e un parallelo. 70. Le sup di rotazione possono essere classificate in funzione della natura della generatrice:  se la generatrice è una generica curva si chiama superficie di rotazione generica;  se è una retta si chiama superficie rigata;  se è una semicirconferenza è una sfera;  se è una conica, quadriche di rotazione; CILINDRO 71. Si definisce superficie cilindrica la superficie generata dalla proiezione di una qualsiasi curva omega appartenente ad un piano pigreco da un punto V improprio. La curva omega è detta direttrice

mentre le rette proiettanti sono dette generatrici. Può anche essere considerata anche come una superficie generata dalla traslazione di una curva in una direzione assegnata. Se la direttrice omega è una circonferenza, il cilindro è circolare e se V è ortogonale a pigreco, il ciclindro è circolare retto altrimenti è circolare obliquo. Essendo le generatrici delle rette, il cilindro è una superficie rigata. CONO 72. Assegnata una curva omega appartenente ad un piano pigreco, si definisce superficie conica la superficie generata proiettando da un punto proprio V tutti i punti di omega. La curva omega è detta direttrice, il punto V vertice e le rette proiettanti generatrici. Se la curva è una conica, il cono è quadrico, in particolare se è una circonferenza il cono è circolare. I paini di sezione (detti sezioni coniche) a seconda della posizione del piano rispetto al cono è possibile ottenere un’ellisse, una parabola o un’iperbole. Se il piano è ortogonale all’asse la sezione è una circonferenza. Tutti i piani passanti per V danno luogo alle coniche degeneri. SFERA 73. E’ il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto centro. La sfera può essere anche considerata come la rotazione di una semicirconferenza intorno ad un’asse passante per il centro della circonferenza. Le sezioni piane della sfera sono sempre circonferenze. Se il piano passa per il centro della sfera, la sezione è il cerchio massimo, avente centro coincidente con il centro della sfera e raggio uguale al raggio della sfera. ELLISSOIDE 74. L’ellissoide è una quadrica generata dalla rotazione di un semiellisse intorno ad uno degli assi. Il paraboloide ellittico è generato dalla rotazione di una parabola intorno al suo asse. SUPERFICI DI TRASLAZIONE 75. Le superfici di traslazione sono generate dal moto di una linea omega generatrice secondo una direzione assegnata. Se la direzione è ortogonale al piano che contiene la linea, la superficie si definisce retta, altrimenti è obliqua. Le superfici di traslazione sono sempre delle rigate a piano direttore, in quanto ogni punto si sposta secondo una traiettoria rettilinea (verticalmente). Possono considerarsi superfici di traslazione, il cilindro retto e obliquo e le modanature. SUPERFICI DI ROTOTRASLAZIONE 76. Sono generate dal moto elicoidale di una linea retta o curva. Ogni punto della linea descrive nello spazio un’elica cilindrica. Se la linea è rettilinea, l’elicoide è rigato. Se è un cerchio è cerchiato, altrimenti si definisce generico. 77. L’elicoide generico è una superficie generata dalla rotazione di una linea lungo un’elica. 78. L’elicoide a piano direttore è generato dal moto di rototraslazione di un segmento AB ortogonale all’asse. 79. L’elicoide a piano direttore è una superficie rigata in quanto le generatrici sono rettilinee e parallele ad un piano detto piano direttore. 80. L’elicoide a cono direttore è generato dalla rototraslazione di un segmento AB che forma con l’asse un generico angolo alpha. E’ una superficie rigata in quanto le generatrici sono rette. 81. Vite di Saint-Gille è generata dalla rototraslazione di un cerchio appartenente ad un piano passante per l’asse dell’elica. L’elicoide si definisce pertanto cerchiato.

82. Colonna torsa è generata dalla rototraslazione di una circonferenza appartenente ad un piano pigreco ortogonale all’asse. L’elicoide si definisce cerchiato. SUPERFICI RIGATE 83. Si definiscono superfici rigate le superfici generate dal movimento di una retta nello spazio seconod una qualsiasi legge di moto. Le infinite rette che definiscono la sup...