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elipse con centro fuera del origen Camilo Andres Cruz Contreras - 20192379004 Alejandro Melgarejo Ruiz - 20192379022 Juan Esteban Rodriguez Lesmes - 20192379026 Andres Felipe Sanchez Rodriguez - 20192379019 octubre 2019

1.

Introduccion

la elipse es una curva plana, cerrada y simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí. Se puede definir de diversas maneras, en un principio los griegos de la antigüedad la estudiaron en un contexto geométrico como secciones de un cono, esos antecedentes llevaron eventualmente a su definición analítica como lugar geométrico.

2.

Definicion

Reciben el nombre de cónicas las curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica por un plano. Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva cerrada que recibe el nombre de elipse.

2.1.

definicion general

Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y) en un plano, cuya suma de las distancias desde dos puntos fijos distintos (focos) es constante. Ver la Figura 1

Figura 1: elipse. d1+d2 = k , donde k >0 es una constante.

3.

Elementos de la elipse 1. Focos: Son los puntos medios de la elipse y el centro de toda su geometría. 2. Vertices: Son los 4 puntos donde el eje mayor y eje menor se interceptan con la elipse. 3. Centro: Es el lugar donde se interceptan los ejes mayor y menor 4. 2a eje mayor (segmento mas largo de la elipse)

1

5. 2b eje menor (segmento mas corto de la elipse) √ 6. c = a2 + b2 distancia centro foco √ 7. a = c2 + b2 distancia centro vertice √ 8. b= a2 + c2 distancia centro eje menor

Figura 2: elementos de la elipse.

4.

Elipse con centro en (h,k )

Si una elipse con centro en el origen y cuyo eje mayor coincide con un eje de coordenadas es trasladada horizontalalmente h unidades y verticalmente k unidades , el resultado sera una elipse con centro en (h,k ) y eje mayor paralelo a un eje de coordenadas.

4.1.

Ecuacion estandar cuando el eje mayor es horizontal (y − k)2 (x − h)2 = 1. + 2 b2 a

Elementos: Vértice: V (h ± a, k). Focos: F (h ± c, k). Extremos del eje menor “B”: B(h, k ± b). Donde 0 < b < a

Figura 3: eje mayor es horizontal.

2

4.2.

Ecuacion estandar cuando el eje mayor es vertical (x − h)2 (y − k)2 =1 + a2 b2

Elementos: Vértice: V (h, k ± a). Focos: F (h, k ± c). Extremos del eje menor “B”: B(h ± b, k).

Figura 4: eje mayor es vertical.

elipses con centro (h,k) ecuacion estandar

(x − h)2 (y − k)2 + =1 a2 b2

(y − k)2 (y − h)2 =1 + 2 a2 b

eje focal

y=k

x=h

focos

F (h ± c, k)

F (h, k ± c)

vertices

V (h ± a, k )

V (h, k ± a)

a

a

semieje menor

b

b

relacion pitagorica

a2 = b2 + c2

a2 = b2 + c2

semieje mayor

Cuadro 1: translacion de elipses.

4.3.

Demostracion

Para obtener la ecuación de la elipse debemos utilizar la definición de ella como lugar geométrico. P F + P F ′ = 2a Para cualquier punto P (x, y) de la elipse, las distancias a los focos son: PF =

p

(x − (h − c))2 + (y − k)2 =

y 3

p

(x − h + c)2 + (y − k)2

PF′ =

p

(x − (h + c))2 + (y − k)2 =

p

(x − h − c)2 + (y − k)2

Si sumamos estas dos expresiones tendremos: p p P F + P F ′ = (x − (h − c))2 + (y − k)2 + (x − h + c)2 + (y − k)2 = 2A Para simplificar la ecuación anterior pasamos el segundo radical al segundo miembro de la igualdad p p (x − (h + c))2 + (y − k)2 = 2a − (x − h − c)2 + (y − k)2 Elevamos al cuadrado ambos terminos de la expresion p (x − h + c))2 + (y − k)2 = 4a2 − 4a (x − h − c)2 + (y − k )2 + (x − h − c)2 + (y − k )2 Eliminamos terminos semejantes (y − k)2 y desarrollamos los trinomios al cuadrado para obtener p x2 + h2 + c2 − 2xh + 2xc − 2hc = 4a2 − 4a (x − h − c)2 + (y − k)2 + x2 + h2 + c2 − 2xh + 2xc − 2hc Eliminamos terminos semejantes. p 2xc − 2hc = 4a2 − 4a (x − h − c)2 + (y − k)2 − 2xc + 2hc Agrupamos terminos semejantes. p 4xc − 4hc − 4a2 = −4a (x − h − c)2 + (y − k)2 Se dividen todos los términos entre 4 y se factoriza c en los dos primeros términos. p c(x − h)2 − a2 = −a (x − h − c)2 + (y − k)2 Ahora elevamos nuevamente al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada c2 (x − h)2 − 2ca2 (x − h) + a4 = a2 (x2 + h2 + c2 − 2xh + 2hc + (y − k)2 Desarrollamos los productos del segundo miembro agrupando c2 (x − h)2 − 2ca2 (x − h) + a4 = a2 (x2 − 2xh + h2 ) − 2a2 c(x − h) + a2 c2 + a2 (y − k)2 Eliminamos términos semejantes y agrupamos para escribirla como a4 − a2 c2 = (a2 − c2 )(x − h)2 + a2 (y − k)2 De los términos del primer miembro factorizamos a2 a2 (a2 − c2 ) = (a2 − c2 )(x − h)2 + a2 (y − k)2 Sustituimos la relacion pitagorica a2 − c2 = b2 en la ecuacion. a2 b2 = b2 (x − h)2 + a2 (y − k)2 Esta es la ecuación ordinaria de una elipse horizontal con centro en el punto c(h, k) Si dividimos la ecuacion por a2 b2 podemos escribir tambien la ecuacion de la forma. (y − k)2 (x − h)2 + =1 2 a b2

4

4.4.

4.4.1.

Determinacion de una ecuacion de la elipse con centro fuera del origen

ejemplo 1:

Encontrar una ecuacion para la elipse con centro en (2,-3) , un foco en (3,-3) y un vertice en (5,-3). Solucion: El centro esta en (h,k) a si que h = 2 y k = −3. La distancia centro vertice es: a=

p

(5 − 2)2 + (−3 − (−3))2 √ = 9 =3

La distancia foco es : c=

p

(3 − 2)2 + (−3 − (−3))2 √ = 1 =1

la distacia centro eje menor es : a2 = b2 + c2 b2 = a2 − c2 p b = (3)2 − (1)2 √ b= 9−1 √ b= 8

El eje mayor es paralelo al eje x. (y − k)2 (x − h)2 + =1 a2 b2 (y + 3)2 (x − 2)2 √ + =1 32 ( 8)2 (y + 3)2 (x − 2)2 + =1 9 8

5

Figura 5: grafica ejemplo 1. 4.4.2.

ejemplo 2: localizacion de los puntos clave en una elipse

Determine el centro , los vertices y los focos de la elipse (y − 5)2 (x + 2)2 =1 + 49 9 solucion: La ecuacion estandar de la elipse tiene la forma: (y − 5)2 (x + 2)2 =1 + 9 49 El centro es (−2, 5).Debido a que el semieje mayor es a = y los vertices (h, k ± a) son:

√ √ 49 = 7 ,el semieje menor es b = 9 = 3

(h, k + a) = (−2, 5 + 7) = (−2, 12) y (h, k − a) = (−2, 5 − 7) = (−2, −2) . puesto que c =

√ √ √ √ a2 − b2 = 49 − 9 = 40 los focos (h, k ± c) son (−2, 5 ± 40) y (−2, −1,32)

6

Figura 6: elipse ejemplo 2. 4.4.3.

ejemplo 3: Pasar de ecuacion original a ecuacion canonica 4x 2 + y 2 − 8x + 4y + 4 = 0

Se reescribe la ecuacion como: 4x2 − 8x + y2 + 4y = −4 Separamos los terminos x,y. 4(x2 − 2x) + (y2 + 4y) = −4 Cada termino se resuelve completando el cuadrado. 4(x2 − 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = −4 + 4 + 4 Se divide cada termino en 4. 4(x − 1)2 + (y + 2)2 = 4 Finalmente obtenemos la ecuacion canonica. (x − 1)2 (y + 2)2 =1 + 4 1 Analisis de la ecuacion: De la ecuacion canonica inferimos que el semieje mayor es paralelo al eje y entonces tenemos que : centro (h, k) = (1, −2) semieje mayor es a = 2 semieje menor es b = 1 vertices: (h, k ± a) (1, −2 ± 2) (1, 0) , (1, −4) focos: (h, k ± c) a2 = b2 + c2 relacion pitagorica. c2 = a2 − b2 c = 7

√ √ 4−1 = 3

(1, −2 +

√ √ 3) , (1, −2 − 3)

Figura 7: elipse ejemplo 3. 4.4.4.

ejemplo 4 4x2 + 16y2 − 8x − 96y + 84 = 0

. 4x2 − 8x + 16y2 − 96y = −84 . 4(x2 − 2x + 1 − 1) + 16(y2 − 6y + 9 − 9) = −84 . 4(x2 − 2x + 1) + 16(y2 − 6y + 9) = −84 + 1(4) + 16(9) . 4(x − 1)(x − 1) + 16(y − 3)(y − 3) = 64 . 4(x − 1)2 + 16(y − 3)2 = 64 . (x − 1)2 (y − 3)2 =1 + 4 16 El semieje mayor es paralelo al eje x entonces: el centro es (1, 3) semieje mayor a = 4 semieje menor b = 2 a2 = b2 + c2 = c2 = a2 − b2 8

c=

√ √ 16 − 4 = 2 3

√ √ focos f = (h ± c, k) = (1 − 2 3, 3), (1 + 2 3, 3) vertices = v = (h ± a, k) =(−3, 3), (5, 3)

Figura 8: elipse ejemplo 5.

Referencias [1] Demana, F., Ibarra Mercado, V., Alfaro Pastor, J., Filio Lopez, E. (2007). Precalculo. Naucalpa, Estado de Mexico: Pearson Educacion. [2] Larson, R., Falvo, D. (2012). Precalculo (8a. ed.). Mexico, D.F.: CENGAGE Learning. [3] Zill, D., Abad Gonzalez, M., Dewar, J., Soto Sanchez, J. (2012). Precalculo con avances de calculo. Mexico D.F. (Mexico): McGraw-Hill. [4] Sullivan, M. (1996). Precalculus. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall.

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