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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚTrabajo MonográficoRotación de sólido Rígido: “Rodadura sin deslizamiento desólidos por un plano inclinado”Trabajo que como parte del curso de Cálculo aplicado a la Física I (8595) presentan los alumnos:Yadelis Melva Valencia Marcos UJhon, Urpay Vicaña UCésar Adrián, ...

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Trabajo Monográfico

Rotación de sólido Rígido: “Rodadura sin deslizamiento de sólidos por un plano inclinado”

Trabajo que como parte del curso de Cálculo aplicado a la Física I (8595) presentan los alumnos: Yadelis Melva Valencia Marcos

U19309205

Jhon, Urpay Vicaña

U19306085

César Adrián, Yaranga Galindo

U19300346

Profesor José Fernando, Peralta Guerra

Ate, 26 de julio del 2020

2

Índice Índice..................................................................................................................................................... 2 1.

Introducción..................................................................................................................................3

2.

Aspectos Generales.......................................................................................................................4

3.

2.1.

Pregunta de investigación......................................................................................................4

2.2.

Objetivo General....................................................................................................................4

2.3.

Objetivos específicos.............................................................................................................4

Desarrollo......................................................................................................................................5 3.1.

Marco Teórico........................................................................................................................5

3.1.1. Traslación y rotación combinadas:.......................................................................................5 3.1.1.1.

Relaciones de energía................................................................................................5

3.1.1.2.

Rodamiento sin deslizamiento...................................................................................5

3.2.

Desarrollo analítico del experimento.....................................................................................7

Caso 1) Cilindro de macizo.............................................................................................................7 Caso 2) Cilindro de hueco..............................................................................................................8 3.3.

Desarrollo experimental mediante simulación....................................................................11

3.4.

Resultados...........................................................................................................................12

4.

Conclusiones................................................................................................................................15

5.

Bibliografía...................................................................................................................................16

Gráfico 1 Tiempo Vs. Ángulo de la rampa...........................................................................................12 Tabla 1 Cálculo realizado para un cilindro macizo..................................................................................8 Tabla 2 Cálculo realizado para un cilindro hueco.................................................................................10 Ilustración 1 El movimiento de un cuerpo rígido es una combinación de traslación del centro de masa y............................................................................................................................................................. 5 Ilustración 2 El movimiento de una rueda es la suma del movimiento traslacional del centro de masa y el movimiento rotacional de la rueda alrededor del centro de masa.................................................6 Ilustración 3 Esquema de rodadura de un cilindro macizo....................................................................7 Ilustración 4 Esquema de rodadura de un cilindro macizo....................................................................9 Ilustración 5 Elementos de la parte experimental, Solidworks - Motion..............................................11 Ilustración 6 Vista de elevación y de planta.........................................................................................11 Ilustración 7 Resultado del tiempo de llegada para un ángulo de 13°.................................................13 Ilustración 8 Resultado del tiempo de llegada para un ángulo de 14°.................................................13 Ilustración 9 Resultado del tiempo de llegada para un ángulo de 15°.................................................14 Ilustración 10 Resultado del tiempo de llegada para un ángulo de 16°...............................................14

3

1. Introducción En el presente trabajo de investigación se desarrolló el tema “Rotación de un sólido rígido”, el cual es parte del curso de Cálculo Aplicado a la Física I. En ese sentido, se realizó un experimento de manera teórica y aplicada. El desarrollo teórico se realizó mediante cálculos basados en las ecuaciones de dinámica y energía de cuerpos rígidos, mientras que el desarrollo experimental no pudo implementarse. Sin embargo, se realizó el experimento empleando el software de análisis dinámico “Solid Work 2018 – Solidwork Motion”. El experimento consistió en comparar la dinámica de rodadura sobre un plano inclinado de dos cuerpos rígidos, los cuales son un cilindro macizo y un cilindro hueco. En base a los resultados, se comparó el tiempo de recorrido a una misma distancia y fue aplicado para otros ángulos. El presente trabajo tuvo como motivación el desarrollo de un problema encontrado en el Libro: Fisica-Universitaria-Sears-Zemansky-12va-Edicion-Vol1, Ejemplo 10.5, cuyo enunciado dice: “Carrera de cuerpos rodantes”. En el proceso de investigación se encontro algunos videos donde el Prof. Walter Lewin (Astrophysics, Massachusetts Institute of Technology) desarrolló la parte experimental: “Moment of inertia by Walter Lewin”, publicado en el canal de Youtube el 21 de mayo del 2017.

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2. Aspectos Generales 1.1. Pregunta de investigación 

¿Cuál de los cilindros tiene menor tiempo de llegada a un recorrido de 1060 mm sobre un plano inclinado?

1.2. Objetivo General 

Comparar y calcular el tiempo de recorrido por parte de dos cilindros en un plano inclinado a distintos ángulos.

1.3. Objetivos específicos -

Identificar las ecuaciones que rigen la dinámica de los cuerpos rígidos.

-

Comparar el tiempo de recorrido experimental con el tiempo de recorrido teórico.

-

Aplicar el software de Simulación de fenómenos físicos Solidworks Motion.

-

Conocer cuál es la gráfica que describe un punto ubicado en un extremo del diámetro para ambos cilindros.

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3. Desarrollo 2.1. Marco Teórico 3.1.1. Traslación y rotación combinadas:

3.1.1.1.

Relaciones de energía

Demostrar que el movimiento de un cuerpo rígido siempre puede dividirse, en movimientos independientes de traslación del centro de masa y rotación alrededor del centro de masa, rebasa el alcance de este libro; no obstante, podemos comprobar que es cierto para la energía cinética de un cuerpo rígido con movimiento tanto traslacional como rotacional. En este caso, la energía cinética del cuerpo es la suma de una parte

1 2 ∗M ∗v cm 2

asociada al movimiento del centro de masa y una parte

1 2 ∗I ∗w 2

asociada a la rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:

1 1 2 K= ∗M ∗v cm2 + ∗I∗w 2 2 (cuerpo rígido con traslación y rotación) Ilustración 1 El movimiento de un cuerpo rígido es una combinación de traslación del centro de masa y rotación alrededor de ese centro.

[ CITATION Mun13 \l 10250 ]

3.1.1.2.

Rodamiento sin deslizamiento

Un caso importante de traslación y rotación combinadas es el de rodar sin deslizar, como el movimiento de la rueda que se muestra en la Ilustración 2. La rueda es simétrica, así que su centro de masa está en su centro geométrico. Visualizamos el movimiento en un marco de referencia inercial, en el cual la superficie sobre la que se rueda está en reposo. Aquí, el punto de la rueda que toca la superficie debe estar instantáneamente en reposo

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para que no resbale. Por lo tanto, la velocidad

'

v1

del punto de contacto, relativa al

centro de masa, debe tener la misma magnitud, pero dirección opuesta que la velocidad del centro de masa

v cm . Si el radio de la rueda es R y su rapidez angular alrededor del

centro de masa es w, la magnitud de

'

v1

es

R∗w ; por ello, debemos tener:

v cm =R∗w (condición para rodar sin resbalar) Ilustración 2 El movimiento de una rueda es la suma del movimiento traslacional del centro de masa y el movimiento rotacional de la rueda alrededor del centro de masa.

[ CITATION Mun13 \l 10250 ] Como muestra la Ilustración 2, la velocidad de un punto en la rueda es la suma vectorial de la velocidad del centro de masa y la velocidad del punto relativa al centro de masa. Así, mientras el punto 1 (el de contacto) está momentáneamente en reposo, el punto 3 en la parte de arriba se mueve hacia adelante con el doble de la rapidez del centro de masa, y los puntos 2 y 4 a los lados tienen velocidades a 45° con la horizontal. En un instante dado, podemos pensar que la rueda gira alrededor de un “eje de rotación instantáneo” que pasa por el punto de contacto con el suelo. La velocidad angular w es la misma para este eje que para un eje que pasa por el centro de masa; un observador en el centro de masa ve que el borde da el mismo número de revoluciones por segundo, como un observador en el borde, ve que el centro de masa da alrededor de él. Si vemos así el movimiento de la rueda de la Ilustración 2, la energía cinética de la rueda es

1 2 K= ∗I 1∗w , donde 2

I 1 es el momento de inercia de la rueda alrededor de un

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eje que pasa por el punto 1. Por el teorema de los ejes paralelos,

2

I 1 =I CM + M ∗R

, donde M es la masa total de la rueda e Icm es el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masa. La energía cinética de la rueda es:

1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 K= ∗I 1∗w = ∗I cm∗w + ∗ M ∗ R ∗w = ∗I cm∗w + ∗M∗v cm2 2 2 2 2 2 (cuerpo rígido con traslación y rotación) Si un cuerpo rígido cambia de altura al moverse, también debemos considerar la energía potencial gravitacional. Como vimos en la sección 9.4, la energía potencial gravitacional asociada a cualquier cuerpo extendido de masa M, rígido o no, es la misma que si sustituimos el cuerpo por una partícula de masa M situada en el centro de masa del cuerpo. Esto es,

U =M ∗g∗y cm

(Energía potencial gravitacional ) 2.2. Desarrollo analítico del experimento Se aplicará los conceptos de dinámica rotacional para poder determinar el tiempo de rodadura para cada caso.

Caso 1) Cilindro de macizo. Ilustración 3 Esquema de rodadura de un cilindro macizo

Aplicamos conservación de la energía mecánica:

Epg=Ek .traslación+ Ek . rotación 1 2 1 2 m∗g∗h= ∗m∗Vf + ∗I∗w 2 2

8

1 1 2 2 ∗( ∗m∗R )∗Vf 1 2 2 2 m∗g∗h= ∗m∗Vf + 2 R2 1 1 g∗h= ∗Vf 2+ ∗Vf 2 2 4 4 Vf = ∗g∗l∗ sen (θ) 3

√

Luego, aplicamos la ecuación de la cinemática para obtener la aceleración:

Vf 2=V 02 + 2∗a∗d 2

Vf =2∗a∗l 2 a= ∗g∗ sen (θ) 3 Finalmente, calculamos el tiempo que se demora en recorred la distancia l:

Vf =V 0+a∗t Vf =a∗t Vf t= a 3l t= g∗sen (θ)

√

A continuación, se muestra el procedimiento de cálculo, según el modelo analítico:

9 Tabla 1 Cálculo realizado para un cilindro macizo

[ CITATION Ela \l 10250 ]

Caso 2) Cilindro de hueco Ilustración 4 Esquema de rodadura de un cilindro macizo

Aplicamos conservación de la energía mecánica:

10

Epg=Ek .traslación+ Ek . rotación 1 2 1 2 m∗g∗h= ∗m∗Vf + ∗I∗w 2 2 R (¿ ¿ 2+r 2) 1 ∗m∗¿∗Vf 2 2 R2 1 2 1 m∗g∗h= ∗m∗Vf + ∗¿ 2 2 2 1 1 R +r 2 2 )∗Vf 2 g∗h= ∗Vf + ∗( 2 2 4 R 2 4∗R ∗g∗l∗sen( θ) Vf = 2 2 3 R +r

√

Luego, aplicamos la ecuación de la cinemática para obtener la aceleración: 2

2

Vf =V 0 +2∗a∗d 2

Vf =2∗a∗l 2 2∗R ∗g∗sen(θ) a= 2 2 3R +r Finalmente, calculamos el tiempo que se demora en recorred la distancia l:

Vf =V 0+a∗t Vf =a∗t Vf t= a

√

t=

l∗( 3 R2 +r 2 ) R2∗g∗sen(θ)

11 Tabla 2 Cálculo realizado para un cilindro hueco

[ CITATION Ela \l 10250 ]

12

2.3. Desarrollo experimental mediante simulación A continuación, se muestran los elementos que intervienen en el experimento, estos elementos parten del reposo de forma simultánea. Ilustración 5 Elementos de la parte experimental, Solidworks - Motion

[CITATION Ela \l 10250 ]

Ilustración 6 Vista de elevación y de planta

13

[ CITATION Ela \l 10250 ]

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2.4. Resultados

2.4.1. Resultados obtenidos del modelo analítico Del desarrollo del modelo analítico se tiene la siguiente grafica de resultados para seis ángulos de inclinación de la rampa y para ambos cilindros (macizo y hueco): Gráfico 1 Tiempo Vs. Ángulo de la rampa

Tiempo Vs. Angulo de la Rampa 1.400 1.323 1.276 f(x) = − 0.04 x + 1.82 1.234

tiempo de llegada (s)

1.300

1.201 1.200

1.196

1.158

1.161

f(x) = − 0.04 x + 1.65 1.119 1.100

1.129

1.085

1.053

1.024

t1 Macizo Linear (t1 - Macizo) t2 - Hueco Linear (t2 - Hueco)

1.000 0.900 0.800 10.00

11.00

12.00

13.00

14.00

15.00

16.00

17.00

18.00

19.00

Pendiente de la rampa (° sexagesimales)

[ CITATION Ela \l 10250 ]

Como se puede deducir, independientemente del ángulo de inclinación, el cilindro Macizo tiene un menor tiempo de llegada.

2.4.2. Resultados obtenidos de la simulación: A continuación, se presentan ilustraciones de los resultados obtenidos mediante simulación del experimento para los distintos ángulos de inclinación de la rampa.

15 Ilustración 7 Resultado del tiempo de llegada para un ángulo de 13°

[ CITATION Ela \l 10250 ]

Ilustración 8 Resultado del tiempo de llegada para un ángulo de 14°

[ CITATION Ela \l 10250 ]

16 Ilustración 9 Resultado del tiempo de llegada para un ángulo de 15°

[ CITATION Ela \l 10250 ]

Ilustración 10 Resultado del tiempo de llegada para un ángulo de 16°

[ CITATION Ela \l 10250 ] De las simulaciones realizadas, obtenemos también que el cilindro macizo tiene un menor tiempo de llegada, esto concuerda con los datos obtenidos de forma analítica.

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4. Conclusiones  Para ambos casos, cilindros huecos y macizos, el valor del tiempo de llegada a la posición final es independiente de la masa.  Para ambos casos, cilindros huecos y macizos, la velocidad final es directamente proporcional al ángulo de la rampa, es decir, a mayor ángulo, mayor rapidez.  Para ambos casos, cilindros huecos y macizos, el tiempo de llegada es inversamente proporcional al ángulo de la rampa, es decir a mayor ángulo, menor tiempo de llegada.  La rapidez del centro de gravedad de los cuerpos es independiente de su masa, por lo tanto, independientemente de su radio o su longitud, los cilindros macizos tendrán el mismo tiempo de llegada a la posición final.  El tiempo de llegada a la posición final del cilindro macizo es de 1.201 s, y del cilindro de hueco es de 1.323 s, sobre una rampa de 13° de pendiente.  Se obtuvo que, para los 06 ángulos de inclinación de la rampa planteados, siempre el cilindro macizo tiene un menor tiempo de llegada a la posición final.  La gráfica descrita por un punto fijo, ubicado en un extremo de su diámetro, para ambos cilindros es una epicicloide.

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5. Bibliografía  Lewin Walter, (21 de mayo del 2017), Moment of inertia Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=lvfzdibrUFA  Serway, (2008), Física para Ciencias e Ingenieria Vol 1, Septima Edición.  Zemansky, (2009), Física Universitaria Vol 1, Decimosegunda Edición.  Universidad de Sevilla, (2014), Cilindro que rueda por una pendiente. Recuperado de: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Cilindro_que_rueda_por_una_pendiente...