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PROBLEMA A Un condensatore piano ha armature circolari di raggio R = 10 cm poste a distanza d = 1 mm una dall’altra, collegate ai capi di un generatore di tensione oscillante V(t) = V0 sen(ω t), con V0 = 100 V e ω= 2103 rad/s, per mezzo di due fili conduttori di resistenza trascurabile. Il tutto è immerso in un mezzo dielettrico con costante dielettrica relativa e = 1.5. Si ipotizzi che il campo elettrico all’interno del condensatore sia uniforme. (costante dielettrica del vuoto: 0 = 8.8510-12 F/m; permeabilità magnetica del vuoto:  0 = 410-7 H/m)

DOMANDA A1 Calcolare la capacità del condensatore. (riportare nello spazio sottostante la formula letterale finale, in funzione dei dati del problema, ed il risultato numerico, accompagnato dalle unità di misura)

La capacità del condensatore è pari a 𝐶=

𝜀0 𝜅𝑒 𝜋 𝑅 2 𝑑

= 4.17 ∙ 10−10 F

PROBLEMA A Un condensatore piano ha armature circolari di raggio R = 10 cm poste a distanza d = 1 mm una dall’altra, collegate ai capi di un generatore di tensione oscillante V(t) = V0 sen(ω t), con V0 = 100 V e ω= 2103 rad/s, per mezzo di due fili conduttori di resistenza trascurabile. Il tutto è immerso in un mezzo dielettrico con costante dielettrica relativa e = 1.5. Si ipotizzi che il campo elettrico all’interno del condensatore sia uniforme. (costante dielettrica del vuoto: 0 = 8.8510-12 F/m; permeabilità magnetica del vuoto:  0 = 410-7 H/m)

DOMANDA A2 Calcolare l’intensità della corrente elettrica che passa nei fili conduttori, in funzione del tempo. (riportare nello spazio sottostante la formula letterale finale, in funzione dei dati del problema ed eventualmente in funzione delle quantità determinate nel punto precedente, ed il risultato numerico, accompagnato dalle unità di misura)

In regime stazionario l’intensità di corrente che scorre nei fili conduttori è pari all’intensità di corrente di spostamento presente nel condensatore: 𝑖 = 𝜀 0 𝜅𝑒

𝑑𝐸 𝜀0 𝜅𝑒 𝜋 𝑅 2 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑Φ(𝐸󰇍 ) = = 𝜀 0 𝜅𝑒 𝜋 𝑅 2 =𝐶 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝐶𝜔𝑉0 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 2.62 ∙ 10−10 𝑐𝑜𝑠(2𝜋 ∙ 103 𝑡) A

PROBLEMA A Un condensatore piano ha armature circolari di raggio R = 10 cm poste a distanza d = 1 mm una dall’altra, collegate ai capi di un generatore di tensione oscillante V(t) = V0 sen(ω t), con V0 = 100 V e ω= 2103 rad/s, per mezzo di due fili conduttori di resistenza trascurabile. Il tutto è immerso in un mezzo dielettrico con costante dielettrica relativa e = 1.5. Si ipotizzi che il campo elettrico all’interno del condensatore sia uniforme. (costante dielettrica del vuoto: 0 = 8.8510-12 F/m; permeabilità magnetica del vuoto:  0 = 410-7 H/m)

DOMANDA A3 Calcolare il campo elettrico massimo all’esterno del condensatore, in un punto P sull’asse a distanza L (L >> R) dal centro del condensatore (in queste condizioni, il condensatore è approssimabile a un dipolo elettrico) (riportare nello spazio sottostante la formula letterale finale, in funzione dei dati del problema ed eventualmente in funzione delle quantità determinate nel punto precedente, il risultato numerico, accompagnato dalle unità di misura e una breve descrizione a parole del procedimento svolto)

Il campo elettrico generato da un dipolo elettrico in un punto che dista L dal dipolo, vale: 󰇍 = 𝐸

1 [3(𝑝 ∙ 𝑢󰇍 𝑟 )𝑝 − 𝑝] 4𝜋 𝜀0 𝜅𝑒 𝐿3

Nel caso in esame il momento di dipolo 𝑝 vale in modulo: 𝑝 = 𝑞 𝑑 = 𝐶 𝑉0 𝑑 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡. Poiché viene richiesto il campo elettrico massimo si deve considerare il valore massimo del momento di dipolo: 𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝐶 𝑉0 𝑑 . Poiché il punto P è sull’asse del dipolo si ha che 𝑝 | | 𝑢󰇍 𝑟 da cui: 2𝑝 󰇍 = 𝐸 4𝜋 𝜀 𝜅 𝐿 3 0 𝑒

Se L = 10 m: 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 5.0 ∙ 10−4 V/m Se L = 12 m: 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 2.89 ∙ 10−4 V/m Se L = 15 m: 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 1.48 ∙ 10−4 V/m Se L = 20 m: 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 6.25 ∙ 10−5 V/m

→ 𝐸𝑚𝑎𝑥 =

2 𝐶 𝑉0 𝑑

4𝜋 𝜀0 𝜅𝑒 𝐿 3

PROBLEMA A Un condensatore piano ha armature circolari di raggio R = 10 cm poste a distanza d = 1 mm una dall’altra, collegate ai capi di un generatore di tensione oscillante V(t) = V0 sen(ω t), con V0 = 100 V e ω= 2103 rad/s, per mezzo di due fili conduttori di resistenza trascurabile. Il tutto è immerso in un mezzo dielettrico con costante dielettrica relativa e = 1.5. Si ipotizzi che il campo elettrico all’interno del condensatore sia uniforme. (costante dielettrica del vuoto: 0 = 8.8510-12 F/m; permeabilità magnetica del vuoto:  0 = 410-7 H/m)

DOMANDA A4 Determinare il modulo del campo magnetico B all’interno del condensatore, in funzione del tempo t e alla distanza r dall’asse del condensatore. (riportare nello spazio sottostante la formula letterale finale, in funzione dei dati del problema ed eventualmente in funzione delle quantità determinate nel punto precedente, il risultato numerico, accompagnato dalle unità di misura e una breve descrizione a parole del procedimento svolto)

Il campo magnetico può essere determinato utilizzando la quarta equazione di Maxwell (legge di AmpereMaxwell). Poiché l’unica corrente che scorre tra le armature del condensatore è quella di spostamento, si ha: ∮ 𝐵󰇍 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝜀0 𝜅𝑒

𝑑 ∫ 𝑑𝑡 Σ

󰇍󰇍󰇍𝑛 𝑑Σ 𝐸󰇍 ∙ 𝑢

(1)

dove  è l’area racchiusa dalla linea di circuitazione. Le linee di campo del vettore 𝐵󰇍 , indotto dalla variazione temporale di 𝐸󰇍 , sono perpendicolari alle linee di forza di 𝐸󰇍 e le concatenano. Per la simmetria del problema esse sono delle circonferenze centrate sull’asse del sistema (asse perpendicolare alle armature e passante 󰇍 per il centro delle stesse). Se pertanto viene scelta come linea di circuitazione una linea di campo di 𝐵󰇍 , 𝐵 risulterà in ogni punto parallelo a 𝑑𝑙 e risulterà avere lo stesso modulo in tutti i punti lungo tale linea. Dall’eq. (1) si ottiene pertanto che per r < R il modulo di 𝐵󰇍 vale: 2𝜋𝑟𝐵 = 𝜇0 𝜀0 𝜅𝑒 𝜋𝑟 2

𝑑𝐸

𝑑𝑡

Se r = 3 cm: 𝐵 = 1.57 ∙ 10−10 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑇 Se r = 4 cm: 𝐵 = 2.10 ∙ 10−10 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑇

Se r = 5 cm: 𝐵 = 2.62 ∙ 10−10 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑇

Se r = 6 cm: 𝐵 = 3.14 ∙ 10−10 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑇

→

𝐵=

𝜇0 𝜀0 𝜅𝑒 𝑟 𝑑𝐸 2 𝑑𝑡

=

𝜇0 𝜀0 𝜅𝑒 𝑟 𝑑𝑉 2𝑑 𝑑𝑡

=

𝜇0 𝜀0 𝜅𝑒 𝑟 2𝑑

𝑉0 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

PROBLEMA B Luce emessa da due sorgenti di frequenza rispettivamente f1 = 51014 Hz e f2 = 51014 Hz colpisce normalmente N=10 fenditure molto sottili, separate tra loro dalla distanza a = 50 m. Le intensità della luce emessa dalle due sorgenti sono, rispettivamente, I1 = 50 mW/m2 e I2 = 30 mW/m2. Si osservano le figure di interferenza su uno schermo posto a grande distanza dal piano contenente le fenditure e parallelo ad esso. Tutto il sistema è immerso in acqua (indice di rifrazione n=1.33). (costante dielettrica del vuoto:  0 = 8.8510-12 F/m; permeabilità magnetica del vuoto:  0 = 410-7 H/m)

DOMANDA B1 Determinare le velocità di propagazione v1 e v2 e i numeri d’onda k1 e k2 della luce emessa dalle due sorgenti. (riportare nello spazio sottostante la formula letterale finale, in funzione dei dati del problema, ed il risultato numerico, accompagnato dalle unità di misura)

La velocità è la stessa per le due onde in quanto si propagano nello stesso mezzo (che si assume con n = cost nell’intervallo di frequenze considerato): 𝑣1 = 𝑣2 =

𝑐

𝑛

= 2.256 ∙ 108 m/s

Il numero d’onda dell’onda con frequenza f1 vale: 𝑘=

2𝜋

𝜆1

=

2𝜋𝑓1 𝑣

= 1.39 ⋅ 107 m-1

Il numero d’onda dell’onda con frequenza f2 vale: 𝑘=

2𝜋

𝜆2

=

2𝜋𝑓2 𝑣

= 1.67 ⋅ 107 m-1

DOMANDA B2 Determinare la distanza angolare | 2 -  1| tra i massimi principali di interferenza di ordine m = 4 delle due componenti. (Riportare nello spazio sottostante la formula letterale finale, in funzione dei dati del problema ed eventualmente in funzione delle quantità determinate nel punto precedente, il risultato numerico, accompagnato dalle unità di misura e una breve descrizione a parole del procedimento svolto (impostazione e passaggi principali))

La posizione angolare del massimo principale del quarto ordine dell’interferenza vale: 𝑠𝑒𝑛𝜃4𝑚𝑎𝑥 =

4𝜆 𝑎

Di conseguenza: |𝜃2,

4𝑚𝑎𝑥 −

𝜃1,

4𝑚𝑎𝑥 |

= |𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

4𝑣

𝑎 𝑓2

− 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

4𝑣

𝑎 𝑓1

| = 0.345°

DOMANDA B3 Determinare il valore dell’ampiezza del campo magnetico sullo schermo per la componente di frequenza f1 (o f2), in corrispondenza dei massimi principali. (Riportare nello spazio sottostante la formula letterale finale, in funzione dei dati del problema ed eventualmente in funzione delle quantità determinate nel punto precedente , il risultato numerico, accompagnato dalle unità di misura e una breve descrizione a parole del procedimento svolto (impostazione e passaggi principali))

L’intensità trasportata da un’onda armonica piana che si propaga in un mezzo che ha indice di rifrazione n vale: 𝐼=

1 1 𝜀0 𝑛2 𝐸02 𝑣 = 𝜀0 𝑛2 𝐵02 𝑣 3 2 2

essendo 𝐸0 = 𝐵0 𝑣. Inoltre, poiché siamo in corrispondenza di un massimo principale, l’intensità sarà pari a 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝑁 2 𝐼 Di conseguenza: 𝐵0 = √

2 𝑁2 𝐼

𝜀0 𝑛2 𝑣 3

Per la componente di frequenza f1 : 𝐵0 = √

2 𝑁 2 𝐼1

= 2.359 ∙ 10−7 T

2 𝑁 2 𝐼2 2 3 0𝑛 𝑣

= 1.827 ∙ 10−7 T

𝜀0 𝑛2 𝑣 3

Per la componente di frequenza f2 : 𝐵0 = √ 𝜀

DOMANDA B4 Determinare l’intensità del massimo centrale d’interferenza prodotto dalle due sorgenti. (riportare nello spazio sottostante la formula letterale finale, in funzione dei dati del problema ed eventualmente in funzione delle quantità determinate nel punto precedente, ed il risultato numerico, accompagnato dalle unità di misura)

Per il principio di sovrapposizione in corrispondenza al massimo centrale, l’intensità sarà pari alla somma delle intensità dei massimi delle due onde (N.B. le due onde non interferiscono tra loro perché hanno frequenze differenti): 𝐼max 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟. = 𝑁2 𝐼1 + 𝑁 2 𝐼2 = 8 W/m2...