Esercizi - Blocco Telecom PDF

Preview

Summary

Download Esercizi - Blocco Telecom PDF

Description

Blocco Telecom Esercizio 1 Mancante

Esercizio 2 Calcolare la densità spettrale del segnale aleatorio così definito:  1  s (t ,ζ ) =  e −( t −T ) u (t − T ) 

con prob. = con prob. =

1 4 3 4

Siccome il segnale assume con probabilità non nulla una manifestazione a potenza finita, per "densità spettrale" devo intendere la densità spettrale di potenza, che in questo caso è la media (pesata con le relative probabilità) tra le densità spettrali di potenza di quei due segnali. Il primo ha densità spettrale di potenza pari a δ( f ) . Il secondo ha densità spettrale di potenza pari a zero. Quindi il segnale s (t , ζ ) ha densità spettrale di potenza pari a 1 δ( f ) 4 Volendo fare tutti i conti, viene 1 3 −( − ) 1 3 − (2 − τ− 2 ) − ( +τ− ) Rs ( t, t + τ ) = s( t, ζ ) s(t + τ , ζ ) = 1 ⋅1 + e t T u( t − T ) e t T u( t + τ − T ) = + e t T u( t − T ) u( t + τ − T ) 4 4 4 4

< Rs (t ,t + τ )> = lim →∞ T0

1 T0

T 0/2

∫

− T0 /2

 1 3 − (2 t −τ −2 T)  u(t − T ) u( t + τ −T )  dt  + 4e 4 

Il secondo addendo, integrato da –∞ a ∞, viene una quantità finita, che al limite sparisce. < Rs (t ,t + τ ) >=

1 4

1 Ws ( f ) = F < Rs ( t, t + τ) >  = δ( f ) 4 OK

Esercizio 3 Calcolare la densità di probabilità del primo ordine del segnale aleatorio così definito: 1  4  s (t ,ζ ) =  cos(2π f 0t )   sin(2 π f0 t) 

p s (x ) = OK

con prob. =

1

4 2 con prob. = 4 1 con prob. = 4

1  1 2 1 δ  x −  + δ(x − cos(2 π f 0t) ) + δ( x −si n(2π f 0t )) 4  4 4 4

Esercizio 4 Calcolare la densità di probabilità del primo ordine del segnale aleatorio così definito: 1  4  s (t ,ζ ) =  cos(2π f 0t )   sin(2 π f0 t) 

p s (x ) =

con prob. = con prob. =

1 3 1

3 1 con prob. = 3

1  1 1 1 δ x −  + δ(x − cos(2 π f 0 t) ) + δ(x − si n(2π f 0 t )) 3  4 3 3

OK

Esercizio 5 Due variabili aleatorie X e Y possiedono la seguente densità di probabilità incrociata:

1 p XY (x , y ) =   0

0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x altrove

Verificare se esse sono statisticamente indipendenti.

∞

p X (x ) =

∫p

XY

−∞

 x (x , y )dy =   0

 2 − y (x ,y )dx =   0 x ( 2 − y ) p X (x )p Y (y ) =  0

x ∈[0, 2 ] altrove

∞

p Y (y ) =

∫p

x ∈ [0, 2]

XY

altrove

−∞

x ∈[0, 2 ], y ∈[0, 2] altrove

p X (x ) p Y ( y ) ≠ p XY ( x , y )

Quindi X e Y non sono statisticamente indipendenti. OK

Esercizio 6 Un segnale s(t) reale stazionario con valor medio nullo e funzione di autocorrelazione R s (τ ) = cos(πτ / T )

viene stimato secondo la seguente regola

sˆ (t ) = ks (t + T ) Valutare il parametro k che rende minimo il valor quadratico medio dell'errore e( t) = s( t ) − sˆ( t) .

e (t ) = s (t )− sˆ(t ) = s (t )− ks (t+ T ) e 2 (t ) = s 2 (t ) + k 2 s 2 (t + T ) − 2s (t ) s (t + T )

e 2 (t ) = Rs (0) + k 2 Rs (0) − 2Rs (T ) e 2 ( t ) = 1 + k 2 + 2k e 2 (t ) = (k + 1) 2 che si minimizza per k = -1.

OK, ma a che serviva la precisazione del valor medio nullo?

Segnale stazionario ⇒ s2 (t ) = s2 (t +T ) = Rs (0) .

Esercizio 7 Un rumore gaussiano n(t) a valor medio nullo e densità spettrale costante pari a η è proiettato in un sottospazio lineare a due dimensioni caratterizzati dalle seguenti funzioni di base:  2 t   cos  2π   u1 (t ) =  T  T 0   2 t   sin  2 π   u2 ( t) =  T T  0 

t ∈ [0,T ] altrove t ∈ [0,T ] altrove

Calcolare le densità di probabilità del primo ordine delle componenti di n(t) lungo le due dimensioni individuate dai vettori u1 e u2 .

Il Blocco Telecom si perde. Ordeal sembra che lo risolve. In ogni caso non l'ho capito. La teoria di quest'esercizio è alla fine del II libro.

Esercizio 8 Dimostrare che l'insieme di funzioni  2  t cos  2π k   uk (t ) =  T T  0 

 T T t ∈ − ,   2 2 altrove

con k naturale da 0 a ∞, è un insieme ortonormale, e individuare la classe di segnali rispetto alla quale l'insieme è completo.

< un (t ), um (t ) >=

2 T

< un (t ), um (t ) >=

1 T

T /2

t t    cos 2π n  cos 2π m  dt T T   − T /2

∫

T /2

∫ − T /2

1  T < u n (t ),u m (t ) >=  1 T 

  t  cos  2π (n + m ) T  

cos α cos β =

cos(α + β ) + cos(α − β ) 2

t     + cos  2π (n − m) T  dt   

  t  cos  2π ( n + m)  + 1 dt T    T /2   t  ∫  cos  2π ( n + m) T  + 1 dt − T /2  T /2

∫

n= m

− T /2

n≠ m

1 n = m = 0 n≠m

Quindi quei due integrali sono ortogonali. Da notare che il caso n = -m, che anch'esso farebbe risultare 1 l'integrale, non si può verificare per l'ipotesi che k va da 0 a ∞. Per individuare la classe di segnali rispetto alla quale l'insieme è completo, notiamo che un segnale s(t) con supporto [-T/2, T/2] lo possiamo scrivere come  t s (t ) = s% (t )Π   T

dove %s( t) è un segnale periodico di periodo T.

Il segnale %s (t ) lo posso sviluppare in serie di Fourier trigonometrica, come

∞

%s (t ) = a0 +

∑A

n

n= 1

  t  t  cos  2π n  + Bn sin  2π n  T 0 T 0  

 t   2  An = T ∫ %s( t) cos 2 π n T  dt 0T 0    0  t    2 %s( t) sin 2 π n dove  Bn = dt T 0 T∫0 T 0     1 %s( t) dt  a0 = T0 ∫T0  

Se il segnale s(t), di conseguenza anche il segnale %s (t ) è pari, e lo sviluppo in serie di Fourier trigonometrica si riduce a ∞

%s (t ) = a 0 +

∑A

n

n= 1

t   cos  2π n  T0 

∞  t   t   s( t) = a0 + ∑ An cos 2 π n  Π  T  T 0 n= 1    

∞   T    T s (t ) =   a 0  u0 + ∑  A u   2 n  n n= 1   2    

Quindi la base {u n} è completa rispetto alla classe dei segnali pari a supporto [-T/2, T/2]. OK

Esercizio 9 Calcolare la funzione di autocorrelazione forse intende mutua correlazione tra i segnali

s 1( t) = cos(2π f 0t) s 2 (t ) = cos (2π f 0t + π / 4)

T

1 /2 cos(2π f 0 (t + τ ) ) cos(2π f 0 t + π / 4)d t T −T∫/2

γ 12 (τ ) = lim

T 0→ ∞

cos α cos β =

cos(α + β ) + cos(α − β ) 2

T/2

1 T0 →∞ T 2

∫

γ 12 (τ ) = lim

 cos(2π f 0 (2t + τ ) + π / 2) + cos(2π f 0τ − π /4)  dt

Il primo integrale fa zero (media di un coseno).

− T/2

1 2

γ12 ( τ ) = cos(2 π f 0 τ −π / 4) Giusto? Errore in Ordeal, mette il τ nel secondo segnale. Il Blocco Telecom invece fa un casino!

Esercizio 10 Calcolare la funzione di autocorrelazione del segnale 1

s (t ) = cos(2π f 0t )+ cos(2π f 0t + π / 4) = ∑ cos(2π f 0t + nπ / 4)

Che senso ha sta sommatoria?

n= 0

T

γ 12 (τ ) = lim

1 /2  cos(2π f 0 (t + τ )) + cos(2π f 0 (t + τ ) + π / 4)  cos(2π f 0t ) + cos(2π f 0t +π / 4)  dt T −T∫/2 

γ 12 (τ ) = lim T

1 [cos(2π f0 ( t + τ )) cos(2π f0 t) + cos(2 π f0 ( t + τ)) cos(2 π f0 t + π / 4) + cos(2 π f0 ( t + τ) + π / 4) cos(2 π f0 t) T −T∫ /2

T 0 →∞

T /2

0 →∞

+ cos(2π f0 (t + τ ) + π / 4) cos(2π f0 t + π / 4)]dt 1 γ 12( τ ) = lim T0 →∞ 2 T

T /2

∫

[cos(2 π f 0(2 t + τ )) + cos (2π f 0 τ ) + cos(2π f 0 (2t + τ ) + π / 4) + cos(2π f 0τ −π / 4)

− T /2

+ cos(2π f0 (2t +τ ) +π / 4) +cos(2π f 0τ +π / 4) +cos(2π f0 (2t +τ ) +π / 2) +co s(2π f 0 τ )]dt

1 γ 12 (τ ) = cos( 2π f 0τ )+ cos(2π f 0τ − π / 4)+ cos(2 π f 0 τ+ π / 4)+ cos( 2π f 0 τ)  2 1 γ 12 (τ ) = cos(2π f 0τ )+  cos(2 π f0 τ − π / 4) + cos(2 π f 0τ+ π / 4)  2

γ 12 (τ ) = cos( 2π f 0τ ) + cos(2π f 0τ ) cos(π / 4) γ 12(τ ) = cos(2 π f 0τ )+ cos(2π f 0τ )



γ 12 (τ ) =  1 + 

OK

2  cos(2π f 0τ ) 2 

2 2

Esercizio 11 Calcolare la trasformata di Fourier del segnale (V. figura).

t  s '( t) = Π   T S (f ) =

S (f ) =

1 δ ( f ) + T sinc( fT ) Pf 2

s (∞) + s (−∞ )  1  δ (f ) + S D (f ) Pf   2  j2π f 

 1     j 2π f 

OK

Esercizio 12 Determinare la risposta in frequenza del sistema (V. figura). N.B.: T denota un elemento di ritardo ideale di valore T.

∞

t

y ( t) = ∫ [ x(τ ) − y (τ −T )]dτ = ∫ [ x(τ ) − y(τ − T )]u (t −τ ) dτ = [ x(t ) − y(t − T )] ∗u( t) −∞

−∞

Y( f) =  X( f )− e

− j2 π fT

 1  δ ( f )+  jπ f  

1 Y ( f ) 2

 1 −  1 Y( f ) 1 + e j 2π fT δ ( f ) +  2 jπ f  

 1  1     = X( f) δ ( f) + 2 j f  π  

1 1  δ ( f ) +  jπ f  2 Y( f ) = X( f ) 1 − 2  1  1 + e j π fT δ ( f ) +  jπ f  2 

1  δ( f ) + 2 Y( f ) = X( f) 1 1+ δ ( f ) + 2

1   jπ f  −j 2 fT

e π j2π f

 1  δ ( f ) +  jπ f   H (f )= − j 2π fT e 1 1 + δ( f ) + j 2π f 2 1 2

OK

Esercizio 13 Dimostrare che l'insieme di funzioni  2  t  sin  2π k   uk ( t) =  T T   0

 T T t ∈ − ,   2 2 altrove

è un insieme ortonormale, e individuare la classe di segnali rispetto alla quale l'insieme è completo.

Momentaneamente tralasciato. Simile al numero 8.

Esercizio 14 Valutare la funzione di mutua correlazione tra x(t) e y(t) (V. figura) nell'ipotesi che il segnale s(t) sia bianco con densità spettrale pari a η.

 f  X ( f ) = S ( f )Π    fm   f  Y ( f ) = S ( f )Π   2 f m    ∞

x (t ) = s (t )∗ f m sinc(tf m ) = f m

∫ s ( τ ) sinc(f

m

(t − τ ))d τ

−∞ ∞

y (t ) = s ( t ) ∗ 2 f m sinc(2tfm ) = 2 f m

∫ s (τ ) sinc(2 f

m

(t − τ )) d τ

−∞

(Ordeal) Il sistema è LTI. Il segnale s(t) è stazionario per definizione.

R XY (t 1, t 2 ) = x( t 1) y ( t 2 ) ∞

∞

R XY ( t1 , t2 ) = 2 fm2 ∫ s(τ 1 ) sin c( f m ( t1 − τ 1 )) dτ 1 −∞

∫

s(τ 2 ) sinc(2 fm ( t2 − τ 2 )) dτ 2

−∞

∞ ∞

2 R XY ( t1 , t2 ) = 2 f m ∫

∫ s( τ ) s(τ 1

2

s (τ1 )s (τ 2 ) = Rs (τ 2 − τ1 ) = ηδ (τ 2 − τ 1 )

) sinc( fm ( t1 − τ1 )) sinc(2 f m ( t2 − τ 2 )) dτ 1d τ 2

−∞ −∞ ∞ ∞

R XY ( t1 , t2 ) = 2 f m2 ∫

∫ ηδ ( τ

− τ1 ) sinc( f m ( t1 − τ1 )) sinc(2 f m ( t 2 − τ 2)) d τ1d τ 2

2

−∞ −∞ ∞

∞

R XY ( t1 , t2 ) = 2 f m2η ∫ sinc(2 f m ( t2 − τ 2 )) −∞

∫ δ(τ

2

−τ 1 ) sinc( fm ( t1 −τ 1)) dτ 1d τ 2

−∞

∞

RXY( t1 , t2 ) =2 fm2η ∫ sinc(2 fm ( t2 −τ2 )) sinc( fm( t1 − τ 2 )) dτ 2

Pongo t2 − τ 2 = τ .

−∞ ∞

2 RXY ( t1 , t2 ) =2 f m η ∫ sinc(2 fm (τ )) si nc( fm ( t1 − t2 + τ )) dτ

La sinc è pari.

−∞ ∞

RXY ( t1 , t2 ) = 2 f m2η ∫ sinc(2 fm (τ )) si nc( fm ( t2 − t1 − τ )) dτ

Pongo t2 − t1 = t .

−∞ ∞

RXY (t1 , t2 ) = 2 f m2η ∫ sinc(2 fm (τ )) sinc( fm (t −τ )) dτ −∞

RXY (t1 , t2 ) = 2 f m2η sinc(2 f mt ) ∗sinc( fm t ) 

RXY (t1 , t2 ) = 2 f m2η F − 1 F sinc(2 fm t ) ∗ sinc( fm t )      1  f  1  f  RXY (t1 , t2 ) = 2 f m2η F − 1  Π  Π   f f f 2 2 f  m  m  m  m   1  f  RXY (t1 , t2 ) = 2 f m2η F − 1  2 Π    f 2  m  fm  R XY (t 1, t 2) = η fm sinc( fm t) Giusto? Il Blocco Telecom e Ordeal si fermano alla convoluzione tra le due sinc.

Esercizio15 Mancante

Esercizio 16 Un sistema lineare è individuato dalla seguente relazione di ingresso-uscita: y (t ) = x (t − T ) + x '(t ) + x (t + T )

Determinare la risposta in frequenza del sistema. Determinare la potenza media in uscita nell'ipotesi che x(t) sia un segnale con densità spettrale Wx ( f ) = Π ( f T ) .

Y ( f ) = e− j 2 π fT X ( f ) + j2π f X ( f ) + e j 2 π fT X ( f ) − j 2π fT + e j2π fT ) X ( f ) Y ( f ) = ( j2 π f + e

H ( f ) = j 2π f + e − j 2 πfT + e j 2 π fT H ( f ) = 2  jπ f + cos(2π fT )

(Ordeal) Poiché il sistema è LTI, posso scrivere W y( f ) = W x( f ) | H ( f ) | 2

(Ordeal) se supponiamo l'ingresso stazionario in senso lato

Wy( f ) = Π( fT ) 4  cos (2π fT ) + (π f )2  2

1/2T

∫

Py ( f ) = 4

 cos 2 (2π fT ) + ( π f ) 2 df

− 1/2 T

cos α cos β =

cos(α + β ) + cos(α − β ) 2

⇒ cos2 α =

cos(2α ) + 1 2

1/2T

1 1  Py ( f ) = 4 ∫  cos(4π fT ) + + ( π f ) 2 df 2  −1/2 T  2

Py ( f ) =

2 T

+

π2

1/2 T

 f 3 3   −1/2T

Quel coseno ha periodo 1/2T, e integrato in un intervallo 1/T si annulla.

Py ( f ) =

2 π 2 1/2T f + − f − 1/2T  T 3 

Credo che i calcoli siano giusti, ma i risultati non coincidono con Ordeal e il Blocco Telecom.

Esercizio 17 Calcolare la convoluzione in frequenza di due segnali di cui le trasformate di Fourier valgono S1 ( f ) = sinc( fT1 ) S2 ( f ) = sinc( fT2 )

T1 = 2 T 2

 1  t S1 ( f ) ∗S 2 ( f ) = F s1 (t )s 2 (t ) = F  Π   T1  T1

 1  t   Π   = F  T2  T2 

 1  t  T 1 sinc(fT2 )  2 Π   = 22 sinc(fT2 )= 2T2  2T 2  T2  2T 2

OK, ma nel Blocco Telecom c'è un appunto riguardo al teorema delle derivate.

Esercizio18 Siano X e Y due variabili aleatorie uniformemente distribuite nel quadrato [-1, 1]x[-1, 1]. Calcolare la seguente densità di probabilità condizionata:

p

1 X |Y > 3

(α)

∞

1 α  Pr  x ≤ α ∧ y >  ∫ ∫ 3 −∞ 1/3 P 1 (α ) =  =∞ ∞ X |Y> 1  3 Pr  y >  ∫∫ 3  −∞ 1/3      0  α 1 1 dydx  4 ∫ ∫ P 1 (α ) =  −11 1/1 3 X |Y> 3 1 dydx  4∫ ∫  −11 1/13 1  ∫ ∫ dydx  4 − 1 1/ 3 1 1 1  ∫ ∫ dydx  4 − 1 1/ 3

α < −1

−1 ≤α ≤ 1

α >1

0  α 1 + P 1 (α ) =  X |Y> 3  2 1 d p 1 ( α) = P ( α) = X| Y > dα X | Y > 13 3

∞

 x  y  1  x 1  y  1α Π   Π   dydx ∫ 1/3∫ Π  2  Π  2  dydx 2  2 2  2  4 −∞ = ∞ ∞  x  y 1  x 1  y 1 Π   Π   dydx ∫ 1/3∫ Π 2  Π  2  dydx 2  2  2 2  4 −∞

α < −1 −1 ≤α ≤ 1

α>1 0  1  2 0

α < −1 −1 ≤ α ≤ 1

α >1

OK

Esercizio 19 Siano X e Y due variabili aleatorie uniformemente distribuite nel quadrato [-1, 1]x[-1, 1]. Calcolare la seguente densità di probabilità condizionata:

p Y| X<

1 2

( α)

Momentaneamente tralasciato. Molto simile all'esercizio 18.

Esercizio 20 Sia X una variabile aleatoria uniformemente distribuita in [-a , a ]. Calcolare la seguente densità di probabilità condizionata:

p X | X < 0 (α )

Momentaneamente tralasciato. Molto simile agli esercizi 18 e 19.

Esercizio 21 Sia ∞

∑a

s (a , t ) =

p (t − nT )

n

n =−∞

con p (t ) = u (t )e

−

t T

un segnale aleatorio, dove la sequenza {an } è una sequenza casuale di elementi contenuti nell'insieme {-1, 1}, indipendenti ed equiprobabili. Calcolare il valor quadratico medio di s(a , t).

∞

s 2 (a ,t )=

 a2 n dove an am =   an am

∞

∑ ∑ a a p (t − nT )p (t − mT ) n

m

n=−∞ m=−∞ ∞

∑p

s 2 ( a, t) =

∞

2

(t − nT ) =

n=−∞

s 2 (a, t ) = e

−

−

2 t t /T T

∑e

2t ∞ T

2n

=e

−

2t T

t − nT ≥ 0 ⇔ n ≤ t /T

∞

∑

e−2n

Pongo k = n +t /T .

n=− t / T t −2 k−  T 

∑e

∞

= ∑ e−

k= 0

s 2 (a , t ) =

2( t − nT) T

n=−∞

n=−∞

s 2 (a , t ) = e

−

∑ u (t − nT )e

1 n = m = n≠ m 0 n ≠ m

n= m

∞

2k

Ricordiamo che

k= 0

∑r

n

=

n =0

1 1 −r

1 −2 1− e

Sembrerebbe giusto.

Esercizio 22 Un segnale stazionario con densità di probabilità del primo ordine uniforme in [-2, 2] attraversa un sistema non lineare Ordeal scrive "lineare" la cui caratteristica ingresso-uscita è riportata in figura (V. figura). Determinare il valor quadratico medio del segnale d'uscita.

∞

y 2 (t ) =

∫y

∞

2

( x ) p X ( x )dx =

−∞

∫ (tr(x − 1) − tr( x + 1)) −∞

2

1 x 1 dx = Π 4  4  4

2

∫ (tr( x −1) − tr( x +1)) −2

2

2

dx =

1

2

2 1 1 1 tr 2( x −1)dx = ∫ x 2dx + ∫ (2 − x ) dx 2 ∫0 2 0 2 1

2

x3  11 1  1 1 8 1 1 y 2 (t ) = + 4x − 2x 2 +  = + 8 − 8 + − 4 + 2 −  = 23 2  3 1 6 2  3 3 3 Giusto?

Esercizio 23 Un segnale stazionario con densità di probabilità del primo ordine uniformemente distribuita in [-2, 2] attraversa un sistema non lineare Ordeal scrive "lineare" la cui caratteristica ingresso-uscita è riportata in figura (V. figura). Determinare la densità di probabilità del primo ordine del segnale d'uscita.

Non vi sono tratti costanti nella y(x), quindi conviene cercare direttamente la pY (y ) . p Y (y ) =

pX ( xi )

∑ dy i

dx

( xi )

+ ∑ δ (y − y j ) Pr{y = y j } j

dove x i sono le soluzioni dell'equazione y (x ) = y

∅  {1} {− 1} {xi} =  { y; −y − 2} { y ; 2 − y }  {0} ∪ ( −∞, −2) ∪ (2,∞ )

y ∉[ −1,1] y=1 y = −1 y ∈ ( −1,0) y ∈ (0,1) y=0

Il modulo della derivata di y(x), dove è definita, vale sempre 1. y ∉[ −1,1] 0  y =1 ?  ? y = −1 p Y ( y) =  y p y p y ( ) ( 2 ) + − − ∈ ( −1,0) X  X  pX ( y ) + p X (2 − y ) y ∈ (0, 1)  y =0 ? 0 y ∉ [ −1,1]  y =1 ?  y = −1 ? p Y (y ) =  1 / 2 y ∈ (−1,0) 1 / 2 y ∈ (0,1)  y =0 ? E in quei punti isolati?

Esercizio 24 Un segnale stazionario con densità di probabilità del primo ordine uniformemente distribuita in [-2, 2] attraversa un sistema non lineare la cui caratteristica ingresso-uscita è mostrata in figura (V. figura). Determinare il valor medio del segnale d'uscita.

∞