Esfuerzo POR Flexion PDF

Preview

Summary

Comparativa entre diferentes esfuerzos...

Description

Investigación Comparativa entre diferentes esfuerzos ESFUERZO POR FLEXIÓN En las vigas la flexión genera momentos internos; en un diagrama de momentos flectores internos, un momento positivo significa que en su sección transversal, la fibra inferior al eje neutro (que coincide con el eje centroide) está sometido a esfuerzos normales de tensión, y la fibra superior al eje neutro estará sometido a esfuerzos normales de compresión. Sin embargo, estos esfuerzos no se distribuyen en forma constante, como en los esfuerzos normales directos, sino que tienen una distribución variable, a partir del eje neutro hasta las fibras extremas. Se puede deducir como es el comportamiento de la sección transversal cuando el momento flector interno es negativo, y de igual manera, que en el eje neutro, los esfuerzos normales son nulos, y máximos para cada caso en las fibras extremas. ESFUERZO INTERNO O ESFUERZOS DE SECCION En ingeniería estructural, los esfuerzos internos o esfuerzos de sección son magnitudes físicas con unidades de fuerza sobre área utilizadas en el cálculo de piezas prismáticas como vigas o pilares y también en el cálculo de placas y láminas. Los esfuerzos internos sobre una sección transversal plana de un elemento estructural se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana Σ de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina): 

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales σ, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.



Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

HIPOTESIS FUNDAMENTAL Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar predominantemente en flexión. Geométricamente son prismas mecánicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la sección transversal de las vigas. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para representar la flexión de vigas y arcos: 

La hipótesis de Navier-Euler-Bernouilli. En ella las secciones transversales al eje baricéntrico se consideran en primera aproximación indeformables y se mantienen perpendiculares al mismo (que se curva) tras la deformación.



La hipótesis de Timoshenko. En esta hipótesis se admite que las secciones transversales perpendiculares al eje baricéntrico pasen a formar un ángulo con ese eje baricéntrico por efecto del esfuerzo cortante. 

Teoría de Timoshenko



Esquema de deformación de una viga que ilustra la diferencia entre la teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernouilli: en la primera θi y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.



La diferencia fundamental entre la teoría de Euler-Bernouilli y la teoría de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la sección se aproxima mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una aproximación válida sólo para piezas largas en relación a las dimensiones de la sección transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por el momento flector. En la teoría de

Timoshenko, donde no se desprecian las deformaciones debidas al cortante y por tanto es válida también para vigas cortas, la ecuación de la curva elástica viene dada por el sistema de ecuaciones más complejo:

 

Derivando la primera de las dos ecuaciones anteriores y substituyendo en ella la segunda llegamos a la ecuación de la curva elástica incluyendo el efecto del esfuerzo cortante:



DEDUCCION DE LA EXPRESION PARA CALCULAR ESFUERZO NORMAL POR FLEXION. Teoría de Euler-Bernoulli Viga en voladizo de sección cuadrada sometida a flexión recta simple, mediante una carga en el extremo libre. La animación muestra una simulación mediante el método de los elementos finitos, donde se observan tensiones crecientes cerca de la sección empotrada a medida que se incrementa la carga (y también la deflexión debida a ella). La teoría de Euler-Bernoulli para el cálculo de vigas es la que se deriva de la hipótesis cinemática de Euler-Bernouilli, y puede emplearse para calcular tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje grande comparada con el canto máximo o altura de la sección transversal. Para escribir las fórmulas de la teoría de Euler-Bernouilli conviene tomar un sistema de coordenadas adecuado para describir la geometría, una viga es de hecho un prisma mecánico sobre el que se pueden considerar las coordenadas (s, y, z) con s la distancia a lo largo del eje de la viga e (y, z) las coordenadas sobre la sección transversal. Para el caso de arcos este sistema de coordenas es curvilíneo, aunque para vigas de eje recto puede tomarse como cartesiano (y en ese caso s se nombra como x). Para una viga de sección recta la tensión el caso de flexión compuesta esviada la tensión viene dada por la fórmula de Navier:

Donde: Son los segundos momentos de área (momentos de inercia) según los ejes Y y Z. Es el momento de área mixto o producto de inercia según los ejes Z e Y. Son los momentos flectores según las direcciones Y y Z, que en general variarán según la coordenada x. Es el esfuerzo axial a lo largo del eje. Si la dirección de los ejes de coordenadas (y, z) se toman coincidentes con las direcciones principales de inercia entonces los productos de inercia se anulan y la ecuación anterior se simplifica notablemente. Además si se considera el caso de flexión simple no-desviada las tensiones según el eje son simplemente:

Donde: Representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posición inicial sin cargas. Representa el momento flector a lo largo de la ordenada x. El segundo momento de inercia de la sección transversal. El módulo de elasticidad del material. Representa las cargas a lo largo del eje de la viga.

Distribución de los esfuerzos normales en la sección

Esfuerzos en un Plano Inclinado: Se supone estudiar el estado de los esfuerzos σx, σy, y τxy en un plano inclinado un ángulo ϴ respecto a un eje x, tal y como se representa en la siguiente figura. Los esfuerzos normal y cortante en ese plano se representa como σxn y τ quedando demostrado que el esfuerzo normal y cortante viene resumida. Esfuerzos Principales: Hay ciertos valores del ángulo ϴ que hacen sea máximo o mínimo σn para un conjunto de esfuerzos σx, σy y τxy. Estos valores máximos y mínimos que puede adoptar σn se llaman esfuerzos principales. Esfuerzos cortantes en los Planos Principales: Los esfuerzos cortantes en los planos en que se producen (σn) max y (σn) min son siempre nulas para cualquier valor de esfuerzos σx, σy y τxy. Esfuerzo Cortante Maximo: Hay ciertos valores del ángulo ϴ que hacen sea máximo o mínimo σn para un conjunto de esfuerzos σx, σy y τxy. El valor máximo está dado por: τmax= ±

[(σx - σy)/2]2 + (τxy)2

SUPERFICIE NATURAL Y EJE NEUTRO

La figura 5 muestra cómo se deforma un segmento de viga por la influencia de un momento flexionante. El segmento asume la forma " flexionada " característica al acortarse las fibras superiores y alargarse las fibras inferiores. El eje neutro que coincide con el centroide de la sección transversal de la viga, se flexiona pero no se deforma; por consiguiente el esfuerzo causado por flexión en el eje neutro es cero.

La distancia lineal de un punto localizado sobre la línea final vertical inicial al punto correspondiente sobre la línea final girada indica la cantidad de deformación producida en dicho punto de la sección transversal. Se deduce que la deformación varía linealmente con la posición en la sección transversal, es decir la distancia al eje neutro. La distancia al eje neutro hacia la parte superior de la sección la deformación por compresión es mayor mientras que hacia la parte inferior la deformación por tensión es mayor.

La forma general de la distribución del esfuerzo mostrado en la figura 5 podría ocurrir en cualquier sección de viga cuyo eje centroidal sea equidistante de las caras superior e inferior. En tales casos el esfuerzo de compresión máximo será igual al esfuerzo de compresión máximo. Si el eje centroidal de la sección no está a la misma distancia de las caras superior e inferior, la distribución del esfuerzo seria la mostrada en la figura 6. Con las distancias Cb y Ct los esfuerzos serian: Esfuerzo máximo de tensión en la cara inferior. MCb σ max =---------------I Esfuerzo máximo de compresión en la cara superior.

MCt

σ max =----------------

FLEXION EN ELEMENTOS CURVOS Para determinar la distribución del esfuerzo en un elemento curvo en flexión sé que: La sección transversal tiene un eje de simetría en un plano a lo largo de la longitud de la viga. Las secciones transversales planas permanecen planas después de la flexión. El módulo de elasticidad es igual en tracción que en compresión. El eje neutro y el eje centroide de una viga curva, no coinciden y el esfuerzo no varía en forma lineal como en una viga recta...