Espacios y subespacios vectoriales - Definición, propiedades y ejemplos PDF

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ÚLTIMA VEZ ACTUALIZADO 8 NOVIEMBRE, 2017 POR ISABEL PUSTILNIK Y

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FEDERICO GÓMEZ 9 COMENTARIOS

Espacios y subespacios vectoriales

ACTUALIZACIONES RECIENTES

Segundo Parcial Resuelto de AGA [10-11-2018]

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar

Segundo Parcial Resuelto de AGA [23-06-2018]

que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del

Primer Parcial Resuelto de

producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

AGA [05-05-2018] Segundo Parcial Resuelto de

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir

AGA [04-11-2017]

de estas propiedades en común que hemos señalado para Primer Parcial Resuelto de

vectores geométricos y matrices.

AGA [09-09-2017] Tabla de contenidos [mostrar]

Definición de espacio vectorial

COMENTARIOS RECIENTES

Nicolás S. en Primer Parcial Un espacio vectorial es un conjunto no vacío

de

Resuelto de AGA [12-02-2016]

objetos, llamados vectores, en el que se han denido dos

RAUL ARJONA MARTINEZ en

operaciones: la suma y el producto por un escalar (número

Matrices y sistemas de

real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación.

ecuaciones lineales

Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores , y

en

y todos los escalares

y

reales.

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Rototraslación de cónicas 3. 4. Existe un vector nulo 5.Para cada

en

Juan en Segundo Parcial

tal que

, existe un opuesto

tal que

Resuelto de AGA [04-11-2017]

6. 7.

ARCHIVOS

8.

noviembre 2018

9.

julio 2018

10.

mayo 2018 Observación: En la denición anterior, cuando decimos “escalares” nos estamos reriendo a números reales. En este caso, se dice que

es un espacio vectorial real.

También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por ejemplo los números complejos con los cuales trabajaremos en la última unidad.

noviembre 2017 septiembre 2017 junio 2017 abril 2017 diciembre 2016 noviembre 2016

Ejemplo 1

octubre 2016

De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera

septiembre 2016

unidad, podemos armar que

agosto 2016

Los espacios

, con

es un espacio vectorial.

, son los ejemplos principales de

espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de

CATEGORÍAS

Aplicaciones de la

esta unidad.

diagonalización Los vectores de

son n-uplas de números reales, o sea:

Autovalores y autovectores

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Matrices y determinantes Sean

Números complejos Parte 1 Parte 2 Primer parcial resuelto

Puede comprobarse que las operaciones denidas verican los axiomas de espacio vectorial.

Segundo parcial resuelto Sin categoría

Ejemplo 2

Sistemas de ecuaciones

De acuerdo con las propiedades enunciadas en la segunda unidad, para cada

y

es un espacio vectorial.

Tenemos por ejemplo son las matrices de

Transformaciones lineales Vectores, recta y plano.

, espacio vectorial cuyos vectores . DESCARGA DE PDFS

Ejemplo 3 Llamemos

PDF Unidad 1 al conjunto de polinomios de grado menor o igual

PDF Unidad 2

que 2, incluyendo el polinomio nulo. PDF Unidad 3 Recordemos la suma de polinomios y la multiplicación por un

PDF Unidad 4

escalar:

PDF Unidad 5

Dados

y

PDF Unidad 6 PDF Unidad 7 PDF Unidad 8

Denimos las operaciones: PDF Unidad 9

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En particular, el vector nulo en este espacio es el polinomio nulo, es decir el polinomio cuyos coecientes son todos iguales a cero.

Generalizando, para cualquier

, el conjunto

los polinomios de grado menor o igual que

de todos

(incluyendo el

polinomio nulo) es un espacio vectorial.

Observación:

¿Por qué no denimos

como el conjunto de polinomios de

grado exactamente igual a ? Si lo deniéramos así, no sería un espacio vectorial como se muestra en el siguiente ejemplo:

y

son polinomios de grado 2, pero la

suma es un polinomio de grado cero. Entonces no se vericaría el primer axioma de espacio vectorial (la suma de vectores de un espacio vectorial

debe estar en

).

Propiedades de los espacios vectoriales A partir de los axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan “naturales”:

Propiedad 1

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En particular, para

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:

Propiedad 4

Veamos cómo puede demostrarse esta última propiedad: Si

, se cumple la proposición.

Si

, podemos multiplicar por

:

¡Demostrado!

Subespacios vectoriales Definición Sea

un espacio vectorial y

es un subespacio de

si

un subconjunto no vacío de

.

es en sí mismo un espacio

vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) denidas en

.

Ejemplo ¿es un subespacio de

?

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es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x.

Para decidir si

es un subespacio de

habría que vericar

que se cumplen los axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso.

Pero en general no es necesario vericar los axiomas porque existe un criterio sencillo para determinar si un subconjunto de un espacio vectorial

es un subespacio, es el que sigue.

Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios

Sea

un subconjunto de un espacio vectorial .

es subespacio de

si y sólo si se cumplen las siguientes

condiciones: a.

está en

b. Si

y

c. Si

está en

.

están en y

, entonces es un escalar,

está en

.

está en

.

Observaciones

1. La condición (a) asegura que W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si

está en W, entonces deben

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2. Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.

3. Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para

porque éste es un subconjunto de

“hereda” esas propiedades de

. Puede decirse que

.

4. Faltaría comprobar que cada vector de

tiene su opuesto en

(axioma 5 de espacios vectoriales): Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios, c. Si

está en

y

Si tomamos

es un escalar,

está en

.

, resulta:

Para cada

.

Y por lo tanto cada vector de

tiene su opuesto en

.

De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son sucientes para demostrar que vectorial, y por lo tanto subespacio de

es un espacio

.

Subespacios triviales Si

es un espacio vectorial, entonces

es un subespacio de sí

mismo.

y

Los subespacios .

y

se denominan subespacios triviales de

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Consideremos el conjunto un subespacio de

, ¿Es

?

Se cumple (a) pues

No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de no estar en

Entonces

puede

, por ejemplo:

no es un subespacio de

.

Ejemplo 2 Consideremos el conjunto decir, la recta de ecuación

. Es . ¿Es un subespacio de

?

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Se cumple (c) pues el producto de un vector de número real está en

Luego

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por un

:

es subespacio de

.

Ejemplo 3 Consideremos el conjunto ¿Es un subespacio de

.

?

Se cumple (a) pues

No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de no estar en

Entonces

puede

, por ejemplo:

no es un subespacio de

.

Ejemplo 4 Consideremos el conjunto . Es decir un plano que pasa por el origen. ¿Es un subespacio de

De la ecuación del plano se deduce que:

?

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Se cumple (b) pues la suma de dos vectores del plano, sigue estando en ese plano:

Se cumple

Entonces

pues

es subespacio de

.

Ejemplo 5 Consideremos el conjunto

. Es decir,

los polinomios de grado menor o igual que 2 (incluyendo el polinomio nulo) tales que evaluados en ¿Es un subespacio de

dan por resultado .

?

Se cumple (a) pues el polinomio nulo pertenece a

.

Recordemos la denición de suma de funciones y de producto de un real por una función:

, para todo dominio de

perteneciente al

y de

para todo

perteneciente al dominio de .

Los polinomios son funciones, por lo tanto si consideramos , resulta:

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Ejemplo 6 Consideremos el conjunto

. Es

decir, el conjunto de matrices simétricas de

.

Se cumple (a) porque la matriz nula pertenece a

Se cumple (b) pues si

.

entonces , luego

Se cumple (c) pues si

entonces

,

luego

Demostramos que el conjunto de matrices simétricas de es un subespacio de

.

Observación: En la comprobación de las condiciones (a), (b) y (c) no fue necesario hacer referencia al tamaño de las matrices. Esto signica que es válido para matrices simétricas de

.

Ejemplo 7 Consideremos el conjunto ¿Es un subespacio de

. ?

Se cumple (a) porque la matriz nula pertenece a

En general ocurrir que

.

, entonces podría pero que

no esté en

. Por

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Entonces no se cumple (b).

no es un subespacio de

.

Resumen de los subespacios de y Después de estos ejemplos podemos resumir cuales son los diferentes tipos de subespacios de

y

:

No hay ninguna otra clase de subespacios en

y

.

Videos relacionados Intersección de subespacios de matrices - Ejerci…

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Intersección y suma de subespacios de R4 - Ejer…

Subespacios de P2, bases, LI, coordenadas - Ejer…



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Operaciones con subespacios Matriz de cambio de base Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión. Primer Parcial Resuelto de AGA [05-05-2018] Primer Parcial Resuelto de AGA [09-09-2017]

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Comentarios Martin Maulhardt dice 26 mayo, 2017 en 7:53 pm

Isabel y Federico, muy buena la pagina! Ayuda un monton. Lo mejor que vi en educacion. Un beso. Martin Maulhardt.

Responder

jose antonio dice 31 agosto, 2017 en 5:36 pm

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Federico Gómez dice 1 septiembre, 2017 en 6:03 pm

José Antonio,

Gracias por el comentario.

En el menú tenemos una opción para que nos avisen si encuentran un error en el material. Saludos!

Responder

evelyn dice 9 septiembre, 2017 en 7:10 pm

buenisima la pagina, realmente me ayudo a sacarme las dudas que tenia.

Responder

Aldo Josué Carballo Canales dice 6 febrero, 2018 en 5:45 pm

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Ana Grey dice 21 febrero, 2018 en 9:32 am

Muchas gracias por esta gran página. Me ayuda muchísimo!!! Y es tan clara en los conceptos.

Responder

Elmer dice 7 junio, 2018 en 10:49 pm

Con respecto a cerradura bajo la suma como se realiza?no entendí muy bien esa parte.

Responder

Celia Fasce dice 3 septiembre, 2018 en 8:31 pm

Fede: excelente trabajo!! Celia

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el archivo para tenerlo como apunte ?

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Sobre los comentarios: Podés escribir símbolos matemáticos encerrando el código

con los delimitadores \[...\]. Por favor usa tu

nombre real.

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