Guía N2 - Combinaciones lineales y Espacios vectoriales PDF

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ÁLGEBRA LINEAL Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Químicos y Bromatológicos Guía de Trabajos Prácticos N°2 Combinaciones lineales - Espacios vectoriales Objetivos. Determinar la dependencia lineal de un conjunto de vectores y a partir de ello dimensionar el espacio generado. Comprender a un espacio vectorial como objeto fundamental de estudio del álgebra lineal. Dimensionar a un espacio vectorial como un objeto compuesto de ℝ, de un conjunto de vectores y de dos operaciones. Entender de los conceptos básicos en el espacio vectorial: los subespacios. Entender la definición algebraica de dimensión un espacio vectorial, mediante el concepto de base. Ejercicio 1. u y v.

A partir de la figura describa cada uno de los vectores enlistados como la combinación lineal de

En los siguientes puntos, determine si b es una combinación lineal de los vectores 𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 y 𝐚𝟑 . −5 6 5 7 10 𝐚𝟏 = [ ], 𝐚𝟐 = [ ], 𝐛 = [3] c. 𝐚𝟏 = [ 0 ], 𝐚𝟐 = [1], 𝐛 = [ 5 ] 1 3 −1 2 6 4 0 −1 2 4 −3 0 3 d. 𝐚𝟏 = [4], 𝐚𝟐 = [ 1], 𝐚𝟑 = [−6 ], 𝐛 = [ 9] 𝐚𝟏 = [ 2 ], 𝐚𝟐 = [ 2 ], 𝐛 = [ 2 ] 0 7 5 6 0 −2 −4

Ejercicio 2. a.

b.

Ejercicio 3. En los siguientes puntos, determine si b es una combinación lineal de los vectores formados a partir de las columnas de la matriz A. 1 −4 2 3 1 −2 −6 11 a. 𝐴 = [ 0 b. 𝐴 = [ 0 3 3 5 ] , 𝐛 = [ −7] 7 ] , 𝐛 = [−5 ] 9 −2 8 −4 −3 1 −2 5

4 −3 7 Sean 𝐚 = [ 1 ], 𝐛 = [ 4 ], 𝐜 = [−2], 𝐮 = [5], 𝐯 = [ 1 ], 𝐰 = [−4] 4 −2 −2 2 −3 9 la dependencia lineal brinde una descripción geométrica de: a. 𝐆𝐞𝐧{𝐚} d. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐜} e. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐛, 𝐜} b. 𝐆𝐞𝐧{𝐮} c. 𝐆𝐞𝐧{𝐚, 𝐛} f. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯} Ejercicio 4.

Ejercicio 5.

2 y 𝐱 = [ 5/2]. Basándose en 1 g. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯, 𝐰} h. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐱} i. 𝐆𝐞𝐧{𝐮, 𝐯, 𝐱}

ℎ −3 4 Sean 𝐯1 = [ 0 ], 𝐯2 = [1], 𝐛 = [ 3]. ¿Para cuales valores de ℎ pertenece b a 𝐆𝐞𝐧{𝐯1 , 𝐯2 }? 2 −3 3

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ÁLGEBRA LINEAL Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Químicos y Bromatológicos Ejercicio 6. Sea 𝑉 el conjunto de todas las flechas (segmentos de líneas dirigidos) presentes en el espacio tridimensional; dos de estas flechas se consideran iguales si tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección. La suma se define por medio de la regla del paralelogramo, y para cada 𝐯 en 𝑉 se define 𝑐𝐯 como la flecha cuya longitud es |𝑐| veces la longitud de 𝐯, y que apunta en la misma dirección que 𝐯 si 𝑐 ≥ 0 y en la dirección opuesta en caso contrario. Muestre que 𝑉 es un espacio vectorial. Este espacio es un modelo común en problemas de física para diversas fuerzas.

Ejercicio 7. Para 𝑛 ≥ 0, el conjunto ℙ𝑛 de polinomios de grado 𝑛 o menor consiste en todos los polinomios de la forma 𝐩(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛 donde los coeficientes 𝑎0 , . . . , 𝑎𝑛 y la variable 𝑡 son números reales. El 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 de 𝐩 es la mayor potencia de 𝑡 cuyo coeficiente no es cero. Demuestre que ℙ𝑛 es un espacio vectorial. Demuestre si ℝ2 con las operaciones definidas es un espacio vectorial. 𝑥1 𝑦1 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑘𝑥 y 𝑘 [𝑥 ] = [ 1] [𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑥 1 + 𝑦 ] 2 2 2 2 0 2 𝑦1 𝑥1 𝑥1 𝑥1 + 𝑦2 𝑘𝑥2 [𝑥 ] + [𝑦 ] = [ y 𝑘 [𝑥 ] = [ ] 𝑥2 + 𝑦1 ] 𝑘𝑥1 2 2 2 𝑥1 𝑦1 𝑥1 𝑥1 − 𝑦1 𝑘𝑥 y 𝑘 [𝑥 ] = [ 1] [𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑥 − 𝑦 ] 𝑘𝑥2 2 2 2 2 2 𝑦1 𝑥1 𝑥1 𝑘𝑥 𝑥 + 2𝑦1 + 1 ] y 𝑘 [𝑥 ] = [ 1 ] [𝑥 ] + [ ] = [ 1 𝑦 𝑘𝑥2 𝑥2 + 𝑦2 + 3 2 2 2

Ejercicio 8. a. b. c. d.

Ejercicio 9. Sea ℙ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, con operaciones en ℙ definidas igual que para las funciones. Demuestre que el mismo es un subespacio.

Ejercicio 10. El espacio vectorial ℝ2 𝑛𝑜 es un subespacio de ℝ3 porque ℝ2 ni siquiera es un subconjunto de ℝ3 . (Todos los vectores en ℝ3 tienen tres entradas, mientras que los vectores en ℝ2 tienen sólo dos.) El conjunto 𝑠 𝐻 = {[ 𝑡 ] : 𝑠 𝑦 𝑡 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠} 0 es un subconjunto de ℝ3 que “se ve” y “actúa” como ℝ2 , aunque es lógicamente distinto 2 3 de ℝ . Vea la figura. Demuestre que 𝐻 es un subespacio de ℝ .

Ejercicio 11. Determinar qué conjuntos son subespacios vectoriales de (ℝ3 , +, ·) a. 𝐴 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0} b. 𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1} c. 𝐶 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑥 − 𝑧 = 0} d. 𝐷 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0, 𝑦 + 𝑧 = 1} e. 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 = 0, 𝑧 = 0} f. 𝐹 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥. 𝑦 = 0} Ing. GONZALEZ Gustavo

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ÁLGEBRA LINEAL Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Químicos y Bromatológicos Ejercicio 12. 𝐯1 , 𝐯𝟐 , 𝐯3 , si

Encuentre el o los valores de ℎ para los cuales 𝐲 está en el subespacio de ℝ3 generado por

1 3] 1 −4 𝐯1 = [ −1 5 −4 −3 ] , 𝐯2 = [ ] , 𝐯3 = [ ], y 𝐲 = [ ℎ −2 0 −7 Ejercicio 13. En los siguientes puntos, determine si el conjunto dado es un subespacio de ℙ𝑛 para algún valor adecuado de 𝑛. Justifique sus respuestas a. Todos los polinomios de la forma 𝐩(𝑡) = 𝑎𝑡 2 , donde 𝑎 está en ℝ. b. Todos los polinomios de la forma 𝐩(𝑡) = 𝑎 + 𝑡2 , donde 𝑎 está en ℝ. c. Todos los polinomios de grado 3 o menor, con coeficientes enteros. d. Todos los polinomios en ℙ𝑛 , tales que 𝐩(0) = 0. Ejercicio 14. Ejercicio 15.

5 −3 −2], y sea 𝐮 = [ 3 ]. Determine si 𝐮 pertenece al espacio nulo de 𝐴. 9 1 −2 3 −5 −3 1 Determine si 𝐰 = [ 3 ] esta en 𝐍𝐮𝐥 𝐴, donde 𝐴 = [ 6 −2 0 ] −4 −8 4 1

1 Sea 𝐴 = [ −5

3 3 2 4 −2 1 −2 Ejercicio 16. Con 𝐴 = [−2 −5 7 3], sean 𝐮 = [ ] y 𝐯 = [ −1]. −1 3 7 −8 6 3 0 a. Determine si 𝐮 está en Nul 𝐴. ¿Podría u estar en Col 𝐴? b. Determine si 𝐯 está en Col 𝐴. ¿Podría v estar en Nul 𝐴?

Ejercicio 17. En los siguientes puntos, encuentre una descripción explícita de Nul 𝐴, vectores que generan el espacio nulo. 1 3 5 0 1 −2 0 4 a. 𝐴 = [ ] c. 𝐴 = [ 0 0 1 −9 0 1 4 −2 0 0 0 0 1 5 −4 −3 1 −6 4 0 ] b. 𝐴 = [ d. 𝐴 = [ 0 1 −2 1 0 0 2 0 0 0 0 0 Ejercicio 18.

Encuentre una 𝐴 tal que el conjunto dado sea Col 𝐴. 2𝑠 + 3𝑡 𝑟 {[ + 𝑠 − 2𝑡] : 𝑟, 𝑠, 𝑡 reales} 4𝑟 + 𝑠 3𝑟 − 𝑠 − 𝑡

para ello enliste los 0 0] 1 1 0] 0

0 2 6 Sean 𝐯1 = [ 2 ], 𝐯2 = [2], 𝐯3 = [ 16 ], y 𝐻 = Gen{𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 }. Observe que 𝐯3 = 5𝐯1 + 3𝐯2, y −1 0 −5 muestre que Gen{𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 } = Gen{𝐯1 , 𝐯2 , }. Luego encuentre una base para el subespacio 𝐻. Ejercicio 19.

Ejercicio 20.

Encuentre una base para Col 𝐵, donde

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ÁLGEBRA LINEAL Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Químicos y Bromatológicos 0 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 1 4 0 2 0] 𝐵 = [𝐛1 𝐛2 … 𝐛5 ] = [ 0 Ejercicio 21. Determine cuáles conjuntos de los siguientes puntos0son 0 bases para ℝ3 . De los conjuntos que no 0 0 sean bases, determine cuáles son linealmente independientes y cuáles generan ℝ3 . Justifique sus respuestas. 1 1 1 1 −2 0 0 a. [ 0] , [ 1] , [1] e. [−3] , [ 9 ] , [0] , [ −3] 5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 −4 b. [ 0] , [ 0] , [1] f. [ 2 ] , [ −5] 1 0 0 −3 6 1 −2 3 −3 6 c. [ 0 ] , [ 2 ] , [ −5] g. [ 3 ] , [ −1] −2 −4 0 1 5 2 1 1 −7 0 3 0 d. [ −2] , [ −3] , [ 5 ] h. [−4] , [ 3 ] , [−5 ] , [ 2 ] 2 1 3 −1 4 4 −2 Ejercicio 22.

Encuentre una base para el conjunto de vectores en ℝ2 que están sobre la línea 𝑦 = 5𝑥.

Ejercicio 23.

Considere

una

base

𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 }

para

Suponga que una 𝐱 en ℝ2 tiene el vector de coordenadas [𝐱]𝔙 = [ 𝐱 relativo a 𝔙.

Ejercicio 24.

ℝ2 ,

−2 ]. Encuentre 𝐱. 3 donde

1 𝐛1 = [ ] 0

y

1 𝐛2 = [ ]. 2

4 −1 2 Sea 𝐛1 = [ ], 𝐛2 = [ ], 𝐱 = [ ] , y 𝔙 = {𝐛1 , 𝐛2 }. Encuentre el vector de coordenadas [𝐱]𝔙 de 5 1 1

Ejercicio 25. Use vectores de coordenadas para comprobar que los polinomios 1 + 2𝑡 2 4 + 𝑡 + 5𝑡 2 , y 3 + 2𝑡 son linealmente dependientes en ℙ2 .

Ejercicio 26. En los siguientes puntos, vector de coordenadas [𝐱]𝔙 y la base 𝔙 dados. 3 −4 a. 𝔙 = {[ ] , [ ]} , [𝐱]𝔙 = [5] −5 3 6 8 4 6 b. 𝔙 = {[ ] , [ ]} , [𝐱]𝔙 = [ ] −5 5 7

encuentre

un

vector

𝐱

determinado

por

4 5 1 3 c. 𝔙 = {[−4 ] , [ 2 ] , [ −7]} , [𝐱]𝔙 = [ 0 ] −2 3 0 −1 −4 3 4 −1 d. 𝔙 = {[ 2 ] , [ −5] , [ −7]} , [𝐱]𝔙 = [ 8 ] 3 0 2 −7

Ejercicio 27. Obtenga la dimensión de los siguientes espacios: a. ℝ𝑛 cuya base estándar contiene 𝑛 vectores. 3 −1 b. 𝐻 = Gen{𝐯1 , 𝐯2 }, donde 𝐯1 = [ 6] y 𝐯2 = [ 0 ]. 2 1 Ing. GONZALEZ Gustavo

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c. 𝐻 = {[

+ 4𝑑 𝑎𝑏−5𝑎 −3𝑏 2𝑐+−6𝑐 𝑑

] : 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 en ℝ}

5𝑑 Ejercicio 28. Para cada subespacio de los puntos encuentre una base y establezca la dimensión. 𝑠 − 2𝑡 4𝑠 2𝑐 a. {[ 𝑠 + 𝑡 ] : 𝑠, 𝑡 en ℝ} b. {[ −3𝑠] : 𝑠, 𝑡 en ℝ} 𝑎 − 𝑏 ] : 𝑎, 𝑏, 𝑐 en ℝ} c. {[ 𝑏 − 3𝑐 3𝑡 −𝑡 𝑎 + 2𝑏 Ejercicio 29.

−4 −3 2 Encuentre la dimensión del subespacio 𝐻 de ℝ2 generado por [ ] , [ ] , [ ] −5 10 6

Ejercicio 30. En los siguientes puntos, encuentre la dimensión del subespacio generado por los vectores dados. 9 −7 1 3 a. [0] , [ 1] , [ 4 ] , [ −3] 2 1 −2 1 1 −3 −8 −3 b. [−2] , [ 4 ] , [ 6 ] , [ 0 ] 5 1 0 7

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