Proyecto Integrador de saberes Espacios Vectoriales y Espacio Euclideos PDF

Preview

Summary

Download Proyecto Integrador de saberes Espacios Vectoriales y Espacio Euclideos PDF

Description

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – “ESPE-L” EXTENSIÓN LATACUNGA ÁLGEBRA LINEAL

INTEGRANTES: Kevin Toapanta, Sebastián Panchi, Oswaldo Criollo CARRERA: Ingeniería Mecatrónica FECHA: Miércoles 18 de Julio del 2017 DOCENTE: Ing. Janeth Paulina Segovia Chavez NIVEL: Primer Nivel NRC: 2316 PERIODO: Abril- Agosto -2017

1

1. Introducción

En Algebra lineal la noción de espacios vectoriales necesariamente requiere de dos conjuntos: un conjunto K (los escalares) y otro conjunto V (los vectores). Estos dos conjuntos deben obligatoriamente satisfacer ciertas propiedades, para que estos conjuntos sean considerados espacios vectoriales que esencialmente se refieren a que los elementos de V se puedan sumar entre sı y multiplicar por elementos de K. El espacio Vectorial principalmente se trata de una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar. Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.) La estructura de los espacios vectoriales muestra una gran cantidad operativa cuando este es complementado con las definiciones de ángulo y distancia entre sus elementos. Muchos de los fenómenos que se investigan en la geometría utilizan nociones como las de longitud de un vector y ángulo entre vectores. Para introducir estos dos conceptos en los R-espacios vectoriales se define el producto escalar. Un R-espacio vectorial al que se asigna un producto escalar se denomina espacio vectorial Euclideo. Principalmente es un espacio geométrico donde se deben satisfacer los axiomas de Euclides, este está dotado de un producto interno. El término euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios "curvos" de las geometrías no euclidianas y del espacio de la teoría de la relatividad de Einstein. Para resaltar el hecho de que un espacio euclídeo puede poseer n dimensiones, se suele hablar de "espacio euclídeo n-dimensional. “Los espacios euclidianos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad de conceptos matemáticos relacionados con la geometría analítica, la topología, el álgebra y el cálculo. Aunque el espacio euclídeo suele ser introducido, por razones didácticas, como espacio vectorial, en realidad sobre él se pueden definir muchas más estructuras.

2

2. Justificación

En efecto los espacios vectoriales son una estructura algebraica. Estos poseen una estructura con las operaciones más comunes. El espacio Vectorial (o espacio lineal) es el objeto principal de estudio en la rama de matemáticas, llamada algebra lineal. Las principales operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de los vectores y la multiplicación por un escalar. La principal aplicación de los espacios vectoriales se encuentran ciertas funciones de compresión de sonido e imágenes que se basan en las series de Furier y otros métodos, y la resolución de las ecuaciones en derivadas parciales ( relacionar una función matemática con diversas variables independientes y las derivadas parciales de la misma respecto de dichas variables). Por otro lado sirven para el tratamiento de objeto físico y geométrico, como ser los tensores .Un espacio Euclideo es un espacio vectorial que obligadamente cumple con unas características muy específicas con respectos a las operaciones y transformaciones que se realizan dentro de él. El espacio Euclidiano no es sino una forma de geometría. De hecho introducimos la noción más general de espacio pre-hilbertiano y manejamos en este tipo de espacio la noción de ortogonalidad y otras cuestiones propias de la geometría euclídeo. Del producto escalar pasamos a la norma euclídeo en R N, que más adelante nos llevará a las nociones generales de norma y espacio normado.

3

3. Objetivos

3.1 Objetivo general 

Plantear y estudiar los conceptos básicos de Espacios Vectoriales y Espacios Euclideos, estableciendo métodos para la resolución de ejercicios, utilizando las herramientas conceptuales y procedimientos de algebra lineal.

3.2 Objetivo especifico   

Establecer las conexiones entre los conceptos básicos de la teoría de espacio vectoriales y espacio Euclideos. Aplicar las definiciones expuestas para profundizar el tema tratado y ampliar el conocimiento del mismo. Mediante la resolución de ejercicios poner en práctica los distintos conceptos expuestos, mejorando en la comprensión de problemas de algebra lineal.

4

4. Marco teórico 4.1.1 Espacios Vectoriales Las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de espacios de funciones. El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por (+), y una operación producto por un escalar, que denotaremos por (·). Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real (o simplemente un espacio vectorial) si se verifican las siguientes propiedades:        

Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v) = 0. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v, ∀ a ∈ R, ∀ u, v ∈ V. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V. Elemento unidad: 1 · v = v, ∀ v ∈ V.

Sea V un conjunto no vacío para que sea espacio vectorial sobre un campo k debe tener definidas dos operaciones “suma” y “multiplicación por un escalar” y que cumplan los axiomas mencionados, en el caso de que no cumplan alguno de los axiomas no es considerado como un espacio vectorial. Nota:



A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.



Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las 5

rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales . Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealidad.

4.1.2 Sub espacios vectoriales Dado un espacio vectorial V, decimos que un subconjunto no vacío U ⊆ V, es un sub espacio vectorial de V cuando al restringir las operaciones de suma y multiplicación por escalares para V a U, éste es un espacio vectorial. Formalmente, lo que estamos diciendo es que:  

Para cualesquiera u, v ∈ U, se verifica que u + v ∈ U Para cualesquiera λ ∈ K, u ∈ U se verifica que λ · u ∈ U

Observar que la segunda condición anterior implica que el vector cero de V está también en U, ya que si u ∈ U, entonces 0 · u = 0 ∈ U.

4.1.3 Dependencia e independencia lineal Los vectores U1, U2, . . . , Un de V se dicen linealmente dependientes si existen escalares, no todos nulos, tal que: λ1U1 + λ2U2 + . . . + λnUn = 0 Los vectores U1, U2, . . . , un de V se dicen linealmente independientes si no son linealmente dependientes, es decir, para cualesquiera escalares λ1, λ2, . . . , λn ∈ K, si: λ1U1 + λ2U2 + . . . + λnUn = 0. Entonces λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. (Solución trivial) Al denotar que λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 podemos concluir que es un sistema linealmente independiente mientras no tengamos como resultado una solución trivial este será un sistema linealmente dependiente.

4.2.1 Espacios Euclideos El matemático griego Euclides, que vivió alrededor del año 300 a. c., escribió los elementos, una de las obras más conocidas de la literatura mundial. En ella se presenta de manera formal el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente aprendemos en la escuela. Los espacios Euclideos se formas gracias a la geometría euclidiana que consiste en el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclideos, esta estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclídeo es sinónimo de geometría plana y de varios conceptos, tales como el punto, 6

la recta, la superficie y mediante comparación de ángulos o longitudes. El sistema de geometría fue desarrollado por Euclides (siglo III a.C.) en su libro Elementos. El contenido básico de esta obra está compuesto por: Teoremas que son deducidos a partir de una serie de axiomas, postulados y definiciones. Llamaremos espacio euclídeo a un espacio vectorial dotado de un producto escalar. Un producto escalar es una forma bilineal simétrica definida positiva, es decir, que cumple:    

Conmutativa: u · v = v · u Distributiva: u · (v + w) = u · v + u · w Reubicación del escalar: α (u · v) = (α u) · v = u· (α v) Definida positiva: v · v ≥ 0, y se da la igualdad v · v = 0 solamente para el vector v = 0.

4.2.2 Norma Euclidea En general, la norma euclidiana entre los puntos P= (p1, p2,…..pn) y Q= (q1, q2,….qn) , del espacio euclídeo n-dimensional, se define como:

p 1, p 2 , p 3 =

( ¿(q 1 , q 2 , q 3) )

¿

√¿

En donde al realizar el producto entre los dos nos da como resultado la norma Nótese que esta definición depende de la existencia de coordenadas cartesianas sobre la variedad diferenciable , aunque en un espacio euclídeo pueden definirse sistemas de coordenadas más generales, siempre es posible definir un conjunto global de coordenadas cartesianas (a diferencia de una superficie curva donde sólo existen localmente). 

Con cualquier producto escalar, el único vector de módulo cero es el 0 . G



Notar también que el módulo de un vector es el mismo que el de su opuesto, y que el módulo de α v es | α v | = | α | | v | (es decir, el módulo queda multiplicado por el valor absoluto del escalar).



Además se cumple para cualesquiera u, v la desigualdad triangular: | u + v | ≤ | u | + | v

4.2.3 Ángulo entre dos vectores. Es sabido que para el producto escalar usual de ℜ 2 se tiene que u · v = | u | | v | cos α, donde α es el ángulo que forman ambos vectores. Por tanto, para generalizar la noción de ángulo a cualquier espacio euclídeo, definimos Ángulo (u, v) = arc cos

u.v

|u||v|

|

Notar que si alguno de los dos vectores es nulo, no podemos dividir por su módulo y por tanto el ángulo no está definido. En efecto, geométricamente el vector nulo no forma ángulo ninguno.

7

4.2.4 Proyección de dos vectores 00 Proyección de un vector v sobre otro vector u: v se puede descomponer de manera única como v = v1 + v2 con v1 en la dirección de u, y v2 ortogonal a u. La componente v1 se llama proyección ortogonal de v sobre u, y se denota proy u (v). Notar que proy u (v) es un múltiplo de u. Se calcula: proy u ( v ) =

u. v vv

u

Una vez hallada la componente v1, se puede calcular la otra componente v2 como v2 = v – v1

5. Desarrollo 5.1. Aplicación a espacios vectoriales En Mecánica de fluidos el fluido, bajo ciertas condiciones, se modeliza como un medio continuo (lo mismo se hace en Suelos, estructuras, etc.) y así se definen magnitudes cuyas identidades son precisamente CAMPOS VECTORIALES, así definimos en su seno el campo de velocidades el campo de aceleraciones el campo de flujos el campo de potencias etc.

5.1.1. Explicación de cómo la aplicación se vincula con la asignatura de 998Lineal. Algebra Por ejemplo, podemos determinar con que magnitud ejerce un cuerpo sobre una superficie, si la fuerza aplicada en el cuerpo es de U (3i+5j). Despreciando la masa. 

aplicamos producto punto ya que esto nos permitirá determinar la magnitud de dicho vector

||U|| = ¿ U .U >¿ √¿

( 3,5 ) ∙(3, 5)> ¿ ||U||= ¿ √¿ ||U||=

√ 9+25

||U||=

√ 34

La magnitud que ejerce el cuerpo con una fuerza de

√34

.

Nos dio un escalar por que la magnitud es una medida por lo tanto no puede ser un vector, es la medida de la fuerza que ejerce dicho cuerpo

5.2 Aplicación de espacios Euclideos

8

Ahora si resolviendo la interrogante hemos oído hablar de que los juegos de la computadora, las nuevas películas animadas, etc. Todas estas cosas están hechas con gráficos vectoriales, pero no sólo en la animación ni en estos casos están presentes los vectores, estos también rigen el transporte aéreo, el desplazamiento de los barcos, y en general la física, Aplicaciones de espacios Euclideos en la Ingeniería Mencionare tres ramas de la Ingeniería:

5. 2.1 Aplicación de Espacios Euclideos en Ing. De Sistemas Los Espacio es Euclideos se utilizan en el cálculo numérico, En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, De las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones Lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, Economía, informática, física, etc...

5.2.2 Aplicación Espacios Euclideos en la Ing. Industrial Los Espacios Euclideos en la ingeniería industrial sirven para resolver problemas de estática (de composición de fuerzas, por ejemplo las fuerzas que actúan sobre un puente o un edificio o las fuerzas que actúan sobre los piñones de una rueda dentada, etc., etc.

5.2.3 Aplicación Espacios Euclideos en la Ing. Civil Los Espacios Euclideos dentro de la Ing. Civil se aplican por ejemplo si haces diseñar un techo de armadura, La base de una columna .Necesitas la descomposición para conocer el momento Falta mencionar cálculo antisísmico y una variedad de aplicaciones. Sin descomposición de vectores no hay estática y sin ella no hay ingeniería civil.

5.2.1 Explicación de cómo la aplicación se vincula con la asignatura de Algebra 0000Lineal. 2 Podemos determinar la velocidad de un avión si la posición es (3X i, 4X+6 j , 2 X Z ) y x esta en función de tiempo queremos hallar su velocidad a los 1.5 s Derivamos; (3i, 4j, 4xz) evaluamos en el tiempo que nos dan (3i, 4j, 9z ) =

√ (3+ 4 + 9)(3+4 +9)

=

√ (106)

=

√(9+ 16 + 81)

Producto Punto

Posee una velocidad de V= 10.29 m/s Como podemos observar aplicando los conceptos de los espacios Euclideos pudimos resolver este problema aplicado a la vida cotidiana

6. Conclusiones y recomendaciones

Los vectores son muy aplicados y el tema de espacios vectoriales y euclídeos es muy necesario para poder hacer cálculos en un futuro. 9

Podemos ver que los espacios vectoriales y euclídeos, son básicamente vectores, en los cuales podemos aplicarlos en ejercicios por ejemplo para encontrar la magnitud de una fuerza, una velocidad o una aceleración ya que como sabemos estos son vectores. Como pudimos observar aplicando los distintos conceptos logramos resolver los ejercicios aplicando tanto conceptos de espacios vectoriales como de espacios euclídeos entendiendo donde se debe aplicar cada uno de conceptos De recomendaciones podemos decir que se debe tener Especial cuidado en donde debemos aplicar cada uno de los conceptos vistos en este informe debido a Qué es fácil la confusión y la mala interpretación lo cual nos produce cálculos erróneos y nos produce malas conclusiones acerca del tema Podemos Añadir también que antes de hacer los cálculos debemos primero comprobar que sean tanto espacio vectorial Cómo espacios euclídeos para que no haya ningún inconveniente al momento de resolver un problema

7. Fuentes de Información Bibliografía Larson, R. (2015). Espacios vectoriales . En Fundamentos de algebra lineal (págs. 145-212). Mexico : Cengage Learning Editores S.A. Lay, D. C. (2007). espacios vectoriales y esuclideos. En algebra lineal (págs. 216-237). mexico: pearson educacion. Mora, F. B. (2014). espacios vectoriales . En Algebra lineal (págs. 61-88). Mexico : brupo editorial patria .

Web grafía Trabajo citados de: https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial http://www.uco.es/geometria/documentos/Tema3Biologia_EspaciosVectoriales.pdf http://www.ugr.es/~jurbano/aed/AED-Tema_4-Espacios_vectoriales.pdf

10

Anexos

Estudiante de la ESPE extensión Latacunga: proyecto PIS segundo parcial, presentación y explicación de espacios vectoriales.

Estudiante de la ESPE extensión Latacunga: proyecto PIS segundo parcial, explicación de espacios vectoriales.

11

Estudiante de la ESPE extensión Latacunga: proyecto PIS segundo parcial, explicación de espacios euclídeos.

Contenido 1.

Introducción........................................................................................................................2

2.

Justificación........................................................................................................................3

3.

Objetivos.............................................................................................................................4 3.1 Objetivo general.............................................................................................................4 3.2 Objetivo especifico..........................................................................................................4

4.

Marco teórico......................................................................................................................5 4.1.1 Espacios Vectoriales....................................................................................................5 4.1.2 Sub espacios vectoriales.............................................................................................6 4.1.3 Dependencia e independencia lineal..........................................................................6 4.2.1 Espacios Euclideos.......................................................................................................6 4.2.2 Norma Euclidea............................................................................................................7 4.2.3 Ángulo entre dos vectores...........................................