Problemas resueltos de subespacios vectoriales, base y dimensión PDF

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Sub espacios vectoriales...

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Problemasresueltosdesubespaciosvectoriales,baseydimensión.MatemáticasIcurso201213   29. Calcular la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones explícitas (paramétricas) de los siguientes subespacios. ¿En qué espacio vectorial están contenidos? 󰇛󰇜   󰇛, , 󰇜   ⁄      ,         Dato:Tenemos“lascandidatas”aec.implícitas.

 essubespaciovectorialde .

Buscamoslasecuacionesparamétricas

De nosdan“lascandidatas”aecuacionesimplícitas,paraqueloseanhabráque“limpiarlas”:   2    0 1 2 1 1 2 󰇢 󰇻 󰇡 󰇻  3  0  󰇛󰇜  2       0 1 1 1 1 1

  2     2   0                           ó   : 󰇫   0      é 

Mirandoelmenorprincipalconcluimosquelasdosecuacionessonl.i.ylavariablelibreesz

 1 󰇧󰇨    0   1

Buscamosunabaseyladimensión

  󰇝󰇛1,0,1󰇜󰇞    1

Otraformadesaberladimensióndelsubespacio:

º   í . .     1 󰆄󰆈󰆅󰆈  󰆆     󰆄󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆅󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆆 



󰇛󰇜   󰇛, , 󰇜, 󰇛, , 󰇜 Dato:Tenemosunsistemagenerador.  essubespaciovectorialde .

Buscamosunabaseyladimensión

Tenemosunsistemagenerador,hayque“limpiarlo”,esdecir,eliminarlosvectoresl.d.paraobtenerunabase. 1 1 1 1 󰇻  1  0  󰇛󰇜  2      . .  0 󰇻  1 1 0 1 1

Paraelloestudiamoselrangodelamatrizcuyascolumnassonlosvectoresdelsistemagenerador.

  󰇝󰇛1,1,1󰇜, 󰇛1,0,1󰇜󰇞     2

Buscamoslasecuacionesparamétricas

󰇛, , 󰇜  󰇛1,1,1󰇜  󰇛1,0,1󰇜

Cualquiervectordelsubespaciosepuedeexpresarcomocombinaciónlinealdelosvectoresdelabase:     é:      

,   

1 1  1 1  Como   2 ,     1 0   2   1 0   0    2    0 1 1  1 1     .  º  . í . .  Sabíamosqueibaasalir1ec.implícitayaque 󰆄󰆈󰆅󰆈 󰆆 󰆄󰆈󰆈󰆈󰆅󰆈󰆈󰆈󰆆 Buscamoslasecuacionesimplícitas(conociendolabase)

º  . í . .  1





Problemasresueltosdesubespaciosvectoriales,baseydimensión.MatemáticasIcurso201213   󰇛󰇜   󰇛, , 󰇜   ⁄  ,      Dato:Tenemos“lascandidatas”aecuacionesimplícitas.  essubespaciovectorialde . Buscamoslasecuacionesparamétricas De nosdan“lascandidatas”aecuacionesimplícitas,paraqueloseanhabráque“limpiarlas”:  1 2

1 0   󰇻1 1󰇻  0, 󰇻1 0 󰇻  0  󰇛󰇜  1 2 2 2 0 2 0

 ó  á     0

Mirandoelmenorprincipalconcluimosquesólohayunaecuaciónl.i.ylasvariableslibresson“y”y“z”

 Resolvemoselsistema:    0       󰇥      é  ó   :          0 1 󰇧󰇨    1   0   1 0

Buscamosunabaseyladimensión

  󰇝󰇛1,1,0󰇜, 󰇛0,0,1󰇜󰇞    2

Otraformadesaberladimensióndelsubespacio:

º   í . .     2 󰆄󰆈󰆅󰆈  󰆆     󰆄󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆅󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆆 



󰇛󰇜   󰇛, , 󰇜, 󰇛, , 󰇜Dato:Tenemosunsistemagenerador.

 essubespaciovectorialde .

Buscamosunabaseyladimensión

Tenemosunsistemagenerador,hayque“limpiarlo”,esdecir,eliminarlosvectoresl.d.paraobtenerunabase. Paraelloestudiamoselrangodelamatrizcuyascolumnassonlosvectoresdelsistemagenerador.

1 0 1

2 1 2 0  󰇻0 0󰇻  0, 2

1 2 󰇻 󰇻  0  󰇛󰇜  1  ó    . .  1 2

Buscamoslasecuacionesparamétricas

  󰇝󰇛1,0,1󰇜󰇞    1

󰇛, , 󰇜  󰇛1,0,1󰇜   é: 󰇫  0 

Cualquiervectordelsubespaciosepuedeexpresarcomocombinaciónlinealdelosvectoresdelabase:  

1   00 0  

Buscamoslasecuacionesimplícitas(conociendolabase) 1 Como   1 ,     0 1

  

Sabíamosqueibanasalir2ec.implícitasyaque

 1  󰇻 󰇻0 0 1 

. í

. 󰆄󰆈󰆅󰆈󰆆     󰆄󰆈󰆈󰆈󰆅󰆈󰆈 󰆈󰆆  º   í . .  º  . í .   2 1   

Problemasresueltosdesubespaciosvectoriales,baseydimensión.MatemáticasIcurso201213   󰇛󰇜   󰇝󰇛  ,   , 󰇜 ⁄,   󰇞Dato:Tenemos“lascandidatas”aec.paramétricas.  essubespaciovectorialde . Buscamosunabaseyladimensión   2  3    2  3

2 3  2 ,     󰇧󰇨        0 1  , Tenemosque“limpiar”elsistemagenerador,esdecir,eliminarlos     󰇛3,3,0󰇜󰇞   󰇝󰇛2,2,1󰇜, 

2 3 2 3  2 3 󰇻 󰇻  3  0  󰇛󰇜  2   2   . .  1 0 1 0 vectoresl.d.paratenerunabase.

  󰇝󰇛2,2,1󰇜, 󰇛3,3,0󰇜󰇞     2

2 3  2 3      2 ,     2 3    2  2 3   0  3  3  0 1 0  1 0 

Buscamoslasecuacionesimplícitas(apartirdelabase).

Sabíamosqueibaasalir1ec.implícitayaque

 󰆄󰆈󰆅󰆈󰆆     󰆈󰆅󰆈󰆈󰆈󰆈󰆆  º   í . .  º   í .   1 󰆄󰆈󰆈󰆈 



󰇛󰇜   󰇝󰇛, ,   , 󰇜⁄,   󰇞

 essubespaciovectorialde .

 0     

Dato:Tenemos“lascandidatas”aec.paramétricas.

 0 1  0 ,     󰇭 󰇮   󰇭 󰇮   󰇭 0󰇮  1 1  0 1

Buscamosunabaseyladimensión

󰇝󰇛1,0,1,0󰇜, 󰇛0,0,1, 1󰇜󰇞     , Tenemos que “limpiar” el sistema generador, es decir,

1 0 1 1 0 0 󰇮󰇻 󰇭 󰇻  1  0  󰇛󰇜  2   2   . .  1 1 0 1 0 1   󰇝󰇛1,0,1,0󰇜, 󰇛0,0,1, 1󰇜󰇞     2 eliminarlosvectoresl.d.paratenerunabase.

Buscamoslasecuacionesimplícitas(apartirdelabase).

1 0   1 1   0        0  0 1 

1 0  0 0  2     2 ,     1  1  0 0  0 1   1 1   0    0  0 1  . 󰆆   Sabíamosqueibanasalir2ec.implícitayaque 󰆄󰆈󰆅󰆈 󰆄󰆈󰆈󰆈󰆅󰆈 󰆈󰆈󰆆  º   í . .  º   í . .  2





Problemasresueltosdesubespaciosvectoriales,baseydimensión.MatemáticasIcurso201213   󰇛󰇜   󰇝󰇛 ,  ,  ,  󰇜   ⁄       ,      󰇞 ecuacionesimplícitas.

Dato: Tenemos “las candidatas” a

 essubespaciovectorialde .

Buscamoslasecuacionesparamétricas

De nosdan“lascandidatas”aecuacionesimplícitas,paraqueloseanhabráque“limpiarlas”: 󰇡

1 1 0 1 1 1󰇻  1  0  󰇛󰇜  2 󰇢 󰇻 1 0 2 0 1 0

Mirandoelmenorprincipalconcluimosquelasdosecuacionessonl.i.ylasvariableslibresson    Resolvemoselsistema: 

           0  󰇥  2           2  0     2            2     2

  2   2    ó   :         Buscamosunabaseyladimensión  2 0  2 1 󰇭 󰇮   󰇭 󰇮   󰇭 󰇮  1 0   0 1

,   

 é

  󰇝󰇛2, 2,1,0󰇜, 󰇛0,1,0,1󰇜󰇞    2

º   í . .     2 󰆄󰆈󰆅󰆈  󰆆   .  󰆄󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆅󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆆

Otraformadesaberladimensióndelsubespacio: 



󰇛󰇜   󰇛, , , 󰇜, 󰇛, , , 󰇜, 󰇛, , , 󰇜, 󰇛, , , 󰇜Dato:Tenemosunsistemagenerador.

 essubespaciovectorialde .

Buscamosunabaseyladimensión

Tenemosunsistemagenerador,hayque“limpiarlo”,esdecir,eliminarlosvectoresl.d.paraobtenerunabase. 1 󰇻0   1 1 0 1 󰇮 2 1  0 1  󰈏0 2 0

0 󰇻  1  0  󰇛󰇜  2 1

Paraelloestudiamoselrangodelamatrizcuyascolumnassonlosvectoresdelsistemagenerador.

1 0 󰇭 2 0

0 2 1 1 1 0 0 0

0 2 1 1   5  0  󰇛󰇜  3 1 0 0 1 1 0

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1 1 󰈏  0  󰇛󰇜  3 1 0

  󰇝󰇛1,0,2,0󰇜, 󰇛0,1,1,0󰇜, 󰇛2,1,0,0󰇜󰇞 

Buscamoslasecuacionesparamétricas

 8  3

󰇛, , , 󰇜  󰇛1,0,2,0󰇜  󰇛0,1,1,0󰇜  󰇛2,1,0,0󰇜

Cualquiervectordelsubespaciosepuedeexpresarcomocombinaciónlinealdelosvectoresdelabase:

Problemasresueltosdesubespaciosvectoriales,baseydimensión.MatemáticasIcurso201213      2      2    é:  Buscamoslasecuacionesimplícitas(conociendolabase)  0

1 0 Como   3 ,     2 0

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, ,   

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 󰈑  0    0 . í  

Sabíamosqueibaasalir1ec.implícitayaque 󰆄󰆈󰆅󰆈󰆆    . 󰆈󰆈󰆆  º   í . .  󰆄󰆈󰆈󰆈󰆅󰆈

º  . í .   1

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