Estadistica Descriptiva - Ejercicios Resueltos PDF

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Ejercicios Resueltos:
-Clasificación de variables
-Gráficos estadísticos
-Medidas de ubicación
-Medidas de variabilidad poblacional y muestral
-Aplicación de datos no agrupados y agrupados...

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1.- Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos –  Clasificación de variables  Gráficos estadísticos  Medidas de ubicación  Medidas de variabilidad poblacional y muestral  Aplicación de datos no agrupados y agrupados

1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1.- La distribución de los 20.000 empleados de la empresa Alfa, según antigüedad (X) y sueldo mensual (Y) se muestra en la siguiente tabla de proporciones (frecuencias relativas) conjuntas: X (en años) menos de 4 4–8 más de 8

Y ( en miles de $) 90 – 130 130 – 170 0,08 0,04 0,12 0,10 0,12 0,18

50 – 90 0,12 0,08 0,00

170 – 250 0,00 0,05 0,11

1.1) Clasifique las variables del problema según tamaña del recorrido y nivel de medición 1.2) Grafique la distribución de los empleados según sueldo mensual 1.3) ¿En qué grupo son más homogéneos los sueldos de la empresa, en el de los empleados más nuevos o en el de los más antiguos? Justifique su respuesta. 1.4) Si para las fiestas patrias la empresa otorgo un aguinaldo de $25.000 a los empleados cuyo sueldo era inferior a los $120.000, mientras que para aquellos cuyo sueldo era superior a esa cifra el aguinaldo fue de $15.500, ¿Cuántos de los empleados que tienen más de 8 años de antigüedad en la empresa recibieron un aguinaldo de $15.500? 1.1) Solución: Variable 𝑥 𝑦

Según Tamaño del recorrido Discreta Continua

Según Nivel de Medición Ordinal De Razón

1.2) Solución:

𝑦 (en miles de $) 50 - 90 90 - 130 130 - 170 170 - 250

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𝐶𝑖

40 40 40 80

ℎ𝑖

0.2 0.32 0.32 0.16 1

𝑛𝑖

4000 6400 6400 3200 n = 20.000

𝑛𝑖 / 𝐶𝑖 100 160 160 40

k = 40

𝑘 ∙ 𝑛𝑖 /𝐶𝑖 4000 6400 6400 1600

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1.3) Solución: Sean:

𝑍 = “Sueldo empleados más nuevos (menos de de 4 años)” 𝑊 = “Sueldo empleados más antiguos (más de 8 años)”

Obs: La desviación estándar que es calculada corresponde a la poblacional, ya que se trabaja con la totalidad de datos. 𝑆(𝑍) = 29,8173 𝑍 = 96,6666

𝐶𝑉(𝑍) =

𝑆(𝑊 ) = 37,6170  = 154,3902 𝑊

𝐶𝑉 (𝑊 ) =

29,8173 𝑆 (𝑍 ) ∙ 100 = 30,8455% ∙ 100 =  96,6666 𝑍

37,6170 𝑆(𝑊) ∙ 100 = ∙ 100 = 24,3649%  154,3902 𝑊

Respuesta: Debido a que 𝐶𝑉 (𝑍) > 𝐶𝑉(𝑊), la distribución de los sueldos de los empleados más antiguos es más homogénea que la distribución de los sueldos de los empleados menos antiguos. 1.4) Solución:

𝑦 50 - 90 90 – 130 130 – 170 170 – 250

𝑛𝑖 0 2400 3600 2200 n = 8200

Utilizando la fórmula de percentil:

𝑁𝑖 0 2400 6000 8200

𝑝∙n

Pk = 𝑥′𝑖−1 + 𝐶i ( 100

− Ni−1 ni

)

Obs: Recordar que el percentil toma los números menores o igual al número indicado, por lo tanto, en esta ocasión son considerados los números contenidos que son menores o iguales a $120.000. 120 = 90 + 40 ∙

(

𝑝 ∙ 8200 100

− 0)

2400

𝑝 = 21,95% = 0,2195

Luego, como el ejercicio le solicita la cantidad de empleados con más de 8 años de antigüedad en la empresa que recibieron un aguinaldo de $15.500, o sea , los empleados que tienen un sueldo superior a los $120.000, por ende, tendremos que utilizar propiedades de complemento para poder obtener lo que nos piden. 𝑃(𝑌 > 120) = 1 – 𝑃(𝑌 < 120) = 0,7805

Finalmente, se multiplica la probabilidad por la población considerada (n): 𝑛 ∙ 𝑃 (𝑌 > 120) = 0,7805 ∙ 8.200 = 6400

Respuesta: El 78,05% de los empleados con más de 8 años de antigüedad ganan más de $120.000, o sea, reciben un aguinaldo de $15.500, lo que corresponde a 6400 empleados.

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1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

2.- Una empresa que se dedica a la fabricación de mallas de acero para hormigón armado, ha tomado una muestra de las mallas que compró una constructora en un mes determinado, registrando por cada unidad el peso de la mañana (en kg.), X, el tipo de malla, Y, (con borde: C, sin borde: S) y el diámetro de las barras (en mm.), Z. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Z menos de 5 (5,0 – 7,0] más de 7

Y C S C S C S

(15 – 28] 10 8 2 2 0 0

X (41 – 54] 4 2 3 5 4 5

(28 – 4] 6 4 8 6 4 2

(54 – 67] 2 0 11 11 20 15

más de 67 0 0 4 0 7 5

2.1) Clasifique las variables según escala de medición y tamaño de recorrido. 2.2) Encuentre la medida de posición más adecuada para el peso de la malla. 2.3) ¿Qué porcentaje de las mallas con bordes tienen un diámetro de barras superiores a 5,5 mm.? 2.4) ¿Cuál es la variabilidad del peso de las mallas sin bordes que tienen diámetro de barras menores a 5,0 mm.? 2.1) Solución: Variable X Y Z

Según escala de Medición Ordinal Nominal Ordinal

Según Tamaño de Recorrido Discreta Binaria o Discreta Discreta

2.2) Solución: Notemos que el peso de la malla (X), corresponde a una variable ordinal y asimétrica, por lo que la medida de posición central más adecuada es la Mediana (Me = 54 Kg.) 2.3) Solución: Lo primero será hacer una tabla con los datos que vamos a ocupar, para poder trabajar de una manera más clara. Luego utilizando la fórmula de percentil, tenemos: 𝑝∙𝑛 − 𝑁𝑖−1 𝑃𝑘 = 𝑥′𝑖−1 + 𝐶𝑖 ( 100 ) 𝑛𝑖 Z 𝑛𝐶 𝑁𝐶 Menos de 5

22

22

(5,0 - 7,0] Más de 7

28 35

50

n = 85

85

𝑝∙85

5,5 = 5,0 + 2,0 (

100

− 22

28

𝑝 = 34,12% = 𝑃(𝑍 ≤ 5,5)

)

Luego por propiedad de complemento obtenemos el porcentaje que es requerido: 𝑃(𝑍 > 5,5) = 100% − 𝑝 = 65,88%

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1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Respuesta: El porcentaje de las mallas con bordes que tienen un diámetro de barras superiores a 5,5 mm es 65,88% 2.4) Solución: Para empezar distribuimos los datos que utilizaremos, los que serás nuestra herramienta para poder determinar el Coeficiente de Variación, que corresponde a un indicador de variabilidad. 𝑥 (15 - 28] (28 - 41] (41 - 54] (54 - 67] más de 67

𝑥𝑖 21,5 34,5 47,5 60,5

𝑛𝑆 8 4 2 0 0 n = 14

𝑆𝑥 = 9,8270

𝑋 = 28,9286

𝐶𝑉(𝑥) =

𝑠𝑥 9,8270 ∙ 100 = 33,9698% ∙ 100 = 𝑥 28,9286

Respuesta: La variabilidad del peso de las mallas sin bordes que tienen diámetros de barras menores de 5,0 mm es del 33,97% 3. Los siguientes datos corresponden a las cantidades máximas de emisión diarias de óxido de azufre (en toneladas) registrada según planta de emisión, en cierta zona industrial. Cantidad de óxido (ton.) 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30

Planta A 50 30 60 20 40

Planta B 40 30 0 10 20

Planta C 20 40 70 15 5

3.1) Indique la unidad de información y clasifique las variables según escala de medición y tamaño de recorrido 3.2) Entre las plantas B y C, ¿Cuál presenta mayor variabilidad relativa su promedio de óxido de azufre emitido? 3.3) ¿Qué porcentaje de las emisiones producidas por la planta C, supera las 28 toneladas? 3.1) Solución: Unidad de información: La planta de emisión Variable Planta de Emisión Cantidad de Oxido

Según Escala de medición Nominal De Razón

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Según Tamaño de recorrido Discreta Continua

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1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

𝑥 = “Cantidades máximas de emisión diarias de óxido de azufre (en ton.)”

3.2) Solución: Sea:

𝑥 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30

𝑥𝑖 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5

𝑆𝐵 = 7,8102  = 14,5 𝐵

𝑆𝐶 = 4,7404 𝐶 = 15,6666

Planta B 40 30 0 10 20

𝐶𝑉(𝐶) =

Planta C 20 40 70 15 5

7,8102 ∙ 100 = 53,8634% 14,5

4,7404 𝐶𝑉(𝐶) = ∙ 100 = 30,258% 15,6666

Respuesta: Comparando ambas plantas, podemos llegar a la conclusión que la planta que presenta mayor variabilidad relativa en su promedio de óxido de azufre emitido corresponde a la Planta B. 3.3) Solución: Exponemos la información de la Planta C 𝑥 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30

𝑥𝑖 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5

𝑛𝐶 20 40 70 15 5

𝑁𝐶 20 60 130 145 150

Luego, por formula de Percentil, tenemos: 28 = 25 + 5 (

𝑝∙150 100

𝑝 = 98,67%

− 145 5

)

Luego por propiedad de complemento, obtenemos que el porcentaje que nos piden es 1,33% Respuesta: El porcentaje de las emisiones producidas por la Planta C que supera las 28 toneladas corresponden al 1,33%. 4.- En una Empresa constructora se ha registrado información respecto: ingreso mensual (Y), especialidad (X) y permanencia (Z) en la empresa (en que A = antiguo; N = recién ingresado), de sus trabajadores, obteniendo lo siguiente:

Especialidad Albañil Carpintero Electricista Pintor

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Z A N A N A N A N

Ingreso mensual, en miles de pesos 100 - 150 150 - 200 200 - 300 más de 300 6 9 5 0 9 11 1 0 1 6 7 9 1 2 3 3 3 5 8 1 1 0 5 4 2 20 2 0 1 10 5 0

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1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

4.1) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición. Calcule la medida de posición más adecuada en cada caso. Indique unidad de información. 4.2) Construya un gráfico que permita mostrar la distribución de los trabajadores según especialidad 4.3) Construya un gráfico que permita comparar los ingresos de los pintores según permanencia en la empresa. 4.4) Si entre carpinteros y electricistas tienen un sueldo promedio de $225.000 ¿Cuál es el sueldo promedio de los trabajadores en la Empresa? 4.5) Si la empresa decide mejorar los sueldos de los trabajadores con ingresos inferiores a $180.000 ¿Qué porcentaje de los trabajadores se beneficiará con esta medida? 4.6) Si a los albañiles se les otorga una bonificación de $20.000. Compare la dispersión de los ingresos de los albañiles después de la bonificación con la de los ingresos de los pintores. 4.1) Solución: Variable Especialidad Permanencia Ingreso Mensual

Según Nivel de Medición Nominal Nominal Ordinal

Medida de posición más adecuada Mo: Albañil Mo: Antiguo Me = $183.832,5

Unidad de información: El Trabajador 4.2) Solución: Especialidad Albañil Carpintero Electricista Pintor

𝑛𝑖 41 32 27 40 n = 140

Gráfico de barras separadas

Gráfico Circular o de Torta

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1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

4.3) Solución: Ingreso Pintores 100 – 150 150 – 200 200 – 300 Más de 300

𝑛𝑖 Antiguo 2 20 2 0

𝑛𝑖 Recien llegado 1 10 5 0

ℎ𝑖 Antiguo 2 20 1 01

ℎ𝑖 Recien llegado 1 10 2,5 0

Total 3 30 3,5 0

Para comparar los ingresos de los pintores según permanencia en la empresa utilizaremos un Histograma rectificado.

4.4) Solución: 𝑦

100 - 150 150 - 200 200 - 300 Más de 300

𝑦𝑖

125 175 250

𝑛𝑖 (Albañil)

𝑛𝑖 (Pintor)

15 20 6 0 41

3 30 7 0 40

En este ejercicio nos otorgan los sueldos promedios entre carpinteros y electricistas, el que es $225.000, por lo tanto, trabajaremos con los datos entregados para poder encontrar el sueldo promedio del total de los empleados de la Empresa, para esto utilizaremos la fórmula de promedio o media para datos tabulados, la que es:

𝑥 =

∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝑛

Empleando la formula en los albañiles y pintores, respectivamente. 𝑦𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙 = Página 8

6875 125 ∙ 15 + 175 ∙ 20 + 250 ∙ 6 = = 167,6829 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 $) 41 41 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

125 ∙ 3 + 175 ∙ 30 + 250 ∙ 7

7375 = 184,375 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 $) = 40 40 Finalmente, para obtener el promedio de los sueldos, se multiplica el promedio por la cantidad de personas, y por último, se divide por el total (n), de la siguiente manera: 𝑦𝑃𝑖𝑛𝑡𝑜𝑟 =

6875

𝑌 =

41

∙ 41 +

7375 40

∙ 40 + 225 ∙ 59

140

= 196,607 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 $)

Respuesta: El sueldo promedio de los trabajadores de la Empresa es $196.607 4.5) Solución:

𝑌 100 – 150 150 – 200 200 – 300 Más de 300

𝑛𝑖 24 68 35 13 n = 140

Utilizando formula de percentil, tenemos que: 180 = 150 + 50 (

Ni 24 92 127 140

𝑝∙140

− 24 ) 68

100

𝑝 = 46,286%

Respuesta: El porcentaje de los trabajadores que se beneficiarán con la medida será el 46,286% 4.6) Solución: P = “Pintores”; A = “Albañiles”; A* = “Albañiles con bonificación”

Por propiedad: 𝑆𝐴∗

𝑆𝑃 = 32,9239 𝑃 = 184,375 ∗ = 𝐴 + 20  = 𝑆𝐴 ; 𝐴

𝐶𝑉 (𝑃) = 0,1786 ∙ 100 = 17,86%

𝑆𝐴 = 41,0398 𝑆𝐴∗ = 41,0398 𝐴 = 167,6829  𝐴∗ = 187,6829

𝐶𝑉 (𝐴∗ ) = 0,2186 ∙ 100 = 21,86%

Respuesta: La distribución del sueldo de los pintores tiene menos dispersión (menos variabilidad, es más homogénea) que la de los albañiles bonificados, o de otra forma, La distribución del sueldo de los albañiles bonificados tiene mayor dispersión (mayor variabilidad, más heterogénea) que la de los pintores. 5.- Una empresa constructora de parques y plazas, ha ganado una propuesta para construir áreas verdes en plazas de una determinada región. Las superficies sembradas, en metros cuadrados, en 80 plazas y la mezcla de semilla de pasto utilizadas, se resumen en la siguiente tabla: Mezcla Manquehue Estadio Ray-grass Long Grass-Trevol Total

Superficie sembrada 200 - 1180 1180 - 3140 3140 - 5100 5100 - 6080 7 4 6 2 3 6 8 4 0 7 9 5 2 5 4 1 12 22 27 12

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más de 6080 0 3 4 0 7

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1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

5.1) Clasificación las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recorrido. 5.2) Calcule las medidas marginales de posición más adecuadas para cada variable e indique las correspondientes medidas de dispersión. 5.3) Construya un gráfico que muestre la distribución de las plazas sembradas según mezcla de semilla utilizada. 5.4) Compare la dispersión de las superficies sembradas con mezclas de Manquehue con la dispersión de las superficies sembradas con mezcla Long Grass-Trevol. 5.1) Solución: Variable Mezcla Superficie Sembrada 5.2) Solución: Variable Mezcla Superficie Sembrada

Mezcla Manquehue Estadio Ray- grass Long grass Trevol

Según Nivel de Medición Nominal Ordinal

Según Tamaño de Recorrido Discreta Discreta

Medida Marginal de Posición Moda Mediana

Medida de Dispersión No existe Recorrido intercuartílico

Sup. Sembrada 𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖 200 – 1180 1180 – 3140 3140 – 5100 5100 – 6080 Más de 6080

𝑛𝑖 19 24 25 12 Tabla (i)

𝑛𝑖

12 22 27 12 7 n = 80

𝑁𝑖

12 34 61 73 80

Como ya sabemos que la moda corresponde a él valor con mayor frecuencia en una distribución de datos, por lo que sólo basta reconocer cual es el que más se repite, sin necesidad de realizar algún cálculo para determinarlo. En cambio, para poder determinar la Mediana de la Superficie Sembrada, es necesario aplicar la fórmula de Mediana para datos tabulados: 𝑛

𝑀𝑒 = 𝑥′𝑖−1 + 𝐶𝑖 [ 2

− 𝑁𝑖−1 𝑛𝑖

]

Lo primero será identificar el intervalo en el cual trabajaremos, para ello debemos encontrar donde se encuentra la mitad, para ello dividimos el tamaño muestral en dos, lo que da un resultado de 40, el que se encuentra en el intervalo: [3140 – 5100[, por lo que este intervalo utilizaremos para poder conseguir los datos necesarios para obtener la mediana. Reemplazando: 𝑀𝑒 = 3140 + 1960 ∙ [

80 2

− 34 ] = 3.575,56 𝑚2 27

Respuesta: La Moda es semilla de pasto Ray- grass, y la Mediana es igual a 3.575,56 m2

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1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

5.3) Solución: Graficaremos los datos de la Tabla (i) para poder representar la distribución de las plazas sembradas según mezcla de semilla utilizada

5.4) Solución:

𝑥 = Sup. Sembrada 200 – 1180 1180 – 3140 3140 – 5100 5100 – 6080 Más de 6080 𝑆𝑀 = 1747,9860  = 2598,4210 𝑀

𝑆𝐿𝑔𝑇 = 1462,6087  = 2854,1666 𝐿𝑔𝑇

𝑥𝑖 690 2160 4120 5590

Manquehue Long grass Trevol 7 2 4 5 6 4 2 1 0 0

𝐶𝑉 (𝑀) =

1747,9860 ∙ 100 = 67,27% 2598,4210

𝐶𝑉(𝐿𝑔𝑇) =

1462,6087 ∙ 100 = 51,24% 2854,1666

Respuesta: Como 𝐶𝑉(𝑀) > 𝐶𝑉(𝐿𝑔𝑇) , la dispersión de las superficies sembradas con mezcla de Manquehue es más heterogénea que la de las superficies sembradas con mezcla de Long grass Trevol. 6.- La empresa de telecomunicaciones “E-Box” dispone de la siguiente información correspondiente a ingresos (en miles de pesos) y antigüedad, de todos sus empleados (en años), separados por género. Los datos se resumen en el siguiente cuadro: I: Ingreso Miles de $ 200 a 300 300 a 400 400 a 500 500 a 600 Total

Menos de 2 H M 6 10 2 4 0 2 0 0 8 16

A: Antigüedad (años) 2a4 4a6 H M H 7 3 4 7 5 2 3 0 5 0 0 4 17 8 15

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6a8 M 1 1 3 0 5

H 1 1 2 3 7

Total M 0 2 1 1 4

32 24 16 8 80

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1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

6.1) Construya un gráfico que permita comparar la distribución porcentual de los hombres y de las mujeres según antigüedad. 6.2) Como la empresa ha tenido utilidades significativas, quiere compartir sus excedentes con los empleados para lo cual entrega las siguientes propuestas: - Propuesta A: Un reajuste del 10% de sus ingresos más un bono de 25 mil pesos por empleado. - Propuesta B: Un reajuste del 8% de sus ingresos más un bono de 32 mil pesos por empleado. 6.2.1) ¿Cuál de estas dos propuestas generará una distribución de los ingresos más homogénea? 6.2.2) Suponga que cada empleado elige libremente cualquiera de las dos opciones, tomando en consideración aquella que le reporta mayor ingreso. ¿Qué porcentaje de los empleados elegirán la propuesta A? 6.3) Todo empleado que se encuentre sobre el segundo quintil de la variable antigüedad serán beneficiados con 5 días adicionales de vacaciones. Calcule la antigüedad mínima que debe tener un trabajador para optar a este beneficio. 6.4) Para los hombres con una antigüedad de al menos dos años, con un sueldo de por lo menos $400.000 ¿Cuál es la antigüedad media en la empresa? 6.1) Solución: Menos de 2 2a4 4a6 6a8 Total

M 8 17 15 7 33

%ℎ𝑀 17,02 36,17 31,91 14,90

H 16 8 5 4 47

%ℎ𝐻 48,49 24,24 15,15 12,12

Distribución de la antigüedad por sexo 60 50

Porcentaje...