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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS TRABAJO DE ESTAD´ ISTICA ´ TRABAJO DE RECUPERACION FERNANDO HARO, ING. CARLOS BALSECA 1. Departamento de Ciencias Exactas, Unidad 2, Facultad de Mecanica, Universidad de las Fuerzas Armadas, Quito, Ecuador. Abstract In probability and statistics, a probability dist...

Description

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

TRABAJO DE ESTAD´ ISTICA

´ TRABAJO DE RECUPERACION FERNANDO HARO, ING. CARLOS BALSECA 1. Departamento de Ciencias Exactas, Unidad 2, Facultad de Mecanica, Universidad de las Fuerzas Armadas, Quito, Ecuador.

Abstract

In probability and statistics, a probability distribution assigns a probability to each measurable subset of the possible outcomes of a random experiment, survey, or procedure of statistical inference. Examples are found in experiments whose sample space is non-numerical, where the distribution would be a categorical distribution; experiments whose sample space is encoded by discrete random variables, where the distribution can be specified by a probability mass function; and experiments with sample spaces encoded by continuous random variables, where the distribution can be specified by a probability density function. More complex experiments, such as those involving stochastic processes defined in continuous time, may demand the use of more general probability measures. P (a < x) = f (b) − f (a)

Resumen En teor´ıa de la probabilidad y estad´ıstica, la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria es una funci´on que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribuci´on de probabilidad est´a definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. La distribuci´on de probabilidad est´a completamente especificada por la funci´on de distribuci´on, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x. P (a < x) = f (b) − f (a)

Trabajo recibido Correspondencia a: Ing. Carlos Balseca Email: [email protected]

Estad´ıstica

1

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0.1.

Ejercicios secci´ on 3-1

En cada uno de los ejercicios siguiente determine el rango (Valores posibles) de la variable aleatoria 3.1 La variable aleatoria es el n´ umero de conexiones soldadas, de las 1000 que tiene un circuito impreso que no cumplen con ciertos estandares de calidad. Rango X=(0,1,2,3,4,....,1000) 3.3 Se utiliza un instrumento electr´onico para medir pesos de paquetes, hasta la libra mas cercana. El instrumento de medici´on solo tiene 5 d´ıgitos, cualquier peso mayor del que puede mostrarse aparecera como 99999. La variable aleatoria es el peso que aparece en el instrumento. Rango X=(0,1,2,.....,99999) 3.5 Un lote de 500 partes maquinadas contiene 10 que no se ajustan a los requerimientos del cliente. Del lote se van tomando partes, sin reemplazo, hasta que se obtiene una que no cumple con los requerimientos. La variable aleatoria es el n´ umero de partes seleccionadas. Rango X=(0,1,2,.......,491) Ya que suponemos que 490 cumplen con el requerimiento y la que no cumple esta al final. 3.7 La variable aleatoria es el n´ umero de problemas en la superficie de una bobina grande de acero galvanizado. Rango X=(0,1,2,3,.....,n) Todo depende del modelo de la bobina y a las condiciones a las que sea sometida. 3.9 En la orden de pedido de un automovil puede seleccionarse el modelo base o implementar cualquier n´ umero de opciones, hasta 15. Variable aleatoria es el n´ umero de opciones seleccionadas en un pedido. Rango X=(0,1,2,3,......,15)

0.2.

Ejercicios secci´ on 3-2

3.11 El espacio muestral de un experimento aleatorio es (a, b, c, d, e, f ) y cada resultado es igualmente probable. Se define una variable aleatoria de la siguiente manera:

Resultado x 2

a 0

b 0

c 1.5

d 1.5

e 2

f 3 Estad´ıstica

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1 1 1 + = 6 6 3 1 1 1 f (1,5) = P (x = 1,5) = + = 6 6 3 1 f (2) = P (x = 2) = 6 1 f (3) = P (x = 3) = 6 f (0) = P (x = 0) =

3.13 Un grupo de partes moldeadas se clasifican de acuerdo con su longitud, de la siguiente manera. Long. en mm 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 N´ umero de partes 0 3 10 25 40 18 16 2 a) Si la variable aleatoria X es la longitud de una parte moldeada seleccionada al azar determine f (x).

x f (x)

4.9 0

5.0 3/144

nw=144 partes moldeadas 5.1 5.2 5.3 5.4 10/144 25/144 40/144 18/144

5.5 16/144

5.6 2/144

b) Cu´al es el valor de P (x ≤ 5,1). P (x ≤ 5,1) = 0 +

3 10 13 + = 144 144 144

c) Cu´al es el valor de P (4,95 < x < 5,35) P (4,95 < x < 5,35) =

10 25 40 78 3 + + + = 144 144 144 144 144

3.21 En el ejemplo 3-8, suponga que la probabilidad de que una muestra de aire contenga una mol´ecula rara es 0.001. Calculae la probabilidad de que X=3. w = (p, ap, aap, aaap, aaaap, ....., n); a : normal, p : raro P (p) = 0,001P (a) = 0,999 P (3) = P (aap) = P (a) ∗ P (a) ∗ P (p) P (3) = P (aap) = 0,999 ∗ 0,999 ∗ 0,001 P (3) = P (aap) = 0,000998 3.23 Un sistema de inspecci´on o´ptica es capaz de distinguir cuatro partes distintas. La probabilidad de clasificar de manera correcta cualquier parte es 0.98. Suponga que se inspecciona tres partes y que la clasificaci´on de estas es independiente. Sea la variable aleatoria X el n´ umero de partes clasificadas correctamente. Determine la funci´on de probabilidad de X. X = (0, 1, 2, 3) P (c) = 0,98; P (i) = 0,02 wX = (ccc, cci, cic, cii, icc, ici, iic, iii) f (0) = P (X = 0) = (0,002)3 = 8x10−6 f (1) = P (X = 1) = ((0,002)2 (0,98)) ∗ 3 = 1,17x10−3 f (2) = P (X = 2) = ((0,002)(0,98)2 ) ∗ 3P = 0,05762 f (3) = P (X = 3) = (0,98)3 = 0,94 ≈1 Estad´ıstica

3

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0.3.

Ejercicios secci´ on 3-3

3.27 Continuaci´on del ejercicio 3-14. Determine la funci´on de distribuci´on acumulada para la variable aleatoria del ejercicio 3-14. x F(x)

30 0.02

31 0.06

32 0.11

33 0.22

34 0.28

35 0.49

36 0.75

37 0.87

38 0.95

39 1

Tambien calcular la probabilidad siguiente: a)P (x < 32,5) P (x < 32,5) = 0,11 b)P (x ≤ 32) P (x ≤ 32) = 0,11 c)P (x > 32) P (x > 32) = 0,88 d)P (33 < x ≤ 38) P (33 < x ≤ 38) = 0,76 3.29 Continuaci´on del ejercicio 3-19. Determine la funci´on de distribuci´on para la variable aleatoria del ejercicio 3-19. 8 1 4 ∗ = 7 2 7 2 8 1 f (2) = ∗ = 7 4 7 8 1 1 f (3) = ∗ = 7 8 7 x 1 2 3 f (x) 4/7 2/7 1/7 F (x) 4/7 6/7 1 f (1) =

0.4.

Ejercicios secci´ on 3-4

3.33 Se evalua el acabado superfiacial de 40 piezas de cinta magnetica y se obtienen os resultados siguientes: N´ umero de defectos N´ umero de muestras

0 18

1 12

2 7

3 2

4 1

5 0

Determine la media y la varianza del n´ umero de defectos por muestra de cinta. x f (x) 4

0 18/40

1 12/40

2 7/40

3 2/40

4 1/40

5 0 Estad´ıstica

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18 18 7 2 1 x ∗ f (x) = 0( ) + + 2( ) + 3( ) + 4( ) + 5(0) 40 40 40 40 40 12 14 6 4 36 E(x) = + + + = E(x) = 0,9 40 40 40 40 40 P V (x) = (x − E(x))2 ∗ f (x) 12 7 2 1 18 V (x) = (0 − 0,9)2 ( ) + (1 − 0,9)2 ( ) + (2 − 0,9)2 ( ) + (3 − 0,9)2 ( ) + (4 − 0,9)2 ( ) 40 40 40 40 40 V (x) = 0,3645 + 0,003 + 0,2127 + 0,2205 + 0,2402 E(x) =

P

V (x) = 1,0409 3.35 Se mide la longitud de las terminales de varios componentes electr´onicos (a la d´ecima de mil´ımetro mas cercana), y se obtienen los resultados siguientes: Longitud Terminales

2.0 5

2.1 8

2.2 10

2.3 22

2.4 28

2.5 16

2.6 9

Determine la media y la varianza de la longitud de las terminales. x f (x) E(x) =

P

2.0 5/98

x ∗ f (x) = 2(

2.1 8/98

2.2 10/98

2.3 22/98

2.4 28/98

2.5 16/98

2.6 9/98

5 8 10 22 28 16 9 ) + 2,1( ) + 2,2( ) + 2,3( ) + 2,4( ) + 2,5( ) + 2,6( ) 98 98 98 98 98 98 98 E(x) = 2,3466mm

P (x − E(x))2 ∗ f (x) 5 8 10 V (x) = (2 − 2,3466)2 ( ) + (2,1 − 2,3466)2 ( ) + (2,2 − 2,3466)2 ( ) + (2,3 − 98 98 98 9 2 22 2 28 2 16 2,3466) ( ) + (2,4 − 2,3466) ( ) + (2,5 − 2,3466) ( ) + (2,6 − 2,3466)2 ( ) 98 98 98 98 V (x) = 0,0061 + 0,0049 + 0,0021 + 0,0004 + 0,0008 + 0,0038 + 0,0058 V (x) = 0,0239 V (x) =

3.41 Determine la media y la varianza de la variable aleatoria del ejercicio 3.18. x f (x)

-2 1/8

-1 2/8

0 2/8

1 2/8

2 1/8

1 2 2 1 x ∗ f (x) = (−2)( ) + (−1)( ) + 0 + (1)( ) + (2)( ) E(x) = 0 8 8 8 8 P V (x) = (x − E(x))2 ∗ f (x) 1 2 2 1 12 V (x) = (−2 − 0)2 ( ) + (−1 − 0)2 ( ) + (1 − 0)2 ( ) + (2 − 0)2 ( ) V (x) = = 1,5 8 8 8 8 8 E(x) =

P

3.45 El rango de la variable aleatoria X es (0,1,2,3,x) donde x es una incognita. Si cada valor es igualmete probable y la media de X es 6; calcule x. E(x) =

Estad´ıstica

P

1 1 1 1 x 6+x x ∗ f (x) = 6 ⇒ (0)( ) + (1)( ) + (2)( ) + (3)( ) + 6 = 5 5 5 5 5 5 ⇒ 30 = 6 + x ⇒ 24 = x 5

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0.5.

Ejercicios secci´ on 3-5

3.47 La variable aleatoria X tiene una distribuci´on discreta uniforme sobre los enteros 1 ≤ x ≤ 4. Calcular la media y la varianza. x f (x)

1 1/4

2 1/4

3 1/4

4 1/4

b+a 2 4+1 5 E(X) = = = 2,5 2 2 E(x) =

(b − a + 1)2 − 1 V (x) = 12 (4 − 1 + 1)2 − 1) 16 − 1 15 V (x) = = = 12 12 12 V (x) = 1,250 3.49 En un proceso de recubrimiento se toman varias mediciones del espesor, hasta la cent´esima de mil´ımetro mas cercana. Las mediciones estan distribuidas de manera uniforme, con valores 0.15; 0.16; 0.17; 0.18; 0.19. Para este proceso, calcule la media y la varianza del espesor del recubrimiento. X = (0,15, 0,16, 0,17, 0,18, 0,19) b+a 1 19 + 15 34 1 E(Y ) = k( )= ( )= = 0,17(mm) Y = (15, 16, 17, 18, 19); k = 100 2 100 2 200 (b − a + 1)2 − 1 12 1 2 (19 − 15 + 1)2 − 1 V (Y ) = ( )( ) 100 12 24 V (Y ) = = 0,0002(mm) 10000(12) V (Y ) = k 2

3.51 Suponga que X tiene una distribuci´on discreta uniforme sobre los enteros desde 0 hasta 9. Determine la media, la varianza y la desviaci´on estandar de la variable aleatoria y = 5x y compare los resultados obtenidos con los de x. X = (10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) b+a 9−0 E(X) = = = 4,5 2 2 (b − a + 1)2 − 1 12 2 (9 − 0 + 1) − 1 33 V (x) = = = 8,25 12 4 V (x) =

6

Estad´ıstica

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DE(X) =

√ 8,25 = 2,82

Y = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); k = 5 E(Y ) = k(E(X)) = 5(4,5) = 22,5 V (Y ) = k 2 (V (X)) = 52 (8,25) = 22,8 DE(Y ) =

0.6.

√

22,8 = 14,36

Ejercicios secci´ on 3-6

3.53 Para cada uno de los escenarios siguientes establezca si es razonable o no utilizar la distribuci´on binomial como modelo de variable aleatoria y por que. Indique todas las suposiciones que tenga que hacer seg´ un sea el caso. a)Un porceso produce miles de transductores de energ´ıa. Sea X el n´ umero de transductores que no cumplen con los requisitos de dise˜ no de una muestra de 30 tomada al azar del proceso. No es posible la probabilidad binomial ya que no existe anunciada la probabilidad de exito o fracaso b)Cuatro componentes electr´onicos identicos est´an conectados a un controlador que puede conmutar de un componente que falla a otro de los que quedan como respuesta. Sea X el n´ umero de componentes que han fallado despues de cierto tiempo de operaci´on. Si es posible aplicar distribuci´on binomial pues se conoce el n´ umero de ensayos y la probabilidad de dicho evento es la misma. c)Sea X el n´ umero de accidentes que ocurren en las carreteras federales de cierto estado durante un mes. No se puede aplicar la distribuci´on binomial ya que nos da un intervalo de tiempo en el que ocurre dicho evento. 3.55 La variable aleatoria X tiene una distribuci´on binomial con n=10 y p=0.5 calcular: a)P (X = 5) n Cx p

x n−x

q

5 10−5 10 C5 (0,5) (0,5)

= 0,2460

b)P (X ≥ 9) P (X ≥ 9) = P (X = 9) + P (X = 10) =10 C9 (0,5)9 (0,5)10−9 +10 C10 (0,5)10 (0,5)10−10 P (X ≥ 9) = 0,01073 Estad´ıstica

7

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c)P (3 ≤ X < 5) P (3 ≤ X < 5) = P (X = 3) + P (X = 4) =10 C3 (0,5)3 (0,5)10−3 +10 C4 (0,5)4 (0,5)10−4 P (3 ≤ X < 5) = 0,1171 + 0,2050 = 0,3221 3.59 Determine la funci´on de distribuci´on acumulada de una variable aleatoria binomial con n=3 y p=0.25 P F (X) = f (x) F (X) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) F (X) =3 C0 (0,25)0 (0,75)3−0 +3 C1 (0,25)1 (0,75)3−1 +3 C2 (0,25)2 (0,75)3−2 +3 C3 (0,25)3 (0,75)3−3 F (X) = 1 3.61 Sea X el n´ umero de bits recibidos de manera incorrecta en un canal de comunicaci´on digital y suponga que X es una variable aleatoria binomial con p=0.001. Si se transmiten 1000 bits calcule lo siguiente: a)P (X = 1) 1 1000−1 1000 C1 (0,001) (0,999)

= 0,3680

b)P (X ≥ 1) P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) P (X ≥ 1) = 1 −1000 C0 (0,001)0 (0,999)1000−0 P (X ≥ 1) = 0,6323 c)E(X); V (X) E(X) = n ∗ p E(X) = 1000(0,001) = 1 V (X) = n ∗ p ∗ q V (X) = 1000(0,001)(0,999) = 0,999 3.65 Dado que no todos los pasajeros de una aerolinea abordan el vuelo para el que han reservado un lugar, la aerolinea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es 0.10 y l comportamiento de los pasajeros es independiente. a)C´ ual es la probabilidad de que todos los pasajeros aborden el vuelo. P (X ≥ 5) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5)) = 1 − (125 C0 (0,1)0 (0,9)125−0 +125 C1 (0,1)1 (0,9)125−1 +125 C2 (0,1)2 (0,9)125−2 +125 C3 (0,1)3 (0,9)125−3 +125 C4 (0,1)4 (0,9)125−4 +125 C5 (0,1)5 (0,9)125−5 ) P (X ≥ 5) = 0,9962 b)C´ ual es la probabilidad de que el vuelo parta vac´ıo. P (X ≥ 6) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − (125 C0 (0,1)0 (0,9)125−0 +125 C1 (0,1)1 (0,9)125−1 +125 C2 (0,1)2 (0,9)125−2 +125 C3 (0,1)3 (0,9)125−3 +125 C4 (0,1)4 (0,9)125−4 +125 C5 (0,1)5 (0,9)125−5 ) P (X ≥ 6) = 0,9886 8

Estad´ıstica

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0.7.

Ejercicios secci´ on 3-8

3.82 Suponga que X tiene una distribuci´on hipergeometrica con N=100, n=4 y K=20. Calcular a)P (X = 1) P (X = 1) =

20 C1 (100−20 C4−1 ) 100 C4

P (X = 1) = 0,4191 b)P (X = 6) La probabilidad no existe ya que x exede a n c)P (X = 4) P (X = 4) =

20 C4 (100−20 C4−4 ) 100 C4

P (X = 4) = 0,00124 3.83 Continuaci´on del ejercicio 3.82; calcule la media y la varianza de X 20 k = = 0,2 N 100 N −n 100 − 4 E(X) = np = (4)(0,2) = 0,8 V (X) = npq( ) = (4)(0,8)(0,2)( ) = 0,6206 N −1 100 − 1 p=

3.84 Suponga que X tiene una distribuci´on hipergeometrica con N=20, n=4, k=4; Calcular: a)P (X = 1) P (X = 1) =

4 C1 (20−4 C4−1 ) 20 C4

P (X = 1) = 0,4623

b)P (X = 4) P (X = 4) =

4 C4 (20−4 C4−4 ) 20 C4

P (X = 4) = 0,000206

c)P (X ≤ 2) P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) 4 C0 (20−4 C4−0 ) 4 C1 (20−4 C4−1 ) 4 C2 (20−4 C4−2 ) P (X ≤ 2) = + + P (X ≤ 2) = 0,9866 20 C4 20 C4 20 C4 3.85 Continuaci´on del ejercicio 3.84. Calcule la media y la varianza de X k 4 = = 0,2 N 20 N −n 20 − 4 E(X) = np = (4)(0,2) = 0,8 V (X) = npq( ) = (4)(0,8)(0,2)( ) = 0,5384 N −1 20 − 1 p=

Estad´ıstica

9

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0.8.

Ejercicios secci´ on 3-9

3.9.4 Suponga que X tiene una distribuci´on Poisson con media 4. Calcule las siguientes probabilidades. Recordando la f´ormula para este tipo de distribuci´on: P (X = 0) =

eΠ × λx x!

a) P (x = 0) −4

0

P (X = 0) = e 0!× λ = e14 = 0,018316 b) P (x 6 2) e−4 × λ1 1!

P (x 6 2) = 0,018316 + = 0,238104

+

e−4 × λ2 2!

c) P (x = 4) −4

4

P (x = 4) = e 4!× λ = 0,1953 d) P (x = 8) −4

8

P (x = 4) = e 8!× λ = 0,02976 3.9.5 Suponga que X tiene una distribuci’on Poisson con media 0.4. Calcule las siguientes probabilidades. Recordando la f´ormula para este tipo de distribuci´on: P (X = 0) =

eπ × λx x!

a) P (x = 0) −4

0

P (X = 0) = e 0!× λ = e14 = 0,67032 b) P (x 6 2) e−4 × λ1 1!

P (x 6 2) = 0,018316 + = 0,922074

+

e−4 × λ2 2!

c) P (x = 4) −4

4

P (x = 4) = e 4!× λ = 0,000715 d) P (x = 8) −4 × λ8

P (x = 4) = e ≈ 0 10

8!

Estad´ıstica

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3.9.6 El n´ umero de clientes que entra en un banco en una hora es una variable aleatoria Poisson, y que P (x = 0) = 0,05. Calcule la media y la varianza de x. −λ

−λ

P (x = xi ) = e x!× λ P (x = 0) = 0,05

x

0

0,05 = e 0!× λ (0,05) = −λ ln(e) λ = 2,99573

E(x) = 2,99573 3.9.7 A menudo el n´ umero de llamadas telef´onicas que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora. a) Cu´al es la probabilidad de que lleguen 5 llamadas en 1 hora. e−λ × λx P (x = xi ) = x!

, λ = 10 llamadas/hora −10

5

P (x = 5) = e 5!× 10 P (x = 5) = 0,037833 b) Cu´al es la probabilidad de que lleguen 3 o menos llamadas en 1 hora. e−λ × λx x!

P (x = xi ) =

−10

, λ = 10 llamadas/hora 0

P (x 6 3) = e 0!× 10 + P (x 6 3) = 0,010336

e−10 × 102 2!

+

e−10 × 103 3!

c) Cu´al es la probabilidad de que lleguen exactamente 15 llamadas en 2 horas. P (x = xi ) =

e−λ × λx x!

, n = 2 p = 10. −20

1

× 20 5 P (x = 15) = e 15! P (x = 15) = 0,051649

d) Cu´al es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos. P (x = xi ) =

e−λ × λx x!

,n=

1 p = 10 λ = 5. 2

−5

P (x = 5) = e 5!× 5 P (x = 5) = 0,175497 3.9.7 Suponga que el n´ umero de defectos en los sellos de tela de cierta industria textiles una variable Poisson con una media de 0,1 defectos por metro cuadrado. a) Cu´al es la probabilidad de tener 2 defectos en 1m2 de tela. P (x = xi ) =

e−λ × λx x! −0,1

, λ = 0,1 2

P (x = 2) = e 2!× 0,1 P (x = 2) = 4,52 × 10−3 Estad´ıstica

11

TRABAJO DE ESTAD´ ISTICA

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

b) Cu´al es la probabilidad de tener 1 defecto en 10m2 de tela. P (x = xi ) =

e−λ × λx x!

, λ = n = 10 , p = 0,1 −1

0

P (x = 1) = e 1!× 0 P (x = 1) = 0,3678 c) Cu´al es la probabilidad de que no existan defectos en 20m2 de tela. P (x = xi ) =

e−λ × λx x!

, n = 20 p = 0,10 λ = n × p , λ = 2 −2

0

P (x = 0) = e 0!× 2 P (x = 0) = 0,135

d) Cu´al es la probabilidad de que exista al menos 2 defectos en 10m2 de tela. P (x = xi ) =

P(x> 2) = 1 −



e−2 × 20 0!

+

e−λ × λx x!