Ejercicios estadistica PDF

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3.113: Un jurado de 6 personas fue seleccionado de entre un grupo de 20 miembros de jurado potenciales, de los cuales 8 eran afroamericanos y 12 de raza blanca. Supuestamente, el jurado se seleccionó al azar pero contenía sólo un afroamericano. ¿Piensa el lector que hay alguna razón para dudar de la aleatoriedad de la selección? Se usó la formula de distribución hipergeometrica N = 20 r = (8 afroamericanos) n=6 Y=1 8 20−8 8 20 − 8 ( )( ) ( 0 6−0 1 )( 6−1 ) 7260 P ( Y ≤ 1) = = + 20 20 (6 ) ( 6 ) 38760

Entonces.. P ( Y ≤ 1) =0.1873 Ahora para dar respuesta a la pregunta tendremos que calcular el valor esperado: E ( X )=

( 8 )( 6 ) =2.4 20

Interpretación final: la probabilidad según los datos suministrados por la situación de que un afroamericano fuera elegido para el jurado fue de un 18%. Ahora, claro que el lector tiene razones para dudar de la aleatoriedad de la selección porque según el valor esperado, entre 2 y 3 afroamericanos se esperaban que estuvieran en el jurado. 3.114: Consulte el Ejercicio 3.113. Si el proceso de selección fuera realmente aleatorio, ¿cuáles serían la media y la varianza del número de afroamericanos seleccionados para el jurado? Media=

( 8) ( 6 ) =2.4 20

Varianza=8

504 =1,061 ( 206 )( 1420 )(1219 )= 475

La media es de2,4 lo que significa que entre 2 a 3 afroamericanos se espera sean escogidos para el jurado, la varianza es de 1,061. 3.115: Suponga que un radio contiene seis transistores, dos de los cuales están defectuosos. Se seleccionan al azar tres transistores, se retiran del radio y se inspeccionan. Sea Y igual al número de defectuosos observado, donde Y= 0, 1 o 2. Encuentre la distribución de probabilidad para Y. Exprese sus resultados gráficamente como histograma de probabilidad. Y= “Número de transistores defectuosos” N=6 r=2 n=3 2 6−2 2 6− 2 2 6−2 ( 0)( 3−0 ) (1)( 3−1) (2 )(3−2 ) + + P ( Y ≤ 2) = 6 6 (3 ) (3) (63 ) P ( Y ≤ 2) =0.2+ 0.6 + 0.2=1

Interpretación final: La distribución de probabilidad para Y es hipergeometrica. 3.116: Simule el experimento descrito en el Ejercicio 3.115, al marcar seis canicas o monedas de modo que dos representen defectuosas y cuatro no defectuosas. Ponga las canicas en un sombrero, revuélvalas, saque tres y registre Y, el número de defectuosas observado. Restituya las canicas y repita el proceso hasta que se hayan registrado n= 100 observaciones de Y. Construya un histograma de frecuencia relativa para esta muestra y compárelo con la distribución de probabilidad poblacional (Ejercicio 3.115).

Número de veces vs cantidad de canicas defectuosas 60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

Interpretación final: Los resultados del experimento reflejan las probabilidades calculadas con la distribución hipergeometrica e ilustrados en el histograma de probabilidad 3.117: En una producción de línea de ensamble de robots industriales se pueden instalar conjuntos de cajas de engranes en un minuto cada una si los agujeros han sido taladrados correctamente en las cajas y en diez minutos si deben taladrarse agujeros. Hay veinte cajas de engranes en existencia, 2 con agujeros taladrados de manera incorrecta. Cinco cajas de engranes deben seleccionarse de entre las 20 disponibles para instalarse en los siguientes cinco robots. a) Encuentre la probabilidad de que las 5 cajas de engranes ajusten correctamente. Y = 5 cajas de engranes ajusten correctamente N= 20 r=2 n=5 2 20 −2 ( 0 )( 5−0 ) =0.5526 P ( Y )= 20 (5)

Interpretación final La probabilidad de que las 5 cajas de engranes ajusten correctamente es del 55% b) Encuentre la media, la varianza y la desviación estándar del tiempo que toma instalar estas 5 cajas de engranes. Media=

( 5) ( 2 ) =0.5 20

( 1519 )( 1020 )(1− 202 )=0.3552

Varianza=

Desviacion media= ( 0.5)( 10) +( 4.5) (1 )=9.5 minutos= √ 9.5 =3.08

3.118: Se reparten cinco cartas al azar y sin reemplazo de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la mano contenga los 4 ases si se sabe que contiene al menos 3 ases? Y = la mano contenga los 4 ases si se sabe que contiene al menos 3 ases N= 52 r=4 n=5 x=1 4 52− 4 ( 1 )( 5−1 ) P ( Y )= =0.2994 52 (5 )

Interpretación final: La probabilidad de que la mano contenga los 4 ases si se sabe que contiene al menos 3 ases es del 30% 3.119: Se reparten cartas al azar y sin reemplazo de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo rey se reparta en la quinta carta? Y = el segundo rey se reparta en la quinta carta N= 52 r=4 n=4

x=1 4 52− 4 ( 1 )( 4−1 ) =0.0159 P ( Y )= 52 (4 )

Interpretación final: La probabilidad de que el segundo rey se reparta en la quinta carta es del 2% 3.120: Los tamaños de poblaciones de animales se calculan en ocasiones con el método de capturar, marcar y recapturar. En este método se capturan k animales, se marcan y luego se sueltan en la población. Cierto tiempo después se capturan n animales y se observa Y, el número de animales marcados de entre los n. Las probabilidades asociadas con Y son una función de N, el número de animales de la población, de modo que el valor observado de Y contiene información sobre esta N desconocida. Suponga que k= 4 animales son marcados y luego soltados. Una muestra de n= 3 animales se selecciona entonces al azar de entre la misma población. Encuentre P(Y= 1) como función de N. ¿Qué valor de N maximizará P(Y= 1)? N ( N −1 ) N −2 k N−k ( N −4 ) (N −3) 1 n−1 =12 ¿ P ( Y =1) = ¿ N n

( )( ) ( )

Interpretación final: El valor de N que maximiza a P(Y= 1) es 8 y 9, ya que la probabilidad llega al pico de 71% mientras que con valores menores o mayores a los dados decrece. 3.121: Denote con Y una variable aleatoria que tenga una distribución de Poisson con media λ = 2. Y= La Araucarea tiene plantas que han crecido de semillas dispersas al azar en una superficie grande, con la densidad media de plantas siendo aproximadamente de dos por yarda cuadrada a) P(Y=4). P ( Y =4 )=

λ 4 e−λ =0.0902 4!

b) P(Y≥4). ∞

y

−λ

λ e =2+(2 ) (1.41) =4.83 y!

P ( Y ≥ 4) = ∑ y= 4

c) P(Y...