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PREGUNTAS DEL FOLLETO(TOPICO ESTADÍSTICO MAX. MITC) 1.-) Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un exámen de estadística en el primer semestre del 2002 en la FISI. 6.6 – 07 – 07 – 7.8 – 8.2 – 8.2 – 8.4 – 09 – 9.4 – 9.6 – 10 – 10.4 – 10.6 – 10.8 – 11 – 11 – 11.4 – 11.8 – 12 – 12 – 12.2 – 12.8 – 13 – 13 – 13 – 13.2 – 13.2 – 13.2 – 13.4 – 13.6 – 13 – 14.2 – 14.6 – 14.6 – 14.8 – 14.8 – 15.2 – 15.4 – 15.4 – 15.6 – 16 – 16.2 – 16.8 – 17 – 17 – 17.6 – 17.8 – 18.2 – 18.8 – 19.4 Clasificar estos datos convenientemente en intervalos de clases, de la misma amplitud y construir los gráficos respectivos. Solución Recorrido o Rango: R = XMAX – XMIN =19.4 – 6.6 = 12.8 Número de Intervalo de Clase: K = 1+3.3 Log50 = 6.6 = 7 Tamaño de Intervalo de Clase: Tic = R / K = 12.8 / 7 =2 Intervalos [6.6 – 8.6 > [8.6 – 10.6 > [10.6 – 12.6 > [12.6 – 14.6 > [14.6 – 16.6 > [16.6 – 18.6 > [18.6 – 20.6 > Total

Fi 7 5 9 11 10 6 2 50

Xi 7.6 9.6 11.6 13.6 15.6 17.6 19.6

Fi 7 12 21 32 42 48 50

hi 0.14 0.10 0.18 0.22 0.20 0.12 0.04 1.00

Hi 0.14 0.24 0.42 0.64 0.84 0.96 1.00

20 15 10 5 0 6.6

8.6

10.6

12.6

14.6

16.6 18.6

20.6

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

48

50

42 32 21 12 7 6.6

8.6

10.6

12.6

14.6

16.6

18.6

2.-)

Los siguientes datos proporcionan las remuneraciones (en soles) de 50 obreros: 573 565 569 576 573

547 570 558 579 564

567 557 576 577 570

582 585 567 588 546

567 559 552 594 568

570 570 568 567 563

560 557 569 577 572

567 573 566 554 584

561 577 572 593 563

580 558 586 556 574

Agrupar estos datos en una tabla de frecuencias cuyos intervalos sean de amplitud constante. Solución i) Rango: R = 594 – 546 R = 48 ii) Intervalos (Regla de Sturges) K = 1+3.3log(50) K = 6.6 K=7 iii) T.I.C. (Tamaño del Intervalo de Clase) TIC = 48/7 TIC = 7 iv) T.D.F. (Tabla de Distribución de Frecuencia) I.C.

Fi 03

Fi* 50

hi 0.06

Hi 0.06

H i* 1.00

Xi 549

546

553

fi 03

553

560

07

10

47

0.14

0.20

0.94

556

560 567

07

17

40

0.14

0.34

0.80

563

567 574

18

35

33

0.36

0.70

0.66

570

08

43

15

0.16

0.86

0.30

577

581 588

04

47

07

0.08

0.94

0.14

584

588 595

03

50

03

0.06

1.00

0.06

591

574

581

P.-3) Representar gráficamente

FACULTAD

Nº de alumnos 200 1500 3000 800 700 900 400 600

Ingeniería metalúrgica economía Ingeniería industrial Contabilidad Derecho Ciencias de la comunicación Ingeniería de sistemas Ciencias administrativas

Ing. Metalurgica Economia

7% 5%

2%

19%

11%

Ing. Industrial Contabilidad

9% Derecho 10%

37% Ciencias de la Com. Ing. de Sistemas

4.-)

Construir el gráfico de la siguiente distribución de frecuencias. Tabla 2: Defunciones por enfermedad , por causas y sexos: departamento x, 2001 Causas de la Enfermedad SIDA Cólera Tuberculosis Malaria Otros Total

Sexo Hombres Mujeres 495 673 352 298 307 298 123 233 110 215 1687 1917

Total 1368 650 605 356 625 3604

Gráfico 700 600 500 400 300

H M

200

H M H M

H

100

M

H M SIDA

Cólera

T.B.C.

Malaria

Otros.

5.-) Completar los datos que faltan en la siguiente tabla y tace la gráfica de la función de distribución acumulada. Valores 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL

fi 4 4 8 7 5 10 7 5 50

Fi 4 8 16 23 28 38 45 50

} Solución: fi / n = hi = 4 / 0.08 = n n = 50

hi 0.08 0.08 0.16 0.14 0.10 0.20 0.14 0.10

Valores 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

fi 4 4 8 7 5 10 7 5 50

Fi 4 8 16 23 28 38 45 50

hi 0.08 0.08 0.16 0.14 0.10 0.20 0.14 0.10 1.00

Hi 0.08 0.16 0.32 0.46 0.56 0.76 0.9 1.00

1.00 0.9 0.76 0.56 0.46 0.32 0.16 0.08 0

1

2

3

4

TOPICO pag 51.

5

6

7

8

12-) Una empresa que se dedica a preparar dietas, proyecta lanzar al mercado una dieta rigurosa. Los empleados de una compañía se presentaron como voluntarios para dicha promoción. Se realizo un muestreo con 80 dichos empleados elegidos aleatoriamente. Los resultados del chequeo de los pesos (en kgr.), fueron los siguientes: 80.6 53.2 76.9 88.3 75.6 65.2 54.2 80.2

65.8 60.2 77.4 94.6 41.8 62.1 75.3 60.2

49.6 91.2 67.9 57.3 73.6 44.8 50.1 71.6

79.1 74.8 63.7 87.3 71.4 82.9 61.1 77.1

84.4 78.6 49.9 74.3 83.2 81.7 42.3 94.9

66.2 81.4 46.4 73.2 67.4 70.4 68.6 61.4

79.3 58.6 68.8 90.4 99.3 74.6 56.2 82.1

59.4 68.2 67.3 76.3 62.3 76.9 70.8 78.3

72.9 67.4 72.3 52.7 89.2 85.7 47.3 51.2

73.6 55.6 75.8 71.7 86.8 40.9 66.9 79.3

Se pide: a) b) c) d)

Elaborar una distribución de frecuencias ¿Cuántos empleados tienen pesos entre 45 y 60 Kgr.? ¿Qué porcentaje de empleados tienen pesos mayores que 75.5 Kgr.? La empresa promotora obsequia uniformes de trabajo a los empleados voluntarios. Suponiendo que los pesos de los empleados voluntarios es menor o igual a 80 Kgr. ¿Cuántos uniformes deben ser devueltos?. Solución a) Recorrido o Rango R

X

max

X

min

99.3

40.9

58.4

Número de Intervalos de clases K K

1 3.3 log(80) 7.280 7

Tamaño del Intervalo de Clases c

R K

58.4 7

8.3857

8

En este caso al efectuar las operaciones correspondientes con nuestro amplitud que es igual a 8 nos damos cuenta que no llega a alcanzar al

valor máximo, por lo que le sumamos 1. Es decir le puede pasar pero no le puede faltar. Entonces trabajamos con una amplitud de 9. I.C. 40.9

49.9

49.9

58.9

58.9

67.9

67 .9

76.9

76 .9

85 .9

85 .9

94 .9

94 .9

103.9

Xi 45.4 54.4 63.4 72.4 81.4 90.4 99.4

fi 7 10 15 21 18 7 2 80

Total b)

7 40.9

45

10

Fi 7 17 32 53 71 78 80

hi 0.0875 0.125 0.1875 0.2625 0.225 0.0875 0.025 1.00

15

49.9 x

58.9

60 y

67.9

x + 10 + y =? x

40.9 49.9

45 7 40.9

3.81

y

60 58.9 15 67.9 58.9

1.83

3.81 + 10 + 1.83 = 15.64 15 15 empleados tienen pesos 45 y 60 Kgr. c) 0.2625

0.225

67.9 75.5 76.9 x

0.0875

85.9

94.9

0.025 103.9

x + 0.225 + 0.0875 + 0.025 =? x

76.9 75.5 0.2625 76.9 67.9

0.041

0.041 + 0.225 + 0.0875 + 0.025 = 0.3785 37.85 % es el porcentaje de empleados que tienen pesos mayores de 75.5 Kgr.

d)

7 40.9

10 49.9

15 58.9

21 67.9

18 76.9

80

85.9

x 7 + 10 +15 +21 + x =? x

80 76.9 18 85.9 76.9

6.2

7 + 10 + 15 + 21 + 6= 59 59 uniformes tienen que ser devueltos. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 300 empleados. según su edad. Edades 19-21 22-24 25-27 28-30 31-33 hi 0.15 0.25 0.40 0.10 0.10 7.-)

a.-) ¿Cuántos empleados tienen edades entre 22 y 32 años? b.-)¿Qué porcentaje de empleados tienen 25 años o más ? c.-)¿ Qué porcentaje de empleados tienen 34 años o menos? Solución fi = hi x n 0.15 x 300 = 45 n = 300 0.25 x 300 = 75 0.40 x 300 = 120 0.10 x 300 = 30 0.10 x 300 =30 Edades [19– 22> [22 – 25> [25 – 28> [28 – 31> [31 – 34>

fi 45 75 120 30 30

Hi 0.15 0.25 0.40 0.10 0.10

a) 75 22

120 25

30 28

30 31

32

33

y

75+ 120 + 30 + y =? y

32 31 30 33 31

15

75 + 120 + 30 + 15 = 240 240 empleados tienen entre 22 y 32 años. b) 0.40 + 0.10 + 0.10 = 60% c) 0.15 + 0.25 + 0.40 + 0.10 + 0.10 = 100% 8.-) Las velocidades de los rayos x para tratamiento medico en un hospital local fueron registrados en milisegundos (1 1000 de un segundo) y son: 0.3 0.8 1.2 0.1 1.8

0.9 1.0 1.5 1.4 0.7

1.1 1.3 0.8 0.7 0.9

1.7 0.2 0.9 0.8 1.0

1.5 1.6 0.7 0.6 0.3

0.8 0.1 0.5 1.3 1.2

0.7 0.5 1.1 1.2 1.8

1.1 0.7 1.5 1.4 1.0

a) Construya una distribución de frecuencias usando intervalos de tamaño de 0.25 milisegundos. b) Construya un histograma y polígono de frecuencias a partir de los datos. c) Construya una ojiva de frecuencia relativa “mayor que” a partir de los datos. d) Trace la grafica de la función distribución acumulada. Solución

1 .7 k 6.8 7 1 .8 0 .1

0.25 k R

1 .7

a.-) I.C. 0.1

0.35

0.35

0.6

[0.6- 0.85> 0.85 1 .1

1.1 1.35

1.35 1 .6

1.6 1.85

Total

fi 5 2 10 6 8 5 4 40

Fi 5 7 17 23 31 36 40

hi 0.125 0.05 0.25 0.15 0.2 0.125 0.1 1.00

*

|I 1.00 0.875 0.825 0.575 0.425 0.225 0.1

b)

10 8 6 4 2 0 0.1

c.-)

1.00 0.90 0.80

0.35

0.6

0.85

1.1

1.35

1.6

1.85

0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0 0.1

0.35

0.6

0.85

1.1

1.35

1.6

1.85

d) 40 35 30 25 20 15 10 5 0

0.1

0.35

0.6

0.85

1.1

1.35

1.6 1.85

PREGUNTAS DEL LIBRO TOPICOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDAD P-1) Los siguientes datos representan el numero de interrupciones por días de trabajo debido a fallas mecánicas en una planta procesadora de alimentos: 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6, 3, 2, 3.

Calcule la media, la mediana y encuentre el numero modal de interrupciones diarias.

Solución A) la media x

n

xi

i 1

3 4 1 3 6 5 6 3 2 3 10

36 10

3.6

El promedio de interrupciones por días de trabajo debidos a fallas mecánicas de una planta procesadora es de 3.6. 7 B) la mediana Ordenando datos: 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6. , n = 10 ln med

( ) 2

ln (

2

1)

med

2

l5

l6 2

3 3 2

3

El 50% del numero de interrupciones por día de trabajo debido a fallas mecánicas en una planta procesadora de alimentos es mayor o igual que 3. C) la moda Nº de interrup 1 2 3 4 5 6

fi 1 1 4 1 1 2

La moda es 3 porque es el valor que mas se repite

2.-) La media mínima para aprobar una asignatura es 11. Si un estudiante obtiene las notas 13.5, 14, 9.5, 12, 8.5, 8, 11.5, 10 en los trabajos mensuales de la asignatura en cuestión. ¿El estudiante fue aprobado?

Solución el numero datos que presenta el problema.

xi n

el total de datos. xi n

13. 5 14

9.5 12

8.5 8

8 11.5 10

10.875

El estudiante tuvo un promedio de 10.875, por lo tanto fue desaprobado. 3.-) Diga usted que medidas de tendencia central serian más útiles en cada uno de los siguientes casos: a) El gerente de producción de una fábrica de vasos de vidrio quiere saber. ¿Cuál es el tamaño de vaso que debe fabricar en mayor cantidad? El tiene a la mano un buen número de datos de los tamaños de vasos ordenados por el cliente. b) El gerente de ventas de una compañía que produce muebles de lujo desea seleccionar regiones para establecer salas de exhibición. ¿En que medida del ingreso familiar por región estará interesado, en la media o la mediana? c) Un analista de la bolsa de valores esta interesado en describir el cambio diario en el precio en el mercado de una acción de Banco de Vivienda. Rara vez el precio cambia mas de un punto, pero hay ocasiones en que el precio cambia hasta cinco puntos ¿Qué medida debe usar el analista para describir el cambio de precio de la acción en cuestión, la media , la mediana o la moda de los cambios de precio en el mercado Solución a) Este caso la medida de tendencia central más útil de acuerdo al tamaño de vaso que debe fabricar en mayor cantidad lo correcto es la moda. Porque nos dirá que tamaño de vasos se vende más (lo común). b) Con respecto a esta pregunta con relación a lo que nos menciona la medida del ingreso familiar por región estará más interesado en la mediana por que nos permitirá seleccionar de varias regiones c) La cual para el analista para poder describir el cambio de precio de la acción la más adecuada es la mediana por que nos mencionara los cambios que se efectúan de un punto a otro.

4.-) A continuación se da la distribución de los alquileres de 65 casas. Determine su media empleando el proceso abreviado. Alquiler [ 1.5 - 3.5 > [ 3.5 - 5.5 > miles de intis 12

N° de casas

[ 5.5 - 7.5 > [ 7.5 - 9.5 >

18

20

[ 9.5 - 11.5 >

10

5

Solución: N° de casas fi

Xi

Xi Fi

[ 1.5 - 3.5 >

12

2.5

30

[ 3.5 - 5.5 >

18

4.5

81

[ 5.5 - 7.5 >

20

6.5

130

[ 7.5 - 9.5 >

10

8.5

85

[ 9.5 - 11.5 >

5

10.5

52.5

Alquiler miles de intis

65

DETERMINAR LA MEDIA: n

X

xi f i

i 1

n X

378.5 65

5.8231

378.5

6.-) A continuación se dan las notas de 50 alumnos : 60 85 33 52 65 77 84 65 74 57 71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 80 61 94 88 89 41 91 55 73 59 53 77 45 41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 94 98 66 66 73 42 65 a) Se pide el numero de clases por la formula de Sturges y amplitud de clase. b) ¿Cuáles son los intervalos de clases? (inicie en 30) c) Trace el histograma y polígono de frecuencias d) Determine la media, la mediana y la moda e) Determine el tercer cuartil, el séptimo decil, y el 55vo percentil R = 98-31 = 67 K = 1 + 3.3* log (50) = 6.6 C=

R K

=10.15 10

INTERVALOS [30-40> [40-50> [50-60> [60-70> [70-80> [80-90> [90-100> total

fi 4 6 8 12 9 7 4 50

xi 35 45 55 65 75 85 95

Fi 4 10 18 30 39 46 50

hi 0.08 0.12 0.16 0.24 0.18 0.14 0.04

Hi 0.08 0.2 0.36 0.6 0.78 0.92 1

fi*xi 140 270 440 780 675 595 380

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 30 k

La Media. =

xi * fi

i n

n

40

50

3280 65.6 50

60

70

80

90

100

La Mediana = 60

25 18 * 10 30 18

65.83

4 ( )10 65.7 7 37.5 30 *10 78.3 70 3er cuartil = 39 30 35 30 *10 75.55 7mo Decil = 70 39 30 27.5 18 *10 67.9 55mo percentil = 60 30 18

La moda = 60 El El El 7)

Los diámetros en cms de 50 cojinetes fabricados por una cierta compañía se muestra en la siguiente tabla. 0.529 0.537 0.524 0.534 0.540 0.541 0.537 0.538 0.530 0.543

0.535 0.540 0.531 0.545 0.532 0.538 0.530 0.539 0.536 0.540

0.529 0.536 0.539 0.527 0.532 0.532 0.535 0.536 0.542 0.544

0.535 0.535 0.536 0.536 0.528 0.527 0.535 0.533 0.534 0.526

0.546 0.535 0.535 0.535 0.542 0.525 0.532 0.534 0.528 0.537

a) Forme una tabla de frecuencia. b) Trace un histograma y un polígono de frecuencia acumulada . c) Obtenga la mediana y la moda. Solución a) R = 0.546 - 0524 R = 0.022 K = 1 + 3.3log(50) K = 6.6 = 7 T = 0.004

I

C

Xi

f

5 7 16 12 7 3

0.524

0.528

0.526

0.528

0.532

0.530

0.532

0.536

0.534

0.536

0.540

0.538

0.540

0.544

0.542

0.544

0.548

0.546

b)

Fi

5 12 28 40 47 50

hi

0.10 0.14 0.32 0.24 0.14 0.06

Hi

0.10 0.24 0.56 0.80 0.94 1.00

Poligono de

16

Frecuencia

12 8 4 0.524

c)

0.528

0.532

La Mediana Med

0 .532

Med

0.54

La Moda

25

12 16

. 0 .004

0.536

0.540

0.544

0.548

Mo

0.532

Mo

0.53

9 . 0.004 13

8.-) Dada la siguiente tabla de frecuencias. Intervalos

Frecuencias absolutas 10 25 46 9 10 100

20,40 40,50 50,80 80,90 90,94

TOTAL a).

Determine la media y mediana de esta distribución.

Solución Intervalos

f 40,50 50,80 80,90 90,94 TOTAL n

Media = x

i 1

xf i

i

N

Mediana = Me =

Me Me Me

L

50

Me

30 45 65 85 92

6100

= 100 n 2

61

F F F k

50 - 35 30 81 - 35

15 30 46 59.7826 50

i

xf i

i

F

i

i

10 25 46 9 10 100

20,40

a).

x

Frecuencias absolutas

k -1 k -1

C

300 1125 2990 765 920 6,100

10 35 81 90 100

9.-)

El jefe de control de calidad de una empresa a clasificado un lote de 80 artículos con una distribución de 6 clases y con un intervalo de 5 unidades. Si las frecuencias correspondientes son: 6, 12, 24, 18,13 y 7; siendo la cuarta marca de clase igual a 35 gr. Determinar la moda y mediana de la distribución. I.C. > > > > > >

[ [ [ [ [ [

6 12 24 18 13 7

fi

Xi

Fi 6 18 42 60 73 80...