Estudiando 01 FMM112(sem 1) PDF

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Guía Preparatoria. Primera Solemne. 1. Calcule los siguientes Límites. a) l´ım

4x3 (ex − 1) . (1 − cos(2x))2

b) l´ım

sen(mx) . sen(m2 x)

x!0

x!0

c) l´ımπ ( π2 − x)(tg(x)) . x! 2

◆4x4 +5 x4 + 1 . x4 + 7 x!1 ✓ ◆ x + 1 4x+5 . h) l´ım x!1 x+7 ◆x+1 ✓ 2 2x + 1 i) l´ım . x!1 3x2 + 1

sen(x) − sen(a) . x!a x−a √ √ x− 2x e) l´ım √ x!1 x − x √ √ x+1+ 2x+1 √ f ) l´ım √ x!0 x+1− 4x+1 d) l´ım

g ) l´ım

✓

c) l´ım

x 1 = 2 x+2

2. En cada caso demuestre la afirmación dada: a) l´ım x3 = 1 x!1

b) l´ım

x!0

x−1 = −1 x+1

x!2

3. Determine el valor de a y b para que f (x) sea continua en x = −6 y x = 3, si 8 2x + 3a si x < −6 > > > > > < 2 x −9 f (x) = si − 6 ≤ x < 3 > x−3 > > > > : 4bx − 3 si x ≥ 3

4. Determine si existen a, b ∈ R para que la función f (x) sea continua en todo R, donde:

f (x) =

8 > > > > > > <

ax − 1

x < −1

ax2 + b

−1 ≤ x ≤ 1

> > > > a(x2 − 1) > > : b(x + 1)

x > 1.

5. Un monje vive en un monasterio a los pies de una montaña. El día 7 de cada mes a las 00:00 horas, el monje comienza una caminata de 24 horas hasta la cumbre de la montaña. Una vez ahí, medita durante 6 horas y luego baja la montaña de vuelta al monasterio. La bajada le toma 1 hora. Demuestre que existen dos instantes, uno en el día 7 y otro en el día 8, en los que el monje se encuentra a la misma distancia del monasterio a la misma hora del día. 8 x−a > Si x ≥ 1 > > < 1+x Sea derivable en x = 1 6. Determinar los valores de a, b ∈ R, si existen, para que la función f (x) := > > b − x2 > : Si x < 1 2

7. Muestre que f (x) = x1/3 no es derivable en x = 0.

8. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y que es tangente a la curva y = x2 − 7. 9. Determine los valores de a, b, c ∈ R, si existen, para que las gráf icas de las siguientes funciones tengan tangente común en el punto (2, 2). f (x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 + c. 10. En cada caso determine si la función dada es solución de la ecuación diferencial. a) y = e2x + e3x , y00 + 5y0 + 6y = 0 b) y = sen(x) + 2 cos(x), y00 + y = 0 c) y = e2x cos(3x) + e2x sen(3x), y00 + 4y0 + 13y = 0

1...