Etapa 3 - Grupo 243005 6 - • El sistema eléctrico del equipo está soportado con un circuito que garantiza PDF

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Sistemas dinámicosEtapa 3. Analizar comportamiento transitorio y estacionario desistemas en dominio de la frecuenciaESTUDIANTEFaber Manuel Cucaita MoralesHelmer Enrique RuizWalter Jair PeñaDOCENTEChristian Saúl González SantosCURSOSistemas dinámicosGRUPO243005_UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTAN...

Description

1 Sistemas dinámicos

Etapa 3. Analizar comportamiento transitorio y estacionario de sistemas en dominio de la frecuencia

ESTUDIANTE Faber Manuel Cucaita Morales Helmer Enrique Ruiz Walter Jair Peña

DOCENTE Christian Saúl González Santos CURSO Sistemas dinámicos GRUPO 243005_6

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA 2021

2 Objetivos Analizar la respuesta transitoria y estacionaria de sistemas dinámicos en el dominio de la frecuencia mediante la aplicación de transformada de Laplace y criterios de estabilidad de sistemas. Modelar los diagramas de bloques que representan los sistemas dinámicos mediante el uso de herramientas de software.

3 1. Cada estudiante continua con el mismo sistema seleccionado del anexo 2, tomando como base para este desarrollo el modelo matematico obtenido en el dominio del tiempo en la etapa 2.



El sistema eléctrico del equipo está soportado con un circuito que garantiza bajos niveles en la pérdida de voltaje de alimentación de este equipo. Este sistema corresponde al circuito presentado en la figura, relacionada a continuación:

𝑉1 = 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑅1 = 5Ω

𝑅2 = 4Ω

𝑅3 = 2Ω 𝐿1 = 6

𝐶1 = 1

-Para este sistema se tiene que el voltaje de alimentación 𝑉1 es una batería de 5𝑉 y la salida que se analiza para obtener el modelo matemático que representa el circuito eléctrico es el voltaje almacenado en el condensador 𝑉𝐶1.

4 2. para el sistema seleccionado, aplicar principios físicos y matemáticos que le permitan obtener el modelo matemático del sistema en el dominio de la frecuencia. Sistema (1) Ecuaciones en función del tiempo. 𝑑𝑣𝑐 4𝐼𝑙 1 = − 𝑉𝑐 𝑑𝑡 2 2 𝑑𝐼𝑙 1 17 4 = 𝑉(𝑡) − 𝐼𝑙 + 𝑉𝑐 2 𝑑𝑡 3 3 Hallar las ecuaciones en el dominio de la frecuencia aplicando transformada de Laplace. Procedemos aplicar la transformada de Laplace, la cual convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Equivalencia de funciones en el tiempo a transformada de Laplace: 𝑉𝑐 (𝑡) = 𝑉𝑐 (𝑠) = 𝑌 (𝑠) 𝑉(𝑡) = 𝑉 (𝑠) = 𝑈(𝑠) Equivalencia del valor de derivadas en función del tiempo a transformada 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑠 ∗ 𝐼𝑙 (𝑠) 𝑑𝑡 𝑑𝑉𝑐 (𝑡) = 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) 𝑑𝑡 Obtenemos: 𝑑𝑉𝑐 (𝑡) 4 1 = 𝐼𝑙 (𝑡) − 𝑉𝑐 (𝑡) 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑉𝑐 (𝑡) 4 1 𝑙{ } = 𝑙 { 𝐼𝑙 (𝑡)} − 𝑙 { 𝑉𝑐 (𝑡)} 𝑑𝑡 2 2 4 1 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) = 𝐼𝑙 (𝑠) − 𝑉𝑐 (𝑠) 2 2 𝑑𝐼𝑙(𝑡) 1 17 4 = 𝑉(𝑡) − 𝐼𝑙 (𝑡) + 𝑉𝑐 (𝑡) 2 𝑑𝑡 2 25 1 17 4 𝑑𝐼𝑙(𝑡) } = 𝑙 { 𝑉(𝑡)} − { 𝐼𝑙 (𝑡)} + { 𝑉𝑐 (𝑡)} 𝑙{ 𝑑𝑡 25 25 2 1 17 4 𝑠 ∗ 𝐼𝑙 (𝑠) = 𝑉(𝑠) − 𝐼𝑙 (𝑠) + 𝑉𝑐 (𝑠) 2 25 25

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3. obtener la ecuación que representa la función de la transferencia del sistema, interpretando la forma adecuada la entrada y la salida del sistema seleccionado. Aislamos la corriente en la bobina en función de (s) 1 17 4 𝑉(𝑠) − 𝐼𝑙 (𝑠) + 𝑉𝑐 (𝑠) 2 25 25 1 17 2 𝑉 (𝑠) 𝑠 ∗ 𝐼𝑙 (𝑠) = 𝑉(𝑠) − 𝐼𝑙 (𝑠) + 25 𝑐 25 25 1 [−𝑉(𝑠) − 17𝐼𝑙 (𝑠) + 2𝑉𝑐 (𝑠)] 𝑠 ∗ 𝐼𝑙 (𝑠) = 25 25 ∗ 𝑠 ∗ 𝐼𝑙 (𝑠) = −𝑉(𝑠) − 17𝐼𝑙 (𝑠) + 2𝑉𝑐 (𝑠) 25 ∗ 𝑠 ∗ 𝐼𝑙 (𝑠) + 17𝐼𝑙 (𝑠) = −𝑉(𝑠) ∓ 2𝑉𝑐 (𝑠) 𝐼𝑙 (𝑠)(25𝑠 + 17) = −𝑉(𝑠) ∓ 2𝑉𝑐 (𝑠) −𝑉(𝑠) ∓ 2𝑉𝑐 (𝑠) 𝐼𝑙 (𝑠) = (25𝑠 + 17) Procedemos a sustituir el valor de la corriente en la bobina en función de (s), ecuación del voltaje en el condensador. 4 1 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) = 𝐼𝑙 (𝑠) − 𝑉𝑐 (𝑠) 2 2 4𝐼𝑙 (𝑠) − 1𝑉𝑐 (𝑠) 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) = 2 2𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = 4𝐼𝑙 (𝑠) − 1𝑉𝑐 (𝑠) 𝑠 ∗ 𝐼𝑙 (𝑠) =

Sustituimos el valor de la corriente en la bobina en función de (s) −𝑉(𝑠) ∓ 2𝑉𝑐 (𝑠) 2𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = −1𝑉𝑐 (𝑠) + 4 ∗ (25𝑠 + 17) 2𝑉𝑐 (𝑠) 𝑉(𝑠) + 2𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = −1𝑉𝑐 (𝑠) + 4 ∗ (25𝑠 + 17) (25𝑠 + 17) 8𝑉𝑐 4𝑉(𝑠) + 2𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = 1𝑉𝑐 (𝑠) + (25𝑠 + 17) (25𝑠 + 17) 4𝑉(𝑠) 8 2𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = 1𝑉𝑐 (𝑠) ( ) ) + (−1 − (25𝑠 + 17) (25𝑠 + 17) −25𝑠 − 17 − 8 4𝑉(𝑠) )+( 2𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = 1𝑉𝑐 (𝑠) ( ) (25𝑠 + 17) (25𝑠 + 17) 4𝑉(𝑠) −25𝑠 − 25 2𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = 1𝑉𝑐 (𝑠) ∗ + (25𝑠 + 17) (25𝑠 + 17) −25𝑉𝑐 (𝑠) − 25𝑉𝑐 (𝑠) + 4𝑉(𝑠) 2𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = 25𝑠 + 17 (2𝑠𝑉𝑐 (𝑠))(25𝑠 + 17) = −25𝑠𝑉𝑐 (𝑠) − 25𝑉𝑐 (𝑠) + 4𝑉(𝑠) 50𝑠 2 𝑉𝑐 (𝑠) + 34𝑠𝑉𝑐 (𝑠) = −25𝑠𝑉𝑐 (𝑠) − 25𝑉𝑐 (𝑠) + 4𝑉(𝑠) 50𝑠 2 𝑉𝑐 + 34𝑠𝑉𝑐 (𝑠) + 25𝑠𝑉𝑐 (𝑠) − 25𝑉𝑐 (𝑠) + 4𝑉(𝑠)

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Tenemos que:

50𝑠 2 𝑉𝑐 (𝑠) + 34𝑠𝑉𝑐 (𝑠) + 25𝑉𝑐 (𝑠) = 4𝑉(𝑠) 𝑉𝑐 (𝑠)(50𝑠 2 + 34𝑠 + 25) = 4𝑉(𝑠)

𝑉𝑐 (𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑉1 (𝑠) = 𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝐺(𝑠) = 𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠)(50𝑠 2 + 34𝑠 + 25) = 4𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) 4 = 𝐺(𝑠) = 2 𝑈(𝑠) 50𝑠 + 34𝑠 + 25 4 𝐺(𝑠) = 2 50𝑠 + 34𝑠 + 25 Obtenemos la siguiente función de transferencia 𝑌(𝑠) 𝑉𝑐 (𝑠) 4 𝐺(𝑠) = = = 2 𝑈(𝑠) 𝑉1 (𝑠) 50𝑠 + 34𝑠 + 25 4. Determinar la estabilidad del sistema aplicando criterio de Routhhurwitz Tenemos dos polos

𝑠2 𝑠1 𝑠0

50 34 𝐶1

𝑠 2 50 𝑠1 34 𝑠 0 𝐶1

25

25 ((34 ∗ 25) − 0) = 25 0 ∗ 𝐶1 34 𝑠 2 50 25 𝑠1 34 𝑠 0 25

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5. Determinar el comportamiento transitorio y estacionario del sistema. Tenemos que: Y(s): es la función de salida del sistema U(s): Es la función de entrada del sistema ξ: El factor de amortiguamiento (adimensional) ωn: Frecuencia natural no amortiguada 𝑊 2𝑛 𝑠 2 + 2𝜉𝑊𝑛 𝑠 + 𝑊 2 𝑛 4 𝐺(𝑠) = 2 50𝑠 + 34𝑠 + 25 4 50 𝐺(𝑠) = 34 25 𝑠2 + 50 𝑠 + 50 𝑠2 = 𝑠2

𝐺(𝑠) =

25 50 34 2𝜉𝑊𝑛 = 50 𝑊𝑛 = √

2𝜉

√

25 34 = 50 50

2𝜉 =

34√50

50√25 34√50 = 0.48 𝜉= 100√25 Al resolver la equivalencia, obtenemos que el factor de amortiguamiento es subamortiguado (0...