Examen 13 Mai 2015, questions PDF

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Université de Lille – Licence SESI

S2-FCE 13 mai 2015

Devoir surveillé de Forces, Champs, Energie Durée : 2h00, Documents et calculatrice interdits Indiquer votre numéro de groupe de TD sur la copie

I. Chute d’une goutte d’eau (Durée ~ 20 mn) Une goutte d’eau, de masse m, tombe de la base d’un nuage. On suppose qu’à cet instant précis, pris comme origine des temps, la vitesse de la goutte est nulle dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On modélise les frottements visqueux de l’air par une force de la forme f   km v (k est une constante positive). La poussée d’Archimède de l’air est négligée. L’étude sera menée le long d’un axe z vertical descendant et d’origine fixée à la base du nuage. L’accélération de pesanteur est notée 󰇍g  g . 1) Représenter sur un schéma les forces s’exerçant sur la goutte, à l’instant t. 2) Par application du principe fondamental de la dynamique, établir l’équation différentielle donnant v(t). 3) Sans chercher à la résoudre, vérifier que cette équation a pour solution : v(t) = v (1 – e-t/) où la vitesse limite v = g/k et le temps caractéristique du système  = 1/k. 4) Donner l’allure du graphe v(t). 5) Retrouver l’expression de v d’une autre manière. II. Mouvement dans un champ de force centrale La partie B peut être traitée indépendamment de la partie A

A) Théorème de Gauss (Durée ~ 30 min) On considère un astre sphérique, de centre O, de rayon R et de masse volumique uniforme  . On cherche à déterminer le champ de gravitation g (M ) généré par cet astre en un point M de l’espace. r et G la constante de gravitation universelle. r 1) Exprimer la masse totale ma de l’astre en fonction de et R.

On pose r  OM , e r 

2) Par des considérations d’invariance et de symétrie, montrer que le champ g (M ) est radial et ne dépend que de r. Faire une représentation schématique des lignes de ce champ. 3) Enoncer le théorème de Gauss qui régit le champ gravitationnel g (M ) . Gm 4) En déduire que, pour r > R, ce champ est de forme : g ( M )   2 a er . Conclure. r B) Satellite en orbite autour de l’astre (Durée ~ 50 min) Dans cette partie, l’astre de masse ma est assimilé à un point matériel O immobile dans le référentiel d’étude R supposé galiléen. On s’intéresse au mouvement d’un satellite S de masse m qui gravite autour de r l’astre. On rappelle que r  OM  OS , e r  et G la constante de gravitation universelle. r 1) Rappeler l’expression de la force de gravitation F subie par S de la part de O. Justifier pourquoi cette force est dite centrale. Faire un schéma. 2) Etablir l’expression de l’énergie potentielle Ep(r) dont dérive cette force et montrer qu’elle se met sous la Gm a m forme : E p ( r)   en prenant l’origine de cette énergie à l’infini 󰇛 → ∞ 󰇜  0. r 3) a) Définir le moment cinétique󰇍 du satellite S, en O, dans R. b) Enoncer le théorème du moment cinétique en O. c) Montrer que le moment cinétique 󰇍 est un vecteur constant dans R. En déduire que la trajectoire du satellite est située dans un plan passant par O. UFRdePhysique

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Dans la suite du problème, on adoptera le système de coordonnées polaires (r, ) pour étudier le mouvement du satellite S dans R et on notera Oz l’axe passant par O et perpendiculaire à ce plan. 4) a) Définir sur un schéma le système de coordonnées polaires. b) Exprimer la vitesse v du satellite S (dans R) dans ce système de coordonnées. 

5) Montrer que :󰇍  mr 2  ez . 1 2 L O2 mr  2 2mr2 7) Déterminer son énergie mécanique Em et montrer que tout se passe comme si le satellite était soumis à une énergie potentielle effective EPef selon l’axe radial : Gma m LO 2 1 2     avec EPef (r ) Em  mr  E Pef (r ) = cste r 2 2 mr 2 8) Donner l’allure du graphe de EPef (r). 9) Justifier l’inégalité E Pef ( r )  E m . En donner une interprétation graphique.

6) Montrer que l’énergie cinétique du satellite S (dans R) s’écrit : Ec 

10) Le satellite S est dans un état lié. a) Préciser le signe de Em. b) Décrire qualitativement la nature des trajectoires suivies par le satellite en indiquant par des lignes horizontales l’énergie totale correspondant à chaque situation. 11) Le satellite a un mouvement elliptique de période T et de demi-grand axe ae. a) Faire une représentation graphique de la trajectoire. On indiquera les positions de O, S ainsi que la force F et la vitesse v , à un instant quelconque t. b) Ecrire (sans démonstration) la relation liant T et ae. De quelle loi s’agit-il ? III. Dipôle électrique (Durée ~ 20 min) Un dipôle électrique est un ensemble de deux charges fixes  0   distantes de 2ℓ et situées, le long de l’axe (x’x), aux points respectifs N (ℓ) et P (ℓ). L’étude est menée dans le vide de permittivité électrique . y 󰇍 

M

N(-q) x’

ℓ

z

.

 O

P(+q) ℓ

x

1) Etablir l’expression du champ électrique créé par ce dipôle en O en fonction de , ℓ,   . Représenter le sur un schéma. 2) On cherche à calculer le champ 󰇍 au point M de l’axe (Oy) d’ordonnée y > 0. a) Par des considérations de symétrie, montrer que le champ est orienté comme représenté sur la figure cidessus. b) Etablir l’expression de sa norme 󰇍  en fonction de , , ℓ,  puis celle de 󰇍. ℓ c) Montrer que très loin du dipôle (y >>ℓ), 󰇍 peut se mettre sous la forme approchée : 󰇍    .   

Conclure.

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