Examen mai 2010, questions et réponses PDF

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Turbomachines ` a fluides compressibles Examen ´ ecrit du 26 mai 2010

Une turbine a` gaz est compos´ee d’un compresseur, d’une chambre de combustion, d’une premi`ere turbine entraˆınant le compresseur et d’une turbine de puissance (voir sch´ema ci-dessous). Ces deux turbines sont a` action et comportent un seul e´tage. Le compresseur est caract´eris´e par le champ fourni en annexe.

Cette turbine a` gaz a ´et´e con¸cue pour le point de fonctionnement nominal d´efini par – – – –

vitesse de rotation : 5000 tr/min d´ebit massique : 30 kg/s taux de compression : 6 rendement isentropique du compresseur : 0.84 – temp´erature en fin de combustion T 30 : 1200 K – rendement isentropique des deux turbines : 0.87 – pertes de charge dans la chambre de combustion : 3.3 % de la pression totale a` l’entr´ee – rendement m´ecanique des deux arbres : 0.99 et ceci pour des conditions de fonctionnement standards, d´efinies par une temp´erature ambiante de 15 degr´es Celsius et une pression ambiante de 101325 N/m2 . Hypoth`eses : – le d´ebit de carburant est n´egligeable vis-`a-vis du d´ebit d’air, – la vitesse des gaz est n´egligeable a` l’´echappement de la turbine de puissance, – Cp = 1000 J/kg.K et γ = 1.4 au niveau du compresseur, – Cp = 1200 J/kg.K et γ = 1.3 au niveau des deux turbines.

Premi` ere partie Calculer en fonctionnement nominal les pressions et temp´eratures totales du cycle (en 1, 2, 3, 4 et 5). Calculer la puissance g´en´er´ee par la turbine libre ainsi que les d´ebits r´eduits des deux turbines. V´erifier que ces turbines sont bloqu´ees soniquement.

Deuxi` eme partie D´eterminer le point de fonctionnement du compresseur (d´ebit corrig´e, d´ebit r´eel, taux de compression, rendement, vitesse de rotation) et calculer la puissance d´evelopp´ee a` la turbine libre dans les conditions de fonctionnement suivantes : – la temp´erature ambiante est ´egale a` -7 degr´es Celsius, – la pression ambiante est e´gale a` a` 1.034 bar, – la temp´erature en fin de combustion T30 est ramen´ee a` 1000 K, – les deux turbines sont bloqu´ees soniquement, les d´ebits r´eduits respectifs ´etant inchang´es, ainsi que leur rendement. Marche a` suivre : – exprimer que le d´ebit qui traverse la turbine du g´en´erateur de gaz traverse aussi la turbine de puissance, – exprimer le bilan de puissance entre la turbine et le compresseur du g´en´erateur de gaz, – exprimer que le d´ebit qui traverse le compresseur traverse aussi la turbine du g´en´erateur de gaz, – travailler avec des variables adimensionnelles, – initialiser les calculs avec une valeur de rendement.

D´ efinitions et formules utiles e entr´ee du composant s sortie du composant

r qm =

q

qm Te0 pe0

N Nr = q Te0

ηis,c =

0 Ts,is − Te0 Ts0 − Te0

qm co = qm

s

Te0 288

pe0 101325

N N co = s Te0 288

ηis,t =

Te0 − Ts0 0 Te0 − T s,is

8

34 8

3 3500

0 .8

2

1

5

10

81 0. 300081 0.

15

0 .8 0 .8

0

81 0.

0.

0 0 . .8 3 83 4 5 0. 82

400

00

4 5 3 5 .8 2 0 000.8.082 8 0.

82

4

0.

Rapport de pression

83

00

5

48

5200

50

0 .8

6

5500

0 .8 2 5 0 .8

0.82 0.83

7

0 .8

1

2

20 25 Debit corrige (kg/s)

30

35

40

Turbomachines ` a fluides compressibles Solution de l’examen ´ ecrit du 26 mai 2010

Premi` ere partie Les pression et temp´erature totales a` l’entr´ee du compresseur sont les valeurs ambiantes p10 = 101325 N/m2 = 1.013 bar

T10 = 288 K

Les pression et temp´erature totales a` la sortie du compresseur sont donn´ees par 0

γ−1

1

πc γ − 1 C B T20 = T10 @1 + A = 517 K ηc

p20 = p10 π c = 6.080 bars

Les pression et temp´erature totales en fin de combustion sont donn´ees par 0 = 5.880 bars p30 = p02 − ∆p23

T30 = 1200 K

La puissance d´elivr´ee par la turbine du g´en´erateur de gaz est fournie au compresseur (au rendement m´ecanique pr`es). La puissance de compression vaut Pc = qm Cpc

γ−1 T10 πc γ − 1 = 6876 kW ηc

✓

◆

On en d´eduit la chute de temp´erature dans la turbine du g´en´erateur de gaz |Ptg | = qm Cpt(T 30 − T40 ) =

Pc ηm

et donc

T40 = T30 −

Pc = 1007 K ηm qm Cpt

La pression a` la sortie de la turbine du g´en´erateur de gaz est tir´ee de la valeur du rendement ηt =

1 − T40/T30 γ−1 γ

= 0.87

donc

π tg = 0.413

p04 = 2.426 bars

et

1 − π tg

La pression totale a` la sortie de la turbine de puissance est la pression ambiante, dans la mesure o` u la vitesse du fluide y est n´egligeable p50 = 1.013 bar

et donc

π tl = 0.418

La temp´erature totale a` la sortie de la turbine de puissance est tir´ee de la valeur du rendement ηt =

1 − T50/T40 γ−1 γ

1 − π tl

= 0.87

donc

T50 = 0.841 T40

et

T 50 = 847 K

La puissance d´evelopp´ee par la turbine libre vaut donc |Ptl | = ηm qm Cpt (T 40 − T50 ) = 5702 kW Les d´ebits r´eduits des turbines sont donn´es par r qm3 =

q

qm T30 p03

q rm4 =

= 1.767 10−3

q

qm T40 p40

= 3.924 10−3

Au vu des taux de d´etente pr´esent´es par les deux turbines (0.413 et 0.418) et sachant qu’elles sont a` action, on peut penser qu’elles sont toutes deux bloqu´ees soniquement au niveau de leur stator.

Deuxi` eme partie On suppose que les deux turbines sont bloqu´ees soniquement, et donc qu’elles conservent les mˆemes valeurs de d´ebit r´eduit qu’en fonctionnement nominal. Si l’on exprime que le d´ebit qui traverse la turbine du g´en´erateur de gaz traverse aussi la turbine de puissance, il vient v 0 u u p T0 r qm3 = qm4 et donc qm3 = q rm4 40 t 30 p3 T4 r r Comme qm3 sont inchang´es par rapport au fonctionnement nominal, et que le et qm4 rendement de turbine du g´en´erateur de gaz est lui aussi inchang´e, les rapports de pression et de temp´erature aux bornes de la turbine du g´en´erateur de gaz sont les mˆemes qu’en fonctionnement nominal :

p04 = 0.413 p30

T 40 1007 = 0.839 = 1200 T 30

Si l’on exprime que la puissance de compression est fournie par la turbine, on obtient T0 qm Cpc 1 ηc

✓

γ−1 γ

πc

◆

−1 =

ηm qm CptT 30

T0 1 − 40 T3

!

ou, comme la temp´erature en fin de combustion T30 est connue γ−1

πc γ − 1 = 0.719 ηc

(1)

Si l’on exprime que le d´ebit qui traverse le compresseur traverse aussi la turbine du g´en´erateur de gaz, on obtient qm1 = qm3

et donc

co co qm1 = qm3

v u

v u

0 0 p30 u p30 u t T1 t T1 = q r 101325 √ m3 p10 T30 288 p10 T30

et donc q co m1 = 5.263 π c

(2)

Les ´equations (1) et (2) permettent, avec les courbes caract´eristiques du compresseur, de trouver le point de fonctionnement de ce dernier, en termes de d´ebit corrig´e ou r´eduit, de taux de compression et de rendement. Choisissons pour initialiser les calculs un rendement ´egal a` 0.83. L’´equation (1) permet de calculer un taux de compression, l’´equation (2) un d´ebit corrig´e, et le champ compresseur fournit une nouvelle valeur du rendement. Quelques it´erations suffisent pour converger :

η π co qm1

It´eration 1 It´eration 2 It´eration 3 It´eration 4 0.83 0.81 0.836 0.837 5.14 4.98 5.19 5.20 30.25 kg/s 26.23 kg/s 27.33 kg/s 27.37 kg/s

Le point de fonctionnement du compresseur est donc d´efini par N ≈ 4550 tr/min

π c = 5.20

ηc = 0.837

qm = 29.07 kg/s

Les pression et temp´erature totales a` la sortie du compresseur sont donn´ees par 0

p20 = p10 π c = 5.27 bars

γ−1 γ

T20 = T 10 @1 + B

πc

1

− 1C

ηc

A

= 457 K

Les pression et temp´erature totales en fin de combustion sont donn´ees par 0 p30 = p02 − ∆p23 = 5.10 bars

T30 = 1000 K

Les pression et temp´erature totales a` la sortie de la turbine du g´en´erateur de gaz sont donn´ees par p40 = p30

p40 = 0.413 p30 = 2.10 bars p30

T 40 = T30

T40 = 0.831 T30 = 839 K T30

Le taux de d´etente de la turbine de puissance est donc e´gal a` τtl =

p50 1.034 = = 0.492 2.10 p40

En fonction du rendement suppos´e inchang´e de la turbine libre, la temp´erature a` l’´echappement vaut ✓ γ−1 ◆ T50 γ 1 − π = 1 − η = 0.852 donc T50 = 729 K t tl T40

La puissance d´evelopp´ee par la turbine libre vaut donc |Pout| = ηm qm Cpt (T40 − T 50 ) = 3802 kW On v´erifie a posteriori qu’au vu des taux de d´etente, les deux turbines sont bien bloqu´ees soniquement. Cet exercice illustre en outre le fait que tant que la turbine de puissance est bloqu´ee soniquement, elle d´etermine toujours le mˆeme point de fonctionnement pour la turbine du g´en´erateur de gaz en termes de variables r´eduites : mˆeme taux de d´etente, mˆeme rapport de temp´erature totale....