Examen de muestra/práctica 14 Mayo 2019, preguntas y respuestas PDF

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Warning: TT: undefined function: 32 Solucionario del taller previo a la PC 2 Un objeto de 1,4 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15 N/m. Calcular: a) la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2, b) ¿Cuál es el valor de las energías cinética y potenci...

Description

Solucionario del taller previo a la PC 2 1. Un objeto de 1,4 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15 N/m. Calcular: a) la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2,0 b) ¿Cuál es el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el objeto se encuentra a 1 cm de la posición central de vibración? Solución: a) Aplicando la ley de conservación de la energía mecánica: 1 1 ฀฀฀฀2 = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ 2 2 2 15 ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀� = 0,02� = 0,066฀฀/฀฀ ฀฀ 1,4

b) Aplicando la ecuación de la energía potencial y la ley de conservación de la energía mecánica, se tiene: 1 1 ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ 2 = . 15. 0,012 = 0,00075฀฀ 2 2 1 2 1 2 ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ − ฀฀฀ ฀ = ฀฀(฀฀ − ฀฀ ) = . 15. (0,022 − 0,012 ) = 0,00225฀฀ 2 2 2. El bloque de la figura, de masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte de masa despreciable y constante recuperadora K = 8 N/m. Inicialmente se hace actuar sobre M una fuerza F = 2 N en el sentido indicado. A continuación, una vez que M ha alcanzado el equilibrio, se anula F. a) ¿Con qué amplitud oscilará M? b) ¿Con qué frecuencia angular, ω? c) Determina las energías cinética, potencial y mecánica de M en función del tiempo. Toma origen de tiempo, t = 0, en el instante de anular F

Solución:

฀฀

a) ฀ ฀ = ฀ ฀ = = ฀ ฀

2฀฀

8฀฀/฀ ฀

= 0,25฀฀

b) ฀ ฀ = � = � = 4฀฀฀฀฀฀/฀฀ 0,5 ฀฀

฀ ฀

8

฀฀

c) Cuando t=0, x=A, la fase inicial es:฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀ 2

฀฀

La ecuación de la elongación es : ฀ ฀ = 0,25฀฀฀฀฀฀ �4฀ ฀�+= 0,25cos (4฀฀) 2

La ecuación de la velocidad: ฀ ฀ = −0,25.4฀฀฀฀฀฀(4฀฀) 1

La energía cinética es: ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ 2 = 0,25฀฀฀฀฀฀2 (4฀฀) 2 1

La energía potencial es: ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ 2 = 0,25฀฀฀฀฀฀ 2 (4฀฀) 2 La energía mecánica es: ฀฀฀ ฀ = 0,25฀฀

3. Un bloque de 10 kg se suelta desde el reposo en el punto A que está en la parte superior de un plano inclinado, como se muestra en la figura, existe rozamiento solo en tramo AB de la trayectoria, en donde µk= 0,2. En el punto C está el inicio de un resorte que cumple con la ley de Hooke y cuya constante elástica es de 12N/m, determine: a) La pérdida de energía en el tramo AB b) La distancia que se comprime el resorte después de detener el bloque.

Solución: a) La pérdida de energía es por el trabajo que realiza la fuerza de fricción: ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ . ฀ ฀ = −฀฀฀ ฀ ฀฀฀฀ = −฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀30° = −0,2(10)(9,81)(1)(฀฀฀฀฀฀30°) = −16,97฀฀ b) Aplicamos el teorema del trabajo y la energía 1 ฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀− ฀฀฀ ฀ =฀฀฀฀ 2 − ฀฀฀฀ℎ donde ℎ = ฀฀฀฀฀฀฀฀30° = (5 + ฀฀)0,5 2

−16,97 =

1 (12)฀฀ 2 − 10(9,81)(2,5 − 0,5฀฀) 2

6฀฀ 2 − 49฀฀ − 228,03 = 0 X=11,48m

4. Una partícula de 2 kg de masa desliza sin rozamiento, partiendo del reposo, por la rampa de la Figura mostrada hasta chocar con un bloque de 5 kg que se halla en reposo al pie de la misma. Después del choque, ambos cuerpos deslizan unidos una distancia de 7 m en el piso horizontal hasta detenerse. Calcular el coeficiente de rozamiento cinético entre ambos objetos y el piso.

Solución. Encontramos la velocidad antes de la colisión aplicando el principio de conservación de la energía ∆฀฀ = 0 2 � =0 (฀฀1 ฀฀ℎ1฀฀ − ฀฀1 ฀฀ℎ1฀฀ ) + �฀฀1 ฀฀21฀฀− ฀฀1 ฀฀1฀฀ 2

1

1

1

2

−฀฀1 ฀฀ℎ1฀฀ + ฀฀1 ฀฀21฀฀ = 0 2

฀฀1฀฀ = �2฀฀ℎ1฀฀

฀฀1฀฀ = �2(9,81฀฀/฀฀2 )(4฀฀) ฀฀1฀฀ = 8,85 ฀฀/฀฀

Usamos el análisis de colisiones elásticas unidimensionales para encontrar la velocidad después de la colisión (฀฀2฀฀ ). Después del choque ambos cuerpos quedan unidos, el momento total para un choque completamente inelástico es: ฀฀2฀฀ =

฀฀1 ฀฀1฀฀ + ฀฀2 ฀฀2฀฀ ฀฀1 + ฀฀2

Antes de la colisión el bloque de ฀฀2 se encuentra en reposo entonces ฀฀2฀฀ = 0 ฀฀2฀฀ =

2฀฀฀฀(8,85 ฀฀/฀฀) 2฀฀฀฀ + 5฀฀฀฀

฀฀2฀฀ = 2,53 ฀฀/฀฀

Para hallar el coeficiente de rozamiento aplicamos el teorema del trabajo y energía. Al existir rozamiento la energía mecánica no permanece constante, por lo tanto: ∆฀฀ = ∆฀฀ + ∆฀฀ = −฀฀฀ ฀ ฀฀ ∆฀฀ = ฀฀฀ ฀ ฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ ฀฀฀฀

1 (฀฀ + ฀฀2 )฀฀22฀฀ = ฀฀฀ ฀ (฀฀1 + ฀฀2 )฀฀฀฀ 2 1 2 ฀฀2฀฀ ฀฀฀ ฀ = 2฀฀฀฀

(2,53฀฀/฀฀)2 ฀฀฀ ฀ = 2(9,81฀฀/฀฀2 )(7฀฀) ฀฀฀ ฀ = 0,0467

5. Una polea y dos bloques se conectan mediante cuerdas inextensibles como se muestra en la figura. La polea parte desde el reposo en t = 0 y se acelera a una razón uniforme de 2,4 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. En t = 4 s, determine la velocidad y posición de: a) La carga A b) La carga B.

Solución: Movimiento uniformemente acelerado Posición angular

Velocidad angular

1 ฀ ฀ = ฀฀0 + ฀฀0 ฀ ฀ +฀฀฀฀ 2 2 1 ฀ ฀ = (2,4฀฀฀฀฀฀/฀฀2 )(4฀฀)2 2 ฀ ฀ = 19,2฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ = ฀฀0 + ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ = (2,4 2 )(4฀฀) ฀฀ ฀฀ = 9,6 rad/s

a) Bloque A Velocidad: Posición:

฀ ฀ = ฀฀1 ฀ ฀ = (0,12฀฀)(9,6฀฀฀฀฀฀/฀฀) = 1,152฀฀/฀฀ ฀ ฀ = ฀฀1 ฀ ฀ = (0,12฀฀)(19,2฀฀฀฀฀฀) = 2,30฀฀

b) Bloque B Velocidad: Posición:

฀ ฀ = ฀฀2 ฀ ฀ = (0,18฀฀)(9,6฀฀฀฀฀฀/฀฀) = 1,728฀฀/฀฀ ฀ ฀ = ฀฀1 ฀ ฀ = (0,18฀฀)(19,2฀฀฀฀฀฀) = 3,456฀฀

6. La placa circular que se muestra en la figura está inicialmente en reposo. Si se sabe que r = 200 mm y que la placa tiene una aceleración angular constante de 0,3 rad/s2, determine la magnitud de la aceleración total del punto B cuando a) t = 0, b) t = 2 s, c) t = 4 s.

Solución: Movimiento uniformemente acelerado

฀ ฀ = ฀฀0 + ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀

฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀2 = ฀฀฀฀ 2 ฀฀ 2 ฀฀2 = ฀฀฀฀ 2 + ฀฀฀฀ 2

฀฀2 = ฀฀ 2 ฀฀ 2 + ฀฀ 2 ฀฀ 4 ฀฀ 4 ฀ ฀ = ฀฀฀฀(1 + ฀฀ 2 ฀฀ 4 )1/2 Reemplazando datos:

7.

฀ ฀ = (0,2)(0,3)(1 + 0,32 ฀฀ 4 )1/2 ฀ ฀ = 0,06(1 + 0,32 ฀฀ 4 )1/2 ฀฀) ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ = 0: ฀ ฀ = 0,06฀฀/s2 ฀฀) ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ = 2฀฀: ฀ ฀ = 0,094฀฀/s 2 ฀฀) ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ = 4฀฀: ฀ ฀ = 0,294฀฀/s 2

Un bloque de 4kg que descansa sobre una plataforma horizontal sin rozamiento está conectada a otro bloque colgante de 2kg mediante una cuerda que pasa por una polea. Esta polea está formada por un disco uniforme de radio 8 cm y una masa de 0,6 kg. a) Determinar la aceleración a de los bloques b) Determinar la velocidad del bloque de 2 kg después de haber descendido desde el reposo una distancia de 2,5m c) ¿Cuál es la velocidad angular de la polea en ese momento?

Solución Elaboramos los diagramas de cuerpo libre:

a) Aplicando la segunda ley de Newton Para el bloque m1:

฀฀1 = ฀฀1 ฀฀ (1)

฀฀ − ฀฀1 ฀ ฀ = 0 Para el bloque m2:

฀฀2 ฀฀ − ฀฀2 = ฀฀2 ฀฀

฀฀1 − ฀฀2 = (฀฀1 + ฀฀2 )฀฀ − ฀฀2 ฀฀

De (1) y (2): Para la polea

∑ ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀

De (3) y (4):

→

฀฀2 ฀฀ − ฀฀1 ฀ ฀ = ฀฀฀฀

→ ฀฀2 − ฀฀1 = ฀฀฀฀ /฀฀ ฀฀฀฀

(฀฀1 + ฀฀2 )฀฀ − ฀฀2 ฀ ฀ = = ฀฀

฀ ฀ =(฀฀

Finalmente: b) Conservación de la energía

∆฀฀ + ∆฀฀ = 0

฀฀2

฀฀฀฀

฀฀2

2 1 + ฀฀2 +฀฀/฀฀

Entonces:

฀฀=�

2฀฀2 ฀฀ℎ

฀฀1 + ฀฀2 + ฀฀

c) La velocidad angular es: ω

=

฀฀

฀฀

1

2

(3)

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ = ฀฀฀฀

฀฀ =

1 1 (฀฀1 + ฀฀2 )฀฀2 + ฀฀฀฀2 − ฀฀2 ฀฀ℎ = 0 2 2 1 1 1 (฀฀ + ฀฀2 )฀฀2 + ( ฀฀฀฀ 2 )฀฀2 − ฀฀2 ฀฀ℎ = 0 2 2 2 1

(2)

(4)...